2025年高考数学(通用版)第第二轮复习小题提升练16(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学(通用版)第第二轮复习小题提升练16(学生版+解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（2024·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（ ）个．
A．16B．15C．14D．13
2．（23-24高三上·山东枣庄·期末）若是方程的一个虚数根，则（ ）
A．0B．-1C．D．-1或
3．（2024·湖北·一模）若，，则（ ）
A．B．C．3D．5
4．（2023·广东广州·模拟预测）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列，且为等差数列，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．12D．13
6．（23-24高三上·山东德州·期末）在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·四川绵阳·二模）设分别为椭圆的左，右焦点，以为圆心且过的圆与x轴交于另一点P，与y轴交于点Q，线段与C交于点A．已知与的面积之比为，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·浙江杭州·模拟预测）小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2024·湖南长沙·一模）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·山东淄博·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17
B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C．用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好
D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2
11．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设，，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．面积的最小值为8
C．以焦半径为直径的圆与直线相切
D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024·北京通州·二模）已知的数（），若的最小正周期为，的图象向左平移个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则 ；若在区间上有3个零点，则的一个取值为 ．
13．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ．
14．（2024·河南郑州·一模），不等式恒成立，则正实数的最大值是 ．
2025年高考数学二轮复习小题提升练16
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（ ）个．
A．16B．15C．14D．13
2．（23-24高三上·山东枣庄·期末）若是方程的一个虚数根，则（ ）
A．0B．-1C．D．-1或
3．（2024·湖北·一模）若，，则（ ）
A．B．C．3D．5
4．（2023·广东广州·模拟预测）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列，且为等差数列，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．12D．13
6．（23-24高三上·山东德州·期末）在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·四川绵阳·二模）设分别为椭圆的左，右焦点，以为圆心且过的圆与x轴交于另一点P，与y轴交于点Q，线段与C交于点A．已知与的面积之比为，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·浙江杭州·模拟预测）小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2024·湖南长沙·一模）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·山东淄博·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17
B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C．用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好
D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2
11．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设，，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．面积的最小值为8
C．以焦半径为直径的圆与直线相切
D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024·北京通州·二模）已知的数（），若的最小正周期为，的图象向左平移个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则 ；若在区间上有3个零点，则的一个取值为 ．
13．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ．
14．（2024·河南郑州·一模），不等式恒成立，则正实数的最大值是 ．
参考答案：
1．B
【分析】先确定集合有四个元素，则可得其非空子集的个数.
【详解】根据题意，，
则集合的非空子集的个数是.
故选：B
2．A
【分析】求出方程的虚数根，再代入计算即得.
【详解】方程化为：，依题意，或，
显然，又，即，
所以.
故选：A
3．B
【分析】利用向量加法和数量积的坐标表示直接计算求解即可.
【详解】由题意可知，
所以，
故选：B
4．D
【分析】根据累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案.
【详解】，，
由于为等差数列，所以，
所以
，也符合，
所以，
所以数列的前项和为.
故选：D
5．D
【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.
【详解】
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
6．A
【分析】取的中点，所以为二面角的平面角，过点作与平面垂直的直线，则球心在该直线上，设球的半径为，在中利用余弦定理可得，从而可得外接球的表面积.
【详解】如图，取的中点，连接，，
由题意，，所以，
所以为二面角的平面角，所以，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，
所以，为外接圆的圆心，
又是边长为2的等边三角形，所以，
过点作与平面垂直的直线，则球心在该直线上，
设球的半径为，连接，可得，
在中，，
利用余弦定理可得，
所以，解得，
所以外接球的表面积为.
故选：A.
7．B
【分析】由题意可逐步计算出点A坐标，由点A在椭圆上，将其代入椭圆方程得到等式后，借助等式即可计算离心率.
【详解】由题意可得F1−c,0、，，
则以为圆心且过的圆的方程为，
令，则，由对称性，不妨取点在轴上方，即，
则，即，
有，则，
又，即有，即，
代入，有，即，
即在椭圆上，故，
化简得，由，
即有，
整理得，即，
有或，
由，故舍去，即，
则.
故选：B.

【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率时，可将已知的几何关系转化为关于椭圆基本量a，b，c的方程，利用和转化为关于的方程，通过解方程求得离心率．
8．C
【分析】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，事件B：吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子.先利用全概率公式求，然后再由条件概率公式可得.
【详解】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，
事件B：吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子.
则，，，，
当时，，
由题知，，
所以，
又，
所以.
故选：C
9．ACD
【分析】由奇函数定义逐一判断即可.
【详解】对于A，的定义域为全体实数，关于原点对称，且，故A满足题意；
对于B，若，则，故B不满足题意；
对于C，的定义域为，它关于原点对称，且，故C满足题意；
对于D，的定义域为，它关于原点对称，且，故D满足题意.
故选：ACD.
10．BCD
【分析】根据方差的性质即可判断A；根据百分位数计算公式即可判断B；根据决定系数的概念即可判断C；根据非线性回归方程的求法并结合对数运算性质即可判断D.
【详解】对A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A错误；
对B：，则其第80百分位数是，故B正确；
对C，根据决定系数的含义知越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；
对D，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，
则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和2，故D正确.
故选：BCD.
11．BC
【分析】求抛物线的焦点和准线，设直线为，联立方程结合韦达定理可得，，进而结合抛物线方程和定义逐项分析判断.
【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，
显然直线的斜率不为0，且可以不存在，此时直线与抛物线必相交，
设直线为，
联立方程，消去x得，
则，，
对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，
原点O0,0到直线的距离，
所以面积，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为8，故B正确；
对于选项C：由题意可知：线段的中点，
则到y轴的距离为，
所以以焦半径为直径的圆与直线相切，故C正确；
对于选项D：因为
，
即，故D错误；
故选：BC.
12． 或 6（答案不唯一）
【分析】由的最小正周期为，可求出，再根据三角函数的平移和伸缩变化可求出；根据，求出，结合题意可得，解不等式即可得出答案.
【详解】因为的最小正周期为，所以，解得：，
所以，的图象向左平移个单位长度后，
可得：，
再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，
所以；
因为，，
在区间上有3个零点，
所以，解得：，
则的一个取值可以为6.
故答案为：或；6（答案不唯一）.
13．
【分析】先根据异面直线所成角的定义确定为异面直线与所成的角或其补角；再根据勾股定理求出，余弦定理求出.，进而得出；最后在中，利用余弦定理即可求出.
【详解】取的中点，连接，如图所示：
因为为的中点，为的中点，
则根据三角形的中位线定理可得，且.
所以为异面直线与所成的角或其补角．
因为在中，，，，
所以，则.
又，所以．
又在中，，,
所以由余弦定理可得：.
又因为在中，，
所以由余弦定理可得：.
则在中，由余弦定理可得，，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：.
14．
【分析】对不等式变形可得在上恒成立，构造函数并利用导数判断可得在上单调递增，即等价于，因此可得对恒成立，构造函数并求得其最小值即可得，可得结果.
【详解】将不等式变形可得，
即，
构造函数，可得；
令，则；
所以当时，，即在上单调递减；
当当时，，即在上单调递增，
所以，即，所以函数在上单调递增，
利用单调性并根据可得，
即可得，即对恒成立，因此即可；
令，则，
显然当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以，即，
因此正实数的最大值是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将不等式变形成，根据同构函数可令，利用导数求得其单调性可转化为对恒成立，求出函数在上的最小值即可得出结论.

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
D
D
A
B
C
ACD
BCD
题号
11









答案
BC