江苏省常州市武进高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江苏省常州市武进高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2025年3月
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知，，则点B的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 已知，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A. B. C. 或D.
5. 设，，，则有（ ）．
A. B. C. D.
6. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（ ）
A. 17B. 20C. 34D. 48
8. 已知函数在处取得最大值，则（ ）．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列化简正确的是
A. B.
C. D.
10. 下列关于平面向量说法中正确的是（ ）
A. 若且，则
B. 在中，若，则点为边上的中点
C. 已知，均为非零向量，若，则
D. 在中，为的中点，若，则是在上的投影向量
11. 如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则的取值可能是（ ）
A. B. 1C. 5D. 9
三、填空题.本题共3小在小86共15分．
12. 已知，且，则的值是_________．
13. 平行四边形ABCD中，F是CD边中点，，点M在线段EF（不包括端点）上，若，则的最小值为______．
14. 已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知，．
（1）分别求，值；
（2）若角终边上一点，求值．
16. 如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设
（1）试用a，b表示
（2）证明：B，E，F三点共线．
17. 如图，在菱形ABCD中，，E，F分别是边AB，BC上的点，且，，连接ED、AF，交点为G．
（1）设，求t的值；
（2）求的余弦值．
18. 如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN
（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；
（2）当A在何处时，矩形ABCD面积S最大？最大值为多少？
19. 已知，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，．
（1）若，的坐标为，求；
（2）若，，求的最大值；
（3）若存在，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值．
2024级高一第二学期3月阶段性质量调研
数学试卷
2025年3月
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知，，则点B的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的坐标表示可得答案.
【详解】设,则，
解得.
故选:B
2. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二倍角公式即可求解.
【详解】根据已知有：.
故选：B
3. 已知向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂直时得到，解出值，再根据充分不必要条件的判定即可得到答案.
【详解】若，则，则.
若，则，解得或.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】设与的夹角为，由在上的投影向量为即可求得的值，结合向量夹角的范围即可求解.
【详解】设与的夹角为，
则在上的投影向量为，即，
所以，所以，
因为，所以，
故选：D.
5. 设，，，则有（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别应用二倍角公式及两角和差公式化简，即可判断大小.
【详解】因为，
，
，
因为，所以.
故选：C.
6. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角差的余弦展开后再利用两角和的正弦可得的值.最后利用诱导公式可求的值.
【详解】
，故，
所以，故
选D.
【点睛】本题考查诱导公式、两角差的余弦、两角和的正弦公式的应用及其逆用，属于中档题.
7. 已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（ ）
A. 17B. 20C. 34D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的线性运算、绝对值三角不等式、垂径定理等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设是圆的圆心，连接，作，垂足分别为，
则分别是的中点，由勾股定理得，
，
，
故,
当反向时等号成立，
所以的最大值是.
故选：C
【点睛】方法点睛：
解决圆中向量问题，垂径定理是一个重要的工具，通过垂径定理找到弦的中点，将向量与圆心和中点联系起来，便于进行向量的运算和转化.
对于求向量和的模的最值问题，利用向量的线性运算将其转化为已知向量的运算形式，再结合绝对值三角不等式（当且仅当与同向或反向时取等号）来求解，是一种常用的方法.
8. 已知函数在处取得最大值，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用辅助角公式对进行化简，再根据处取得最大值，求出的值，进而求出，最后利用倍角公式求出的值即可.
【详解】由，其中为锐角，.
又因为在处取得最大值，所以，，
即，，
所以，
又，
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列化简正确的是
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式依次化简各个选项可得结果.
【详解】中，，则错误；
中，，则错误；
中，，则正确；
中，，则正确.
故选：
【点睛】本题考查三角恒等变换的化简问题，涉及到两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式的应用.
10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A. 若且，则
B. 在中，若，则点为边上的中点
C. 已知，均为非零向量，若，则
D. 在中，为的中点，若，则是在上的投影向量
【答案】BCD
【解析】
【分析】举反例可得A错误；由向量的加法和图形关系可得B正确；等式平方后得到，可得C正确；由单位向量，向量加法，投影向量的概念可得D正确.
【详解】A：设，则，且，但，故A错误；
B：
因为，且，
所以，
所以，即点为边上中点；故B正确；
C：因为，
所以，
所以，故C正确；
D：因为分别表示与同方向的单位向量，
由向量加法可得是以为起点，对应线段为邻边菱形的对角线对应的向量，即，同时也在的平分线上，
由菱形的对角线互相垂直可得，
所以是在上的投影向量，故D正确；
故选：BCD
11. 如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则的取值可能是（ ）
A. B. 1C. 5D. 9
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出求x+y的最大值时，只需考虑图中以为起点，6个顶点为终点向量，分别求出即得结论．根据其对称性，可知x+y的最小值．
【详解】如下图所示：设＝，＝，求x+y的最大值，只需考虑下图中以为起点，6个顶点为终点向量即可，讨论如下：
（1）∵＝，∴；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）﹒
∴x+y的最大值为2+3＝5﹒
根据其对称性，可知x+y的最小值为﹣5﹒
故x+y的取值范围是[﹣5，5]，
观察选项，选项B、C均符合题意．
故选：BC
【点睛】本题考查了平面向量的加法运算及其几何意义问题，
三、填空题.本题共3小在小86共15分．
12. 已知，且，则的值是_________．
【答案】
【解析】
【详解】由
则
故答案为：
13. 平行四边形ABCD中，F是CD边中点，，点M在线段EF（不包括端点）上，若，则的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】设，求出，再利用基本不等式求解.
【详解】解：如图所示，设，
所以,
所以，
因为，
所以.
所以.
当且仅当时等号成立.
故答案为：
14. 已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先把化成，求出的零点的一般形式为，根据在区间内没有零点可得关于的不等式组，结合为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围.
【详解】由题设有，
令，则有，即，
因为在区间内没有零点，
故存在整数，使得，
即，因为，所以且，故或，
所以或.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知，．
（1）分别求，的值；
（2）若角终边上一点，求的值．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）由的值以及的范围，利用同角三角函数的基本关系即可求的值，进而可得的值.
（2）利用三角函数的定义可求的值，利用正切的二倍角公式可求出的值，再由两角和的正切公式即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以，
（2）由三角函数的定义可得，
由正切的二倍角公式可得，
.
16. 如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设
（1）试用a，b表示
（2）证明：B，E，F三点共线．
【答案】（1）＝b－a，＝a＋b，＝－a＋b；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）将向量a,b作为基底表示向量，要在封闭图形中去找；
（2）运用向量共线定理，再强调有一个公共点即可证明.
【详解】(1) 由题意，得＝b－a，
＝a＋(b－a)＝a＋b，
＝－a＋b.
(2) 因为＝－a＋b，
＝－a＋(a＋b)＝－a＋b＝a+b，
所以，所以与共线．
又与有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
17. 如图，在菱形ABCD中，，E，F分别是边AB，BC上的点，且，，连接ED、AF，交点为G．
（1）设，求t的值；
（2）求的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1），由三点共线得，，结合平面向量基本定理可求得；
（2）取作为平面的一组基底，用基底表示出向量，求出，，，由向量夹角公式即可求得答案.
【小问1详解】
，
又D，G，E三点共线，则，
则，
因为，不共线，由平面向量基本定理，得且，
解得.
【小问2详解】
取，作为平面的一组基底，
则，
则，
.
，
，
．
18. 如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN
（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；
（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？
【答案】（1）;（2） 当A在弧MN的四等分点处时，．
【解析】
【详解】（1）如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，
，
，

（2）设
则，


，
即时，
，此时A在弧MN的四等分点处
答：当A在弧MN的四等分点处时，
19. 已知，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，．
（1）若，的坐标为，求；
（2）若，，求的最大值；
（3）若存在，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值．
【答案】（1）；（2）12；（3）．
【解析】
【分析】利用向量线性运算的坐标表示，（1）可得代入，即可求的坐标；（2）可得代入，即可求其的最值；（3）求、的坐标，进而可得、，结合题设有，应用三角恒等变换及三角函数的性质，可得、，由分类讨论的方式求的所有可能值．
【详解】（1）由题意，，
∴，
，
∴由，则、，故；
（2）由题意，，
∴，
，
∴由，则、，即，
∴当时，的最大值为12；
（3），
，
∴，，
∵△为等边三角形，
∴，
∴，
， 整理得：且，
∴或，
综上， 当，时，或；
当，时，或；
所以的所有可能值为.
【点睛】关键点点睛：第三问，首先求出、的坐标，再由，结合三角恒等变换、三角函数性质求出的可能值，进而求对应值.