2025年高考数学(通用版)第第二轮复习小题提升练14(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学(通用版)第第二轮复习小题提升练14(学生版+解析)，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（2024·江西鹰潭·一模）已知集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江杭州·模拟预测）欧拉公式（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数）是数学中的一个神奇公式．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2024·河北保定·二模）有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在正三棱台中，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（ ）
A．B．4C．D．
7．（2024·北京海淀·一模）某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（ ）

A．6B．7C．8D．9
8．（2024·陕西·二模）已知，是函数的两个零点，则（ ）
A．1B．eC．D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2022·广东广州·三模）已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·辽宁大连·一模）函数对任意，都有，则关于函数的命题正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．直线是函数图像的一条对称轴
C．点是函数图像的一个对称中心
D．将函数图像向右平移个单位，可得到的图像
11．（2024·山西·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为坐标原点，直线交双曲线的右支于，两点（不同于右顶点），且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则（ ）
A．为定值
B．
C．点到两条渐近线的距离之和的最小值为
D．不存在直线使
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024·重庆·模拟预测）已知圆和抛物线，F为抛物线C的焦点，若圆M与抛物线C在公共点P处有相同的切线l，且直线l的纵截距为则实数p的值为 ．
13．（22-23高三下·湖南·阶段练习）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是厘米，中间圆的直径是厘米，上底面圆的直径是厘米，高是厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的侧面积是 平方厘米．
14．（21-22高一下·辽宁·期末）某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则 ；若，则的值为 .
2025年高考数学二轮复习小题提升练14
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·江西鹰潭·一模）已知集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江杭州·模拟预测）欧拉公式（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数）是数学中的一个神奇公式．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2024·河北保定·二模）有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在正三棱台中，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（ ）
A．B．4C．D．
7．（2024·北京海淀·一模）某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（ ）

A．6B．7C．8D．9
8．（2024·陕西·二模）已知，是函数的两个零点，则（ ）
A．1B．eC．D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2022·广东广州·三模）已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·辽宁大连·一模）函数对任意，都有，则关于函数的命题正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．直线是函数图像的一条对称轴
C．点是函数图像的一个对称中心
D．将函数图像向右平移个单位，可得到的图像
11．（2024·山西·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为坐标原点，直线交双曲线的右支于，两点（不同于右顶点），且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则（ ）
A．为定值
B．
C．点到两条渐近线的距离之和的最小值为
D．不存在直线使
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024·重庆·模拟预测）已知圆和抛物线，F为抛物线C的焦点，若圆M与抛物线C在公共点P处有相同的切线l，且直线l的纵截距为则实数p的值为 ．
13．（22-23高三下·湖南·阶段练习）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是厘米，中间圆的直径是厘米，上底面圆的直径是厘米，高是厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的侧面积是 平方厘米．
14．（21-22高一下·辽宁·期末）某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则 ；若，则的值为 .
参考答案：
1．A
【分析】解一元二次不等式求出集合A及，根据集合的包含关系求出结果.
【详解】因为，
或，
因为集合，，所以，
故选：A.
2．A
【分析】由复数的几何意义判断.
【详解】由欧拉公式，在复平面内对应点在第一象限．
故选：A．
3．B
【分析】先将4个盒子进行全排，若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是白球或都是黑球，分别计算出排列数，即可得到答案.
【详解】将4个盒子按顺序拆开有种方法，
若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，
则前两个盒子都是白球或都是黑球，有种情况，
则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为.
故选：B
4．B
【分析】由知点的轨迹方程是以位直径的圆，可得，即可求出的取值范围.
【详解】说明在以为直径的圆上，
而又在圆上，因此两圆有公共点，
则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中，
所以，即，又，解得.
故选：B
5．D
【分析】在平面中，过作的平行线，交的延长线于，连接，则或其补角为异面直线与所成角，结合余弦定理可求角的余弦值.
【详解】由正三棱台的性质可得四边形为等腰梯形，其中，
如图，在梯形中，过作，垂足为，
而，故，
故.
同理，.
在平面中，过作的平行线，交的延长线于，连接，
则或其补角为异面直线与所成角，
因，，故四边形为平行四边形，
故，，
而，故，
故，
故异面直线与所成角的余弦值为，
故选：D.
6．A
【分析】由不等式可得，求出右边的最小值，进而可得的最大值．
【详解】因为，若，可得，
设，只需要小于等于右边的最小值即可，
则，
令，可得，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，
即的最大值为．
故选：A．
7．C
【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算公式，即可判断答案.
【详解】由题意可知，，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围，
依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在方向上前进的距离依次为：，
则，
黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，
即，
综合可得培养皿的半径r（，单位：）至少为8cm，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.
8．D
【分析】由题意构造，将原函数的零点问题转化为的图象的交点问题，判断函数的对称性，即可求得答案.
【详解】由，可知，
故时，则可得，
而，是函数的两个零点，
令，则的图象必有两交点
且，是两交点的横坐标，
由于，即的图象关于点对称，
而，即的图象也关于点对称，
故的交点关于点对称，则，
故，
故选：D
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的零点问题，解答的关键是根据函数特征，构造新函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，结合对称性即可解决.
9．ABC
【分析】按照向量数量积的坐标运算、模的坐标运算、夹角公式及平行的坐标公式依次判断即可.
【详解】，A正确；，B正确；
，则，C正确；
，D错误.
故选：ABC.
10．BD
【分析】对于题干条件，用替代得到新的方程，联立先算出表达式，从而得出的表达式，然后根据正弦函数的性质逐一判断每个选项.
【详解】由，用替代得到
，
联立上述两式得到，，
则.
A选项，时，，根据正弦函数的单调性，
在上递增，在上递减，
根据复合函数的单调性可知在区间上先递增后递减，A选项错误；
B选项，时，，取到了最小值，
故是函数图像的一条对称轴，B选项正确；
C选项，时，，则是的对称中心，
故是是函数图像的一个对称中心，C选项错误；
D选项，函数图像向右平移个单位，得到
，D选项正确.
故选：BD
11．BD
【分析】对于A，根据，取垂直于x轴的直线，结合条件可判断A；对于B，设直线的方程为，利用韦达定理可得，联立直线与渐近线方程，可分别解得，，结合弦长公式可判断B；对于C，设，可得P到两渐近线距离可判断C；由题可得恒成立可判断D.
【详解】双曲线的渐近线为，
对于A：因为，
作直线，，且，分别交轴上方渐近线于，，
交轴下方渐近线于，，
有对称性可知：，
此时，
又因为为定值，所以，
即不是定值，故A错误；

对于B，由题意可知：直线不与y轴垂直，设直线的方程为，
联立得，得，
则，且,
所以，
联立，得，联立，得，
所以，则，
结合弦长公式可得，
即，故B正确；
对于C，设，则，渐近线为，
所以P到两渐近线距离为：
，
当且仅当时，等号成立，故C错误；
对于D，设，则，可得，
由图可得，即恒成立，
故不存在直线使，故D正确.

故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题D选项可借助，结合，得到，从而得解.
12．2
【分析】设切点，求导得到切线方程，根据纵截距为-3得到，根据圆的切线的性质得到，最后解方程得到.
【详解】，设切点，则切线，
由已知得①，②，
将①代入②有，
.
故答案为：2.
13．
【分析】作出图形，计算出两个圆台的母线长，再利用圆台的侧面积公式可求得结果.
【详解】如图，过点在平面内作，垂足为，
过点在平面内作，垂足为，
由题意可得，，，由圆台的几何性质可知，
在平面中，，，则四边形为矩形，则，
所以，，同理可得，
由题意可知且，则，，
从而，，
故该汝窑双耳罐的侧面积为
平方厘米．
故答案为：.
14． /5.75
【分析】第一空，由正弦定理求得，可得，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得，即得答案；
第二空，设，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出，即可求得答案.
【详解】设外接圆半径为，则，
由正弦定理，可知，
即，由于是锐角，故，
又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故，
所以；
设，
则，
由于，不妨假设，
由余弦定理知，
设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 ,
故 ,
则得，
所以，
同理可得，
所以,
故答案为：；
【点睛】本题重要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵活地结合垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题.

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
B
B
D
A
C
D
ABC
BD
题号
11









答案
BD