2024-2025学年江苏省南京市金陵中学高二下学期期初测试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市金陵中学高二下学期期初测试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从集合{−1,0,1,2}中任取两个不同的数a,b组成复数a+bi，其中虚数有( )
A. 4个B. 9个C. 12个D. 16个
2.函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率，则m=( )
A. 1B. 12C. 2D. −12
3.记Sn为等差数列an的前n项和，已知S5=S10,a5=1，则a2=( )
A. 0B. 13C. 73D. 2
4.若直线y=kx+2与圆x2+y2=4相交于A、B两点，且S▵ABO=2(其中O是原点)，则k的值为( )
A. ± 33B. ±12C. ±1D. ± 2
5.若函数y=x3−2ax在(0, 3)内无极值，则实数a的取值范围是( )
A. (0,92)B. (−∞,0]
C. (−∞,0]∪[92,+∞)D. (−∞,0]∪(92,+∞)
6.设F1,F2为曲线C1:x26+y22=1的左，右两个焦点，P是曲线C2:x23−y2=1与C1的一个交点，则sin∠F1PF2的值为( )
A. 13B. 23C. 53D. 2 23
7.已知函数f(x)=aex−x2+3有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A. 0,6e3B. 0,2eC. −2e,6e3D. −2e,2e
8.抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线．过抛物线C:y=2x2上的一点P(异于原点O)作C的切线l，过O作l的平行线交PF(F为C的焦点)于点Q，则|OQ|的取值范围为( )
A. 0,18B. 0,14C. (0,1)D. (0,2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某企业根据市场调研得到研发投入x(亿元)与产品收益y(亿元)的数据统计如下，则下列叙述正确的是( )
参考公式：y关于x的回归直线方程y=bx+a中，b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2,a=y−bx
A. x=4,y=6
B. 由散点图知变量x和y负相关
C. 相关系数r>0
D. 用最小二乘法求得y关于x的线性回归直线方程为y=1.5x+0.5
10.已知点M(4,0),N(0,2)，点P在⊙C:x2−14x+y2−4y+44=0上运动，在此过程中，则( )
A. ▵PMN的面积最大值为7−3 5B. MO⋅MP的取值范围是[−24,0]
C. 存在斜率为37的直线NPD. 存在四个直角三角形PMN
11.己知数列an满足a1=t(t为正整数)an+1=an3,an为3的倍数2an+1,an不为3的倍数，则下列结论正确的是( )
A. 若t=27，则a8=1
B. 若a5=1，则t所有可能取值的集合为{3,9,12,13,81}
C. 若t=3k，k为正整数，则an的前k项和为3k+1−12
D. 任意n∈N∗,an,an+1,an+2都不能构成等差数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线y=2x是双曲线C:y216−x2m2=1(m>0)的一条渐近线，则双曲线C的离心率为 ．
13.已知定义在(0,+∞)的函数f(x)满足f(x)−xf′(x)0的解集为 ．
14.棱长为 6的正四面体A−BCD中，点M为平面BCD内的动点，且满足AM= 5，点G为▵ABD的重心，则直线AM与直线CG所成角的余弦值的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列an的前n项和Sn满足 Sn= Sn−1+1n≥2,n∈N∗，且a1=1．
(1)求证：数列an为等差数列；
(2)记bn=1anan+1,Tn为数列bn的前n项和，求使Tn≥1an成立的n的最小值．
16.(本小题12分)
设函数f(x)=ax−lnx+1,a∈R．
(1)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，当x∈(0,e]时，函数f(x)的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，且CD=2,AB=1，BC=2 2,PA=1，AB⊥BC，N为PD的中点．
(1)求点N到平面PBC的距离：
(2)在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是 55，若存在，求出DMDP的值，若不存在，说明理由．
18.(本小题12分)
己知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，且经过点1, 22．
(1)求椭圆C的方程；
(2)记椭圆C的右焦点为F，若点A,B在椭圆C上，满足3FA+FB=0，求直线AB的斜率．
(3)过点0,−12的动直线与椭圆C有两个交点P,Q，在y轴上是否存在点T使得TP⋅TQ≤0恒成立．若存在，求出T点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
19.(本小题12分)
数列an的前n项和为Sn，若存在正整数r,t，且r0,y n=1=2−3−11e时，由f′(x)