2025年高考数学(通用版)第第二轮复习小题提升练09(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学(通用版)第第二轮复习小题提升练09(学生版+解析)，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（2024·宁夏吴忠·一模）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．，或D．
2．（2024·四川宜宾·一模）如图，在复平面内，网格中每个正方形的边长都为1，点对应的复数分别为，则（ ）

A．B．
C．D．
3．（2024·四川眉山·一模）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·广东·模拟预测）《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件“两卦的六根线中恰有三根阳线”，“至少有一卦恰有两根阳线”，则（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三上·新疆克孜勒苏·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的1“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过多少天?（参考数据： ，）（ ）
A．19B．35C．45D．55
6．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）设有一组圆，若圆上恰有两点到原点的距离为1，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·江西新余·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，的三个顶点均在上，分别落在线段上且轴，若，则（ ）.
A．B．C．D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2024·贵州贵阳·模拟预测）某厂近几年陆续购买了几台 A 型机床，该型机床已投入生产的时间x（单位：年）与当年所需要支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料：
根据表中的数据可得到经验回归方程为. ，则（ ）
A．y与x的样本相关系数
B．
C．表中维修费用的第60百分位数为6
D．该型机床已投入生产的时间为 10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元
10．（24-25高三上·山东菏泽·期中）如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（ ）
A．
B．最小值为-2
C．在上的投影向量为
D．若的最大值为
11．（24-25高二上·重庆·期中）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．异面直线AP与所成角的取值范围是
C．平面ADP与平面ABCD所成夹角的余弦值取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024·甘肃兰州·模拟预测）已知向量的夹角的余弦值为，且，则 .
13．（2024·湖南邵阳·三模）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知，，分别是三个内角，，的对边，且，若点为的费马点，，则实数的取值范围为 .
14．（24-25高一上·甘肃金昌·阶段练习）已知函数，若，，使得不等式成立，实数的取值范围是 .x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7
2025年高考数学二轮复习小题提升练09
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·宁夏吴忠·一模）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．，或D．
2．（2024·四川宜宾·一模）如图，在复平面内，网格中每个正方形的边长都为1，点对应的复数分别为，则（ ）

A．B．
C．D．
3．（2024·四川眉山·一模）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·广东·模拟预测）《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件“两卦的六根线中恰有三根阳线”，“至少有一卦恰有两根阳线”，则（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三上·新疆克孜勒苏·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的1“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过多少天?（参考数据： ，）（ ）
A．19B．35C．45D．55
6．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）设有一组圆，若圆上恰有两点到原点的距离为1，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·江西新余·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，的三个顶点均在上，分别落在线段上且轴，若，则（ ）.
A．B．C．D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2024·贵州贵阳·模拟预测）某厂近几年陆续购买了几台 A 型机床，该型机床已投入生产的时间x（单位：年）与当年所需要支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料：
根据表中的数据可得到经验回归方程为. ，则（ ）
A．y与x的样本相关系数
B．
C．表中维修费用的第60百分位数为6
D．该型机床已投入生产的时间为 10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元
10．（24-25高三上·山东菏泽·期中）如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（ ）
A．
B．最小值为-2
C．在上的投影向量为
D．若的最大值为
11．（24-25高二上·重庆·期中）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．异面直线AP与所成角的取值范围是
C．平面ADP与平面ABCD所成夹角的余弦值取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024·甘肃兰州·模拟预测）已知向量的夹角的余弦值为，且，则 .
13．（2024·湖南邵阳·三模）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知，，分别是三个内角，，的对边，且，若点为的费马点，，则实数的取值范围为 .
14．（24-25高一上·甘肃金昌·阶段练习）已知函数，若，，使得不等式成立，实数的取值范围是 .
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7
参考答案：
1．D
【分析】求出集合，集合，再利用并集定义求出．
【详解】因为集合，集合，
所以．
故选：D．
2．A
【分析】根据复数的几何意义即可根据向量的模长求解.
【详解】由图可知：,所以,
故选：A
3．B
【分析】先求导数，得出切线斜率，写出切线方程，然后可求三角形的面积.
【详解】由，得，
则，所以曲线在点处的切线方程为，
令，得；令，得，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.
故选：B.
4．C
【分析】根据条件概率计算公式求得正确答案.
【详解】由八卦图可知，八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个，
两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个，
所以，
所以.
故选：C
5．B
【分析】
确定得到，计算得到答案.
【详解】设天后当“进步”的值是“退步”的值的2倍，则，即，
，
.
故选：B.
6．B
【分析】由题意将问题转换成圆与圆有两个交点即可求解.
【详解】圆，其圆心为，半径为．
因为圆上恰有两点到原点的距离为1，所以圆与圆有两个交点．
因为圆心距为，所以，解得．
故选：B
7．A
【分析】由数列是单调递增数列可知当时，单调递增，当时，单调递增，且，列出不等式，解不等式即可.
【详解】数列是单调递增数列，
可知当，时，单调递增，即或，解得；
当时，单调递增恒成立，
且，即；
解得，
所以若数列是单调递增数列，则，
故选：A.
8．D
【分析】作出图象，由题意可知，从而可得，在和中，分别求得，从而可得，即有， ，过作于，
可得，为中点，即可得解.
【详解】如图所示：
由题意可知，
设椭圆的半长轴为，
则，
在中，，
在中，
，
所以 ，
整理得：，即
解得：或，
当时，，不满足题意，故舍去；
当时，，满足题意，且，
过作于，
则，
所以,
所以，
故为中点，
所以.
故选：D.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是在和中，分别求得，建立等量关系，求得.
9．ABC
【分析】对A，根据相关系数的概念可判断，对B，计算出样本中心，代入方程计算出，对C，根据百分位数的定义求解，对D，根据回归分析概念判断.
【详解】根据题意可得，，，
所以样本中心点为，
对于A，由表中数据可得随着增大而增大，与正相关，所以相关系数,故A正确；
对于B，将样本中心点代入回归方程，可得，故B正确；
对于C，维修费用从小到大依次为，第60百分位数为，故C正确；
对于D，根据回归分析的概念，机床投入生产的时间为 10年时，所需要支出的维修费用大概是12.38万元，故D错误.
故选：ABC.
10．ABD
【分析】由已知是的中点，易得，可判断A；根据投影向量的定义可判断C；以M为原点，直线AC为轴建立直角坐标系，设，则，写出各点坐标，表示各向量的坐标，用向量的坐标运算及三角恒等变形可判断C、D.
【详解】以M为原点，直线AC为轴建立直角坐标系（如图），
设，则，在中，，，是的中点，
所以， ，则
，，，，
所以，，，
对于A：因为是的中点，所以，故A正确；
对于B：
因为，所以，当时，取得最小值，
所以最小值为，故B正确；
对于C：在上的投影向量为，故C错误；
对于D：因为所以，
则，当时，取最大值.故D正确.
故选：ABD.
11．ABD
【分析】对于A，利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于B，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于CD，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出平面与平面所成角的余弦值和直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断.
【详解】对于A，，平面，平面，
所以平面，因为点在线段上运动，
点到平面的距离为定值，又的面积为定值，
故三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于B，因为，所以异面直线与所成的角即为与所成的角，
当点位于点时，与所成的角为，
当点位于的中点时，因为平面，，
所以，此时，与所成的角为，
所以异面直线与所成角的取值范围是，故B正确；
对于C，以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，，
则，，设平面的法向量，
设平面的法向量，
，
则，即，
令，则，则得，
面与平面所成夹角为，
所以，
因为，，所以，，
所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故C错误；
对于D，则，，，，，，
设平面的法向量n=x,y,z，则，即，
令，则，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为：
，
当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，
最大值为，故D正确.
故选：ACD.
12．2
【分析】根据平面向量的数量积定义及运算律求解即可.
【详解】由题意，向量的夹角的余弦值为，
因为，
所以，
解得或（舍去）.
故答案为：2.
13．
【分析】根据题意，求得,设，求得，利用余弦定理得到，，，由，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，则，整理得，
由正弦定理得，
则，且，则，所以，可得，
又由点为的费马点，可得,
设，
由，可得，
由余弦定理得
，
，
因为，即，
可得，且，则，
当且仅当时，即时，等号成立，
又因为，则，解得或（舍去），
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
14．
【分析】由题意将问题转化为，成立，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】若对任意，存在，使得不等式成立，
即只需满足，
，对称轴在递减，在递增，
，对称轴，
①即时，在0,1递增，恒成立；
②即时，在递减，在递增，，所以，故；
③即时，在[0，1]递减，，
所以，解得，综上.
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果.

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
C
B
B
A
D
ABC
ABD
题号
11









答案
ABD