山东省日照市田家炳实验中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份山东省日照市田家炳实验中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版），共39页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. “扶危救困、乐善好施”是中华民族的优良传统．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，桌子上放着一个长方体的茶叶盒和一个圆柱形的水杯，则其俯视图是（ ）

A. B. C. D.
4. “中国天眼”是目前世界上最大单口径、最灵敏的射电望远镜．从理论上说，“中国天眼”能接收到亿光年以外的电磁信号，这个距离接近宇宙边缘．已知光年，结合估算，把亿光年用科学记数法表示为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 将不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶各几何？意思是：今有好田亩价值钱，坏田亩价值钱．今用钱购入好、坏田共顷（顷亩）．问好田、坏田各有多少亩？如果设好田为亩，坏田为亩，那么可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
7. 设函数．设且，当时，：当时，．则：（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
8. 如图，已知圆锥的底面半径为，，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）．
A. 40B. C. 160D.
9. 如图，在中，，，为边上一点，连接，以为直径的圆分别交，于，两点，连接，设，则（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，二次函数图象的顶点为，图象与轴的交点、的横坐标分别为和，与轴交于点，下面四个结论：①；②；③；④使为等腰三角形的的值有且只有个．其中正确的结论有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 要使式子有意义，则a的取值范围为_____________________．
12. 关于x的方程： 的解为正数，则m 的取值范围________．
13. 如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，以为边作菱形．与交于点M．若双曲线恰好经过C，M两点．则k值为___________．
14. 规定，例如：表示当时y的值，即；表示当时y的值，即；…那么 ____________________．
15. 如图，正方形的边长为6，以点为圆心，2为半径作．为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接．在点运动的过程中，的最大值是_____．
三、解答题（本题共75分）
16. （1）计算：．
（2）先化简再求值：，其中满足．
17. 2025年1月8日第二十届中央纪委四次全会在北京胜利闭幕．某校为了了解七、八年级学生对的“四次全会”精神的认知程度，现从这两个年级（各800名学生）中各随机抽取m名学生进行有关知识测试，若将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：
A：，B：，C：，D：，E：，F：．并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
七年级测试成绩频数分布直方图 八年级测试成绩扇形统计图
已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：
86，85，87，86，85，89，88．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）_______，_______，八年级测试成绩的中位数是_______．
（2）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对党的“四次全会”精神认知程度高．请估计该校七、八两个年级对党的“四次全会”精神认知程度高的学生一共有多少人．
（3）甲、乙、丙、丁为七年级测试成绩在90分以上的四名同学，如果从这四名同学中随机选取两名作为社区宣讲员，恰好选中甲和丙的概率为多少？
18. 如图，四边形ABCD中，ADBC，AB＝AD＝CDBC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长．
19. 根据以下素材，探索完成任务．
20. 如图，一次函数与反比例函数为的图象交于，两点．
（1）求两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
（3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为5，求点Q的坐标．
21. 如图，是的直径，点是弧上一点，且，与交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若平分，求证：；
（3）在（2）条件下，延长，交于点，若，，求的长．

22. 综合与实践
【初步探究】
（）如图，在“双垂四边形”中，若，则_____，的值为_____．
问题解决】
（）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值．
【拓展应用】
（）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的面积．
23. 已知函数（b，c为常数）的图象经过点．
（1）当时，求抛物线顶点坐标；
（2）设该函数图象的顶点坐标是，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为40，求b的值．
九年级成长进步之旅（六）
数学试题
一、单选题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. “扶危救困、乐善好施”是中华民族的优良传统．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
2. 若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是正数，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，熟记绝对值的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
故选：B．
3. 如图，桌子上放着一个长方体的茶叶盒和一个圆柱形的水杯，则其俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是从不同的方向看几何体得到的形状，先细心观察原立体图形中圆柱和正方体的位置关系，找到从上面看所得到的图形即可解决．
【详解】解：圆柱的俯视图是矩形，正方体的俯视图是正方形，所以它们的俯视图是图C．
故选：C．
4. “中国天眼”是目前世界上最大单口径、最灵敏的射电望远镜．从理论上说，“中国天眼”能接收到亿光年以外的电磁信号，这个距离接近宇宙边缘．已知光年，结合估算，把亿光年用科学记数法表示为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：亿光年，
∴，
故选：．
5. 将不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解：
解①式得：，
解②式得：，
∴不等式的解集为：，
故选：D．
6. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶各几何？意思是：今有好田亩价值钱，坏田亩价值钱．今用钱购入好、坏田共顷（顷亩）．问好田、坏田各有多少亩？如果设好田为亩，坏田为亩，那么可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组即可求解，根据题意，找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设好田为亩，坏田为亩，
由题意可得，，
故选：．
7. 设函数．设且，当时，：当时，．则：（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查比较反比例函数值的大小．熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键．根据反比例函数的性质，分、、，三种情况进行讨论，即可得出结论．
【详解】解：，
双曲线在一，三象限，在每一象限内，随的增大而减小
当时，：当时，
，在都在双曲线上
当时，，，都在第三象限
当时，，在第三象限，在第一象限
当时，，，都在第一象限
故选：B
8. 如图，已知圆锥的底面半径为，，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）．
A. 40B. C. 160D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题利用了勾股定理，弧长公式，等腰直角三角形的判定．
蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中的长度．根据勾股定理求得母线长后，利用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由勾股定理求解．
【详解】解：设扇形圆心角为n，圆锥的顶点为B，
∵，，
∴由勾股定理可得母线，
而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为，
∴，
即是等腰直角三角形，
由勾股定理得： ．
∴蚂蚁爬行的最短距离为．
故选：D．
9. 如图，在中，，，为边上一点，连接，以为直径的圆分别交，于，两点，连接，设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形．
连接，如图，先根据圆周角定理得到，则利用等腰三角形的性质得到，，再证明∽得到，接着利用等线段代换得到，然后根据正弦和余弦的定义得到，，从而得到．
【详解】解：连接，如图，
是直径，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
．
故选：B．
10. 如图，二次函数图象的顶点为，图象与轴的交点、的横坐标分别为和，与轴交于点，下面四个结论：①；②；③；④使为等腰三角形的的值有且只有个．其中正确的结论有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，先根据图象与轴的交点、的横坐标分别为和，确定对称轴为，由对称轴即可判断②；根据对称轴及函数图象即可判断①；当时，，可判断③；由为等腰三角形，则或或，分三种情况利用勾股定理解答即可判断④；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：由图像可知，，
图象与轴的交点、的横坐标分别为和，
对称轴为，
，即，
，故①正确；，故②正确；
由图像可得在A点右侧，∴，故③不正确；
使为等腰三角形，则或或，
当时，
在中，,，
，
即，
由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，
，
联立，
解得：；
同理当时，
，为直角三角形，
又的长即为，
，
由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，
，
联立，
解得：；
同理当时，
在中，，
在中，，
，
，此方程无解，
满足条件的只有两个，故④正确；
故选：C．
二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 要使式子有意义，则a的取值范围为_____________________．
【答案】a≥－2且a≠0
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得关于a的不等式组，解不等式组即得答案.
【详解】根据题意得：，解得：a≥－2且a≠0.
故答案a≥－2且a≠0.
【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，属于基础题型，掌握基本知识是解题的关键.
12. 关于x的方程： 的解为正数，则m 的取值范围________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数，确定出的范围即可，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
分式方程的解为正数，
且，
解得：且．
故答案为：且．
13. 如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，以为边作菱形．与交于点M．若双曲线恰好经过C，M两点．则k的值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】先求出，，然后根据菱形的性质得出，，设点，则，根据点M在双曲线上，得出，求出，得出，根据，得出，求出k的值即可．
【详解】解：把代入得：，
把代入得：，
解得：，
∴，，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴M为的中点，
设点，则，
∵点M在双曲线上，
∴，
解得：，
经检验是原方程的解，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意舍去），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，中点坐标公式，两点间距离公式，熟练掌握中点坐标公式和两点间距离公式，是解题的关键．
14. 规定，例如：表示当时y的值，即；表示当时y的值，即；…那么 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数字的变化规律，分式的加减运算，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．通过计算，，，的值得到，，从而得到规律，然后利用此规律得到最后的值．
【详解】解：由题知，
∵，
∴，
∴，
∴原式
，
故答案为：．
15. 如图，正方形边长为6，以点为圆心，2为半径作．为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接．在点运动的过程中，的最大值是_____．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，证明，得，则在点P的运用过程中，点始终在以点A为圆心，以2为半径的圆上运动，因此连接，当点运动到的延长线上时，为最大，然后求出的长，即可得出长度的最大值．
【详解】解：连接，如图1所示：

∵四边形为正方形，
，
，
由旋转的性质得：，
，
，
在和中，
，
，
∴在点P的运用过程中，点始终在以点A为圆心，以2为半径的圆上运动，连接，当点运动到的延长线上时，为最大，如图2所示：
，
，
，即长度的最大值是，
故答案为：
【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换及其性质，正方形的性质，点与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，图形的旋转变换及其性质，正方形的性质，点与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，确定点始终在以点A为圆心，以2为半径的圆上运动是解决问题的难点．
三、解答题（本题共75分）
16. （1）计算：．
（2）先化简再求值：，其中满足．
【答案】（1）2；（2），4
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，解一元二次方程，熟练掌握以上运算规则是解题的关键．
（1）先算负指数幂，零指数幂，化简二次根式，以及特殊角的三角函数值，化简绝对值，然后再计算乘法，最后从左到右进行计算即可；
（2）先进行因式分解，将除法变成乘法，约分即可，接着解一元二次方程，得出值，最后代入计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
或
原式
．
17. 2025年1月8日第二十届中央纪委四次全会在北京胜利闭幕．某校为了了解七、八年级学生对的“四次全会”精神的认知程度，现从这两个年级（各800名学生）中各随机抽取m名学生进行有关知识测试，若将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：
A：，B：，C：，D：，E：，F：．并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
七年级测试成绩频数分布直方图 八年级测试成绩扇形统计图
已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：
86，85，87，86，85，89，88．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）_______，_______，八年级测试成绩的中位数是_______．
（2）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对党的“四次全会”精神认知程度高．请估计该校七、八两个年级对党的“四次全会”精神认知程度高的学生一共有多少人．
（3）甲、乙、丙、丁为七年级测试成绩在90分以上的四名同学，如果从这四名同学中随机选取两名作为社区宣讲员，恰好选中甲和丙的概率为多少？
【答案】（1）20；4；86.5；
（2）440人； （3）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．
（1）由扇形图可知八年级D组人数为7人，其中D占，八年级总人数为人，由于两个年级抽取人数均为m人，根据直方图可知七年级总人数为人，则可求得a的值；由于八年级共20个人，所以中位数应该是第10和第11两个数据的和的把D组的成绩从小到大排序后可得第十第11个数分别为86、87，则中位数为；
（2）根据直方图知七年级90分以上的有4人，根据扇形图之八年级90分以上的有7人，两个年级共抽取40人，然后用800乘以样本中测试成绩不低于90分的人数所占的百分比即可；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出甲和丙两名男同学能分在同一组的结果数，然后根据概率公式计算．
【小问1详解】
解：由题意得（人），
故．
解得．
把八年级测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为86，87，故中位数为．
故答案为：20；4；86.5．
【小问2详解】
解：
（人），
该校七、八两个年级对党的“二十大”精神认知程度高的学生一共约有440人．
【小问3详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种可能的结果，并且每种结果发生的可能性都相同，其中恰好选中甲和丙的结果有2种，．
所以恰好选中甲和丙的概率
18. 如图，四边形ABCD中，ADBC，AB＝AD＝CDBC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接BD，根据，AE是BD的垂直平分线，得到AB=AD，BE=DE，BO=OD，只需要证明△OAD≌△OEB，即可得到答案；
（2）根据（1）可以证明三角形DEC是等边三角形，从而可以证明∠BDC=90°，再利用三角函数求解即可得到答案.
【详解】解：（1）如图所示，连接BD，
由题意可知，AE是BD的垂直平分线，
∴AB=AD，BE=DE，BO=OD，
∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OEB，∠ODA=∠OBE，
在△OAD和△OEB中，
，
∴△OAD≌△OEB（AAS），
∴AD=BE，
∴AD=AB=BE=ED，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）由（1）得AD=AB=BE=ED，
∴∠DBE=∠EDB，
∵，
∴，
∴，
∴三角形DEC是等边三角形，
∴∠C=∠DEC=∠CDE=60°，
∵∠BDE+∠EBD=∠DEC，
∴∠BDE=30°，
∴∠BDC=90°
∴
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，特殊角的三角函数，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
19. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：米；任务2： 米，任务3：大于米．
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
任务1：过作于， 解三角形即可求出，，进而可得，
任务2：过作于，过作于，得四边形为矩形，再解三角形求出米，米，进而求出米，米，根据13点时，太阳高度角，由即可完成任务2，
任务3：由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，当14时，此时的长度就是龙舌兰摆放位置与墙壁的最大距离，求出此时米，即可完成任务3．
【详解】解：任务1：如图，过作于，
，
∴，
又∵，，
∴（米），
（米），
（米），
∴（米），
任务2：如解图2，过作于，过作于，
，
则，
四边形为矩形，
，，
∵米，，
∴（米），
（米），
（米），
∵由题意可知：米，
∴（米）
∴（米），（米），
∵13点时，太阳高度角，
∴，
∴（米）
∴13点时遮阳篷落在地面上影子的长度（米）
任务3： 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，
当14时，此时的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，
如解图3，在中，，
即（米），
（米），
答：龙舌兰能被太阳光照射到，此时摆放点离墙角距离的大于米．
20. 如图，一次函数与反比例函数为的图象交于，两点．
（1）求两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
（3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为5，求点Q的坐标．
【答案】（1），
（2）或
（3）或．
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键；
（1）将点坐标代入即可得出反比例函数，求得函数的解析式，进而求得的坐标，再将、两点坐标分别代入，可用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）由函数的图象即可得出反比例函数的值大于一次函数值且大于零的的取值范围；
（3）由题意，设且，则，求得，根据三角形面积公式得到，解得即可．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象经过点，
∴反比例函数的解析式为，
把代入，得，
∴点坐标为，
∵一次函数解析式，经过，，
故得
解得，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
∵，，
∴由图象可得，当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方，且都在x轴上方
∴时x的取值范围或；
【小问3详解】
由题意，设且，
解得，
或．
21. 如图，是的直径，点是弧上一点，且，与交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若平分，求证：；
（3）在（2）的条件下，延长，交于点，若，，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠AEB=90°，∠EAB=∠BDE，而∠BDE=∠CBE，则∠CBE+∠ABE=90°，则根据切线判定方法可判断BC是⊙O的切线；
（2）证明△DFE∽△DEB，然后利用相似比可得到结论；
（3）连结DE，先证明OD∥BE，则可判断△POD∽△PBE，然后利用相似比可得到关于PD的方程，再解方程求出PD即可．
【详解】解：（1）∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴是的切线；
（2）∵平分，
∴，
而，
∴，
∵，
∴
∴
∴；
（3）连结，如图，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：．
【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和切线的判定方法；运用相似三角形的判定和性质解决线段之间的关系．通过相似比得到PD的方程可解决（3）小题．
22. 综合与实践
【初步探究】
（）如图，在“双垂四边形”中，若，则_____，的值为_____．
【问题解决】
（）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值．
【拓展应用】
（）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的面积．
【答案】（），；（）；（）或
【解析】
【分析】（）由直角三角形两锐角互余可得，，进而可得，即可求解；
（）根据等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解；
（）如图，过点作于点，由（）知，，，即得，，进而由折叠可得四边形为正方形，连接，则，，分两种情况：①当点的对应点在的上方时；②当点的对应点在的下方时，
分别画出图形解答即可求解．
【详解】解：（）∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案：，；
（）∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（）如图，过点作于点，
由（）知，，
∴，
∵，
∴，
同理（）可得，，
∴，
由折叠的性质可知四边形为正方形，
连接，则，，
分两种情况：①如图，当点的对应点在的上方时，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴，
∴；
②如图，当点的对应点在的下方时，
同理可得，
∴；
综上可得，的面积为或．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角函数，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的性质，运用分类讨论思想并正确画出图形解答是解题的关键．
23. 已知函数（b，c为常数）的图象经过点．
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）设该函数图象的顶点坐标是，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为40，求b的值．
【答案】（1）顶点坐标为；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）把点代入函数，可得，把代入即可得到结论；
（2）根据顶点坐标写出顶点式抛物线，把（-2,4）代入即可求解；
（3）把函数化为，根据图像不经过第三象限进行分类讨论，利用函数的最大值与最小值之差为40构造方程进行求解．
【详解】解：（1）由题意，将点代入，得，
又∵，
∴，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）设该函数图象的顶点坐标是，，将点代入抛物线解析式得，
∴．
∴．
（3）由，得对称轴，
当时，，又函数不经过第三象限，则，，
此时，当时，函数最小值是0，最大值是16，
∴最大值与最小值之差为16，（舍去），
当时，，又函数不经过第三象限，
则需，得，
∴，
∴．
当时，函数有最大值，即当时，．
①当时，函数有最小值；函数最大值为，

由题意，，
解得或；
∵，即，
∴；
②当时，当 x=-3时函数有最小值=；函数最大值为，

由题意，，
解得，
∵，
∴（舍）；
综上所述．
【点睛】本题主要考查二次函数综合，抛物线的顶点式，抛物线顶点轨迹函数，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质，分类抓住函数的最大值与最小值之差为40构造方程．
素材1
图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面BC的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角，篷面宽米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架MN稳定篷面．支架MN的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点A，M，B共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点A，N，D共线），即米，支架MN与墙面的夹角．
素材2
宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表：
时刻
12点
13点
14点
15点
角的正切值
4
3
2.5
2
素材3
宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E．
任务1
确定安装点
请求出支架固定点M与A点的距离的长．
任务2
确定影子长
请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度．
任务3
判断能否照射到
这天14点，宁宁将龙舌兰摆放到点E处，为了保证龙舌兰能被太阳光照射到，请求出此时摆放点离墙角距离的取值范围．
在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究．
定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”．
素材1
图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面BC的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角，篷面宽米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架MN稳定篷面．支架MN的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点A，M，B共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点A，N，D共线），即米，支架MN与墙面的夹角．
素材2
宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表：
时刻
12点
13点
14点
15点
角的正切值
4
3
2.5
2
素材3
宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E．
任务1
确定安装点
请求出支架的固定点M与A点的距离的长．
任务2
确定影子长
请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度．
任务3
判断能否照射到
这天14点，宁宁将龙舌兰摆放到点E处，为了保证龙舌兰能被太阳光照射到，请求出此时摆放点离墙角距离的取值范围．
在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究．
定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”．