江苏省常州市北郊高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江苏省常州市北郊高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟 满分150分）
命题：顾海波
审卷：陆维波
2025年4月
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 中，，则（ ）.
A. B. 4C. D. 12
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 中，，则=（ ）.
A. B. C. D.
4. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，已知，则△ABC的形状是（ ）.
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等边三角形D. 等腰或直角三角形
6. 在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系、若，，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知向量，，，若，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若为复数，则
B. 若为向量，则
C. 若为复数，且，则
D. 若为向量，且，则
10. 计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）.
A. B.
C. D.
11. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”：已知是内一点，的面积分别为，且.则下列说法正确的是（ ）.
A. 若，则为重心
B. 若，则
C. 若，则
D. 若为的内心，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. =________.
13. 已知，则_____________．
14. 若一个三角形的三边为连续自然数，且最大角是最小角的两倍，则此三角形的面积为_．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，.
（1）求的值.
（2）若，，且，求的值.
16. 在中，角的对边分别为，.
（1）求；
（2）若的面积为，，为的中点，求.
17. 已知函数
（1）若的最小正周期为
（i）求值及图像的对称中心；
（ii）当时，求的值域；
（2）若在区间上单调递减，求的取值范围.
18. 如图，在△ABC中，，，且，为线段上的两个动点（在的右侧），且

（1）若时，求的长；
（2）若△面积是△的面积的倍，求的大小；
（3）当为何值时，△的面积最小，最小面积是多少？
19. 我们都知道，三角形的三边关系为：任意两边之和大于第三边.已知函数，若对于任意的实数都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”.
（1）试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由；
（2）设向量，若函数为上“完美三角形函数”，求实数的取值范围；
（3）已知函数为（为正的实常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，它们在以轴为实轴，轴为虚轴的复平面上所对应的复数分别为，满足，且？（注：Rez指的是复数z的实部，Imz指的是复数z的虚部）
若存在，请求出相应的复数，若不存在，请说明理由.