江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（原卷及解析版）

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1. 已知，则（ ）
A. 0B. C. 2D. 3
2. 若关于的不等式的解集为或，则（ ）
A. 70B. 90C. 180D. 495
3. 已知是单调递增的等比数列，且，则公比的值是（ ）
A 3B. －3C. 2D. －2
4. 已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（ ）
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知点，圆，若圆上存在点使得，则实数的最小值是（ ）
A. －1B. 1C. 0D. 2
7. 已知函数的最小正周期为，若在区间上恰有8个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（ ）
A. B. C. D.
10. 设的内角的对边分别为．已知，则（ ）
A. 的外接圆半径为
B.
C.
D. 为锐角三角形
11. 围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一．东汉的许慎在《说文解字）中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈”在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率．甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率．若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是和，则（ ）
A.
B. 当时，
C. 当时，
D. 存在，对任意的，都有
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中的系数是______．（用数字作答）
13. 已知等边的边长为1，若平面内一点满足，则与夹角的余弦值为______．
14. 一个顶点为，底面中心为的圆锥的体积为，若正四棱锥内接于该圆锥，平面与该圆锥底面平行，点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥的体积的最大值是______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，．
（1）求的离心率；
（2）若射线交椭圆于点，且，求的值．
16. 如图，在直三棱柱中，为中点．
（1）证明：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求线段的长度．
17. 设函数．
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间上的最小值为且最大值为2？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由．
18. 已知数列，其中数列是等差数列，且满足，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列前项和；
（3）设数列的前项和为，记集合且，求集合中所有元素的和．
19. 已知函数，且．
（1）求的最大值；
（2）判断与的大小关系，并说明理由；
（3）判断，，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究外接圆的半径是否为定值；若不能，请说明理由．