人教A版（2019）高中数学高考一轮复习第一章集合与逻辑用语1.2集合间的基本关系（讲义）（原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc190530973" 1知识点01集合与集合的关系 PAGEREF _Tc190530973 \h 2
\l "_Tc190530974" 2知识点02真子集 PAGEREF _Tc190530974 \h 2
\l "_Tc190530975" 3知识点03空集 PAGEREF _Tc190530975 \h 2
\l "_Tc190530976" 4题型一、子集、真子集、非空真子集的个数 PAGEREF _Tc190530976 \h 3
\l "_Tc190530977" 5题型二、集合间的包含关系 PAGEREF _Tc190530977 \h 4
知识点01集合与集合的关系
（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集．
记作：A⊆B(或B⊇A)
读作：A包含于B（或B包含A）．
图示：
（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等，即A是B的子集，B也是A的子集
记作：
读作：A等于B．
图示：
知识点02真子集
若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集．
记作：A⫋B（或BA）
读作：A真包含于B（或B真包含A）
图示：
知识点03空集
空集的概念：不含有任何元素的集合称为空集，记作：．
规定：空集是任何集合的子集．
结论：
（1）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（2）若则
（3）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，非空真子集的个数为2n-2，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0．
题型一、子集、真子集、非空真子集的个数
1．一个集合有5个元素，这个集合的子集个数共有（ ）
A．16B．31C．32D．64
【答案】C
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】利用集合子集个数的公式计算作答.
【详解】有5个元素的集合的子集个数为.
故选：C
2．已知集合，则集合有几个子集，几个非空真子集（ ）
A．8；7B．16；14C．8；6D．16；15
【答案】B
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据集合中元素个数直接求出子集及非空真子集个数即可.
【详解】集合中有4个元素，
所以集合有个子集，有个非空真子集.
故选：B
3．已知集合，则的子集个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据子集个数的计算公式，计算出集合的子集个数.
【详解】因为集合，所以集合的子集个数为个.
故选：D.
4．集合的真子集个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据含有个元素的集合的真子集有个计算可得.
【详解】集合含有个元素，
所以集合的真子集有个.
故选：C
5．若集合 则的真子集的个数为（ ）
A．32B．31C．25D．24
【答案】B
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据真子集个数的计算公式运算即可.
【详解】集合共有5个元素，
所以集合共有个真子集.
故选：B
6．已知集合，则集合的非空子集个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据子集的概念写出集合的所有子集，再去掉空集可得答案.
【详解】集合所有子集为：，，，，，，，，
其中非空子集为：，，，，，，，共7个.
故选：A
7．集合{x∈N|x=5-2n，n∈N}的子集的个数是（ ）
A．9B．8
C．7D．6
【答案】B
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据集合的描述法，列举出集合中的元素，由子集个数即可求解.
【详解】∵x∈N，n∈N，
∴集合{x∈N|x=5-2n，n∈N}={1，3，5}．
∴其子集的个数是23=8．
故选：B
【点睛】本题考查了求子集的个数，列举法表示集合，属于基础题.
8．集合的真子集的个数是（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】A
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】化简集合得出集合中元素个数即可求解.
【详解】由题知，所以集合的真子集的个数是．
故选：A.
9．已知，则集合M的真子集的个数是（ ）
A．7B．8C．15D．16
【答案】C
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】先求得集合，然后求得集合的真子集.
【详解】依题意，，
所以集合有个元素，真子集的个数为个.
故选：C
10．集合的子集个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】先求出集合，再由子集定义求其个数即得.
【详解】由题意得，则集合的子集个数为.
故选：B.
11．已知集合，则集合的非空子集个数共有（ ）
A．3B．7C．8D．15
【答案】B
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】利用列举法表示集合，确定集合中元素的个数，进而可求得集合的非空子集个数.
【详解】，集合中共个元素，
因此，集合的非空子集个数是.
故选：B
12．集合的真子集的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据题意求得集合，再根据集合真子集个数的计算方法，即可求解.
【详解】∵集合，
∴集合，则集合的真子集的个数是.
故选：D.
13．设集合，则集合A的子集个数为（ ）
A．4B．16C．8D．9
【答案】B
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、常用数集或数集关系应用
【分析】根据条件，先化简集合A，再利用子集个数的计算公式，即可求解.
【详解】由，
则集合A的子集个数为.
故选：B.
14．已知集合，则集合A的真子集的个数为（ ）
A．3B．4
C．8D．7
【答案】D
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】解不等式化简集合，再求出其真子集个数.
【详解】集合
所以集合A的真子集的个数为.
故选：D
题型二、集合间的包含关系
1．下列结论正确的是（ ）
A．任何一个集合至少有两个子集
B．空集是任何集合的真子集
C．若且，则
D．若且，则
【答案】C
【知识点】判断元素与集合的关系、判断集合的子集（真子集）的个数、判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用
【分析】利用空集的性质以及子集，真子集的定义、元素与集合的属于关系、集合与集合的包含关系对各个问题逐个判断即可求解．
【详解】解：A．空集只有一个子集，是它本身，故错误，不符合题意；
B．空集是任何非空集合的真子集，故错误，不符合题意；
C．若且，则，正确，符合题意；
D．若且，则不一定相等，故错误，不符合题意；
故选：C．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．A
【答案】D
【知识点】描述法表示集合、判断两个集合的包含关系
【分析】由题可化简集合A，由集合关系可判断选项正误.
【详解】由题可得，则，故ABC错误，D正确.
故选：D
3．设集合，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，即得：.
【详解】因为，，
所以，
故选：D
【点睛】本题考查了元素与集合，集合与集合的关系，考查学生的分析能力，属于基础题.
4．如果集合，那么（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系
【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系，即可判断选项.
【详解】根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系可知，
，，或，其中只有D正确.
故选：D
5．下列各式，①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系
【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的包含关系，即得解.
【详解】由于①；②；③；④；⑤，因此其中错误的有2个.
故选：B
【点睛】本题考查了元素与集合，集合与集合之间的包含关系，考查了学生的概念理解能力，属于基础题.
6．给出下列4个关系式：①；②；③；④，其中正确的个数为：（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系
【分析】根据常见数集的符号表示，结合属于关系与包含关系的定义、空集的性质进行判断即可.
【详解】因为是实数，所以①正确；
因为所以的整数都是有理数，所以，因此②不正确；
因为空集中没有元素，所以③不正确；
因为空集是任何集合的子集，所以④正确，
因此正确的个数为，
故选：B
7．下列Venn图能正确表示集合和关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】判断两个集合的包含关系
【分析】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可.
【详解】，又，
所以，选项B符合，
故选：B.
8．已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【答案】D
【知识点】判断两个集合的包含关系、判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解.
【详解】因为，
所以可以是，共8个，
故选：D
9．在下列选项中，能正确表示集合和的关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】判断两个集合的包含关系
【分析】先求出集合B，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可.
【详解】由，可得，又，所以
故选：B
10．已知集合，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系
【分析】首先列举法表示集合，再判断选项.
【详解】由条件可知，，根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，
可知，.
故选：C
11．若集合满足，则可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】求集合的子集（真子集）、判断两个集合的包含关系
【分析】根据集合的包含关系写出集合，即可得答案.
【详解】由，则或.
故选：A
12．下列表达式中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系
【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系，逐项判断得解.
【详解】对于正确；对于中无任何元素，而有一个元素错误；
对于C，，C正确；对于D，数对满足，则D正确.
故选：B