2023-2024学年浙江省金华市东阳市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省金华市东阳市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共34页。试卷主要包含了精心选一选，心填一填，细心答一答等内容，欢迎下载使用。

1．若＝，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
2．若圆心O到直线l的距离等于⊙O的直径，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
3．如图是某赛事领奖台的示意图，则此领奖台的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．袋中有除颜色以外其余都相同的红球3个，黄球1个．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、摇匀，像这样先后摸球2次，摸到的都是红球，则第3次摸到红球的概率是（ ）
A．1B．OC．D．
5．如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．25°B．35°C．40°D．45°
6．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△BOC位似的三角形的面积为（ ）
A．（）3B．（）7C．（）6D．（）6
7．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cs∠APC的值为（ ）
A．B．C．D．
8．关于x的二次函数y＝（x﹣h）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值4，则h的值为（ ）
A．0或2B．2或4C．0或4D．0或2或4
9．如图，⊙O中，直径AB为8cm，弦CD经过OA的中点P，则PC2+PD2的最小值为（ ）
A．12cm2B．24cm2C．36cm2D．40cm2
10．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴点于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于点C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m为任意实数时，a+b＜am2+bm；④方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝：⑤抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＜y2．其中正确的有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
二、心填一填（本题共24分，每小题4分）
11．表是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的坐标（x，y），则该抛物线的对称轴是 ．
12．已知圆锥的母线长13cm，侧面积65πcm2时，则这个圆锥的底面半径是 cm．
13．如图，在△ABC中，点D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为 ．
14．如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是 ．
15．如图，在⊙O中，直径CD长为4，弦AB⊥CD于点G，且OG＝1，点E为弧BC上一点，连AE，过点C作CF⊥AE于点F，若FC＝，则AE的长为 ．
16．定义：若x，y满足x2＝4y+k，y2＝4x+k（k为常数）且对x≠y，则称点M（x，y）为“好点”．
（1）若P（5，m）是“好点“，则m＝ ．
（2）在﹣3＜x＜2的范围内，若二次函数y＝x2﹣3x+c的图象上至少存在一个“好点“，则C的取值范围为 ．
三、细心答一答（本题共66分）
17．计算：sin60°﹣（cs30°﹣π）0+tan45°．
18．第19届亚运会今年在杭州举行，小聪与小明都是志愿者，他们被随机分配到A、B、C、D四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．
（1）小明被分配到D场馆做志愿者的概率是多少？
（2）利用画树状图或列表的方法，求小聪和小明被分配到同一场馆做志愿者的概率．
19．如图是某品牌篮球架及其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.7米，AD＝0.8米，∠AGC＝32°．（参考数据：sin32°≈0.53，cs32°≈0.85，tan32°≈0.62）
（1）求∠GAC的度数．
（2）工人准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．
20．已知二次函数y＝x2+bx+c．
（1）当b＝2，c＝﹣5时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当y≥﹣2时，求x的取值范围．
（2）当x＜0时，y的最小值为﹣2；当x≥0时，y的最小值为3，求二次函数的表达式．
21．在7×9的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）在图1中，取格点D，E，连接BD，AE，DE，线段DE交AB于点G．
①求证：BG＝AB．
②在线段AG上作点Q，使得S△CAQ＝S△CGQ．（仅用无刻度直尺，保留作图痕迹）
（2）在图2中，已知点T，K，L，M是边AB的五等分点，过点T作TP∥BC，过点K作KN∥AC，TP与KN交于点O．连接AO，BO，CO．求出S△AOC：S△BOC：S△AOB的值．
22．某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
23．在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝7，sin∠ABC＝，点E，F分别在边AD和BC上运动，且AE＝CF，连接EF，DF，将△DEF沿EF折叠，点D的对应点为D′，连结BD交EF于点O．
（1）如图1，当D′在BC下方时，ED′交BC于点P，连结PO．
①求证：PO⊥EF．
②设AE＝x，用含x的代数式表示△EFP的面积．
（2）如图2，当D′在BC上方时，D′F交BD于点N，请问AE为何值时，使得△OFN与△D′EF相似？
24．如图1，在⊙O中，直径AB＝10，D是AB上的动点，过点D作EF⊥AB交⊙O于点E，F连接BE，取BE的中点H，连接FH交AB于点M，并延长FH交⊙O于点C，连接CB．
（1）当点D与圆心O重合时，如图2所示，求FM•FC的值．
（2）在点D的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
（3）连接OH，DH，当△0DH是等腰三角形时，求tanC的值．
参考答案
一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）
1．若＝，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【分析】根据合分比性质求解．
解：∵＝，
∴＝＝．
故选：D．
【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．
2．若圆心O到直线l的距离等于⊙O的直径，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【分析】由题意得出d＞r，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可
解：若圆心O到直线l的距离d等于⊙O的直径，
那么圆心O到直线l的距离d大于半径r，
即d＞r，
所以线l与⊙O的位置关系是相离，
故选：C．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，熟记：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d＝r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交是解决问题的关键．
3．如图是某赛事领奖台的示意图，则此领奖台的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
解：从左边看时，可得选项B的图形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
4．袋中有除颜色以外其余都相同的红球3个，黄球1个．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、摇匀，像这样先后摸球2次，摸到的都是红球，则第3次摸到红球的概率是（ ）
A．1B．OC．D．
【分析】从中任意摸出1个球，有4种等可能结果，其中摸到红球的有3种结果，再根据概率公式求解即可．
解：从中任意摸出1个球，有4种等可能结果，其中摸到红球的有3种结果，
所以第3次摸到红球的概率是，
故选：C．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
5．如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．25°B．35°C．40°D．45°
【分析】连接OB，由切线的性质得到∠ABO＝90°，由平行线的性质得到∠D＝∠OCD＝25°，由圆周角定理得出∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°﹣∠O＝40°．
解：连接OB，
∵AB切⊙O于B，
∴半径OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵BD∥OA，
∴∠D＝∠OCD＝25°，
∴∠O＝2∠D＝50°，
∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠O＝2∠D，由切线的性质定理得到∠ABO＝90°，由直角三角形的性质即可求出∠A的度数．
6．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△BOC位似的三角形的面积为（ ）
A．（）3B．（）7C．（）6D．（）6
【分析】根据余弦的定义得到OB＝OA，进而得到OG＝（）6OA，根据位似图形的概念得到△GOH与△AOB位似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，
∵cs∠AOB＝，
∴OB＝OA，
同理，OC＝OB，
∴OC＝（）2OA，
……
OG＝（）6OA，
由位似图形的概念可知，△GOH与△AOB位似，且位似比为（）6，
∵S△AOB＝1，
∴S△GOH＝[（）6]2＝（）6，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质、余弦的定义，正确判断出与△AOB位似的三角形是△GOH是解题的关键．
7．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cs∠APC的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以sin∠APC＝sin∠EDC即可得答案．
解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．
则DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC．
在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，
∵EC2+DC2＝DE2，
故△DCE为直角三角形，∠DCE＝90°．
∴cs∠APC＝cs∠EDC＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．
8．关于x的二次函数y＝（x﹣h）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值4，则h的值为（ ）
A．0或2B．2或4C．0或4D．0或2或4
【分析】分三种情况分别计算，根据函数的最小值为4，列方程求出h的值即可．
解：∵二次函数的对称轴为：直线x＝h，
∴分为3种情况．
①当 h＜1时，当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝1时取最小值，即：（1﹣h）2+3＝4，
解得：h1＝0，h2＝2．
由h＜1．得：h＝0；
②当1≤h≤3时，y的最小值为顶点值，
∵3≠4，
∴1≤h≤3时，h无解；
③当h＞3时，当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，
∴当x＝3时取最小值，
即：（3﹣h）2+3＝4，
解得：h1＝2，h2＝4，
∵h＞3，
∴h＝4；
综上所述，h＝0或4，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，体现了分类讨论和数形结合的数学思想，根据函数的最小值为4，列出方程是解题的关键．
9．如图，⊙O中，直径AB为8cm，弦CD经过OA的中点P，则PC2+PD2的最小值为（ ）
A．12cm2B．24cm2C．36cm2D．40cm2
【分析】过O点作OE⊥CD于E，如图，根据垂径定理得到CE＝DE，则DP＝CE﹣PE，PC＝CE+PE，所以PC2+PD2＝2CE2+2PE2，利用勾股定理得到PC2+PD2＝40﹣4OE2，当OE取最大值2时，PC2+PD2的最小值为24cm2．
解：过O点作OE⊥CD于E，如图，则CE＝DE，
∵P点为OA的中点，AB＝8，
∴OP＝2，OC＝4，
∵DP＝DE﹣PE＝CE﹣PE，PC＝CE+PE，
∴PC2+PD2＝（CE+PE）2+（CE﹣PE）2
＝2CE2+2PE2
＝2（OC2﹣OE2）+2（OP2﹣OE2）
＝2OC2+2OP2﹣4OE2
＝2×42+2×22﹣4OE2
＝40﹣4OE2，
当OE最大时，PC2+PD2有最小值，
∴当OE取最大值2时，PC2+PD2的最小值为40﹣4×22＝24（cm2）．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和勾股定理．
10．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴点于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于点C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m为任意实数时，a+b＜am2+bm；④方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝：⑤抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＜y2．其中正确的有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据所给函数图象，得出抛物线的对称轴为直线x＝1，则可得出a与b之间的关系，再将（﹣1，0）代入函数解析式可得出b与c之间的关系，最后利用数形结合的思想及二次函数与一元二次方程之间的关系即可解决问题．
解：因为抛物线经过点（﹣1，0）和（3，0），
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，
则，
即2a+b＝0．
故①正确．
将（﹣1，0）代入函数解析式得，
a﹣b+c＝0，
又因为a＝，
所以，
即2c＝3b．
故②错误．
因为抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向上，
所以当x＝1时，函数取得最小值a+b+c，
所以当x＝m时总有，a+b+c≤am2+bm+c，
即a+b≤am2+bm．
故③错误．
由题知，
方程ax2+bx+c＝0的两个解为x1＝﹣1，x2＝3．
方程cx2+bx+a＝0可转化为，
所以＝﹣1或3，
则．
故④正确．
因为x1＜l＜x2，
所以点P在直线x＝1左侧，点Q在直线x＝1右侧，
又因为x1+x2＞2，
则x2﹣1＞1﹣x1．
因为抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向上，
所以y1＜y2．
故⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质及二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键．
二、心填一填（本题共24分，每小题4分）
11．表是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的坐标（x，y），则该抛物线的对称轴是 直线x＝﹣2 ．
【分析】依据题意，根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以计算出该函数图象的对称轴．
解：∵x＝﹣3和﹣1时的函数值都是﹣4，
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝﹣2．
故答案为：直线x＝﹣2．
【点评】本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．已知圆锥的母线长13cm，侧面积65πcm2时，则这个圆锥的底面半径是 5 cm．
【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
解：设底面半径为r cm，
则65π＝πr×13，
解得r＝5，
∴这个圆锥的底面半径是5cm．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
13．如图，在△ABC中，点D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为 2 ．
【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，DH是△AEF的中位线，易证△BEF∽△BAC，得，解得EF＝4，则DH＝EF＝2．
解：∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，
∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，
∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位线，
∴，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，
∴，
解得：EF＝4，
∴DH＝EF＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明三角形相似得出比例式是解题的关键．
14．如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是 4 ．
【分析】经过正六边形ABCDEF中心的直线可以将正六边形的面积二等分，画出图形，利用勾股定理求解即可．
解：连接BE、CF交于点O，连接MO并延长，交CD于点I，作ON⊥AF于N，
MI将正六边形的面积二等分，
在正六边形ABCDEF中，∠OFA＝60°，OF＝AB＝6，
∴FN＝AN＝OF＝3，ON＝＝3，
∵AM＝2，
∴NM＝1，
∴OM＝＝2，
则IM＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了正多边形的性质，解题根据明确正多边形是中心对称图形，利用勾股定理求出线段长．
15．如图，在⊙O中，直径CD长为4，弦AB⊥CD于点G，且OG＝1，点E为弧BC上一点，连AE，过点C作CF⊥AE于点F，若FC＝，则AE的长为 + ．
【分析】连接AC，CE，OA，AD，由线段垂直平分线的性质停车场AO＝AD，而OD＝OA，判定△AOD是等边三角形，得到∠D＝60°，AD＝OD＝2，由圆周角定理得到∠CAD＝90°，求出CA＝AD＝2，由勾股定理求出AF＝＝，由∠E＝60°，∠CFE＝90°，求出EF＝CF＝，即可求出AE的长．
解：连接AC，CE，OA，AD，
∵直径CD长为4，
∴OD＝×4＝2，
∵OG＝1，
∴DG＝OD﹣OG＝1，
∴AB垂直平分OD，
∴AO＝AD，
∵OD＝OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠D＝60°，AD＝OD＝2，
∵AD是圆的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴CA＝AD＝2，
∵CF⊥AE，CF＝，
∴AF＝＝，
∵∠E＝∠D＝60°，∠CFE＝90°，
∴EF＝CF＝，
∴AE＝AF+EF＝+．
故答案为：+．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，关键是判定△AOD是等边三角形，由勾股定理求出AF＝＝，求出EF＝CF＝，即可得到AE的长．
16．定义：若x，y满足x2＝4y+k，y2＝4x+k（k为常数）且对x≠y，则称点M（x，y）为“好点”．
（1）若P（5，m）是“好点“，则m＝ ﹣9 ．
（2）在﹣3＜x＜2的范围内，若二次函数y＝x2﹣3x+c的图象上至少存在一个“好点“，则C的取值范围为 ﹣19＜c≤﹣3 ．
【分析】（1）根据好点”定义可得：，进而计算求解m即可；
（2）由已知可得：x+y+4＝0，进而求出直线AB的解析式，所以抛物线y＝x2﹣3x+c与直线AB的交点就是好点，再计算即可．
解：（1）由好点”定义可得：，
∴25﹣4m＝m2﹣20，
整理得：m2+4m﹣45＝0，
∴m＝﹣9或5，
∵m≠5，
∴m＝﹣9，
故答案为：﹣9；
（2）∵x2＝4y+k，y2＝4x+k，
∴x2﹣y2＝4y﹣4x，
∴（x+y）（x﹣y）﹣4（y﹣x）＝0，
∴（x﹣y）（x+y+4）＝0，
∵x≠y，
∴x+y+4＝0，
∴y＝﹣x﹣4，
∴直线y＝﹣x﹣4上的点都是好点，
当x＝﹣3时，y＝﹣1．当x＝2时，y＝﹣6，
如图，直线AB解析式为y＝﹣x﹣4，A（﹣3．﹣1），B（2，﹣6），
抛物线y＝x2﹣3x+c与直线AB的交点就是好点，
当抛物线y＝x2﹣3x+c过点A时，﹣1＝9﹣3×（﹣3）+c，
解得：c＝﹣19，
当抛物线y＝x2﹣3x+c与y＝﹣x﹣4有且只有一个交点时，
有x2﹣3x+c＝﹣x﹣4，
整理得：x2﹣2x+c+4＝0，
∴b2﹣4ac＝4﹣4（c+4）＝0，
解得：c＝﹣3，
∴c的取值范围为：﹣19＜c≤﹣3．
故答案为：﹣19＜c≤﹣3．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征以及新定义问题，正确理解新定义是解决本题的关键．
三、细心答一答（本题共66分）
17．计算：sin60°﹣（cs30°﹣π）0+tan45°．
【分析】先代入特殊角的函数值，再算零次幂和乘法，最后算加减．
解：sin60°﹣（cs30°﹣π）0+tan45°
＝×﹣（﹣π）0+1
＝﹣1+1
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握特殊角的函数值及零次幂的意义等知识点是解决本题的关键．
18．第19届亚运会今年在杭州举行，小聪与小明都是志愿者，他们被随机分配到A、B、C、D四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．
（1）小明被分配到D场馆做志愿者的概率是多少？
（2）利用画树状图或列表的方法，求小聪和小明被分配到同一场馆做志愿者的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小聪和小明被分配到同一场馆做志愿者的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）由题意得，小明被分配到D场馆做志愿者的概率是．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小聪和小明被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，
∴小聪和小明被分配到同一场馆做志愿者的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19．如图是某品牌篮球架及其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.7米，AD＝0.8米，∠AGC＝32°．（参考数据：sin32°≈0.53，cs32°≈0.85，tan32°≈0.62）
（1）求∠GAC的度数．
（2）工人准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠ACG＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；
（2）延长OA，ED交于点M，根据垂直定义可得∠AOB＝90°，从而利用平行线的性质可得∠DMA＝∠AOB＝90°，再根据对顶角相等可得∠DAM＝∠GAC＝58°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ADM＝32°，然后在Rt△ADM中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，从而利用线段的和差关系求出MO的长，比较即可解答．
解：（1）∵CG⊥CD，
∴∠ACG＝90°，
∵∠AGC＝32°，
∴∠GAC＝90°﹣∠AGC＝90°﹣32°＝58°，
∴∠GAC的度数为58°；
（2）他不能挂上篮网，理由如下：
延长OA，ED交于点M，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵DE∥OB，
∴∠DMA＝∠AOB＝90°，
∵∠GAC＝58°，
∴∠DAM＝∠GAC＝58°，
∴∠ADM＝90°﹣∠DAM＝32°，
在Rt△ADM中，AD＝0.8米，
∴AM＝AD•sin32°≈0.8×0.53＝0.424（米），
∴OM＝OA+AM＝2.7+0.424＝3.124（米），
∵3.124米＞3米，
∴他不能挂上篮网．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．已知二次函数y＝x2+bx+c．
（1）当b＝2，c＝﹣5时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当y≥﹣2时，求x的取值范围．
（2）当x＜0时，y的最小值为﹣2；当x≥0时，y的最小值为3，求二次函数的表达式．
【分析】（1）①将b＝2，c＝﹣5代入解析式再平方成顶点式即可得到答案；②根据抛物线开口方向解答y≥﹣2时，自变量取值范围即可．
（2）根据a＝1＞0确定开口方向，再根据x≥0时，y的最小值为3得到c值，从对称轴x＝﹣代入解析式解出b值即可．
解：（1）①当b＝2，c＝﹣5时，解析式为y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，
该函数的顶点坐标为（﹣1，﹣6）；
②抛物线y＝（x+1）2﹣6，开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
当yy≥﹣2时，即（x+1）2﹣6≥﹣2，
解不等式得：x≥1或x≤﹣3，
（2）∵二次函数y＝x2+bx+c开口向上，当x≥0时，y的最小值为3，
∴x＝0时，c＝3，
∵当x＜0时，y的最小值为﹣2；
∴x＝﹣时，y最小＝﹣2，代入y＝x2+bx+3得：
+b•（﹣）+3＝﹣2，
﹣＝﹣5，
∴b＝2或b＝﹣2，
∵对称轴在y轴左侧，a、b同号，a＞0，
∴b＝2，
故抛物线解析式为：y＝x+3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
21．在7×9的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）在图1中，取格点D，E，连接BD，AE，DE，线段DE交AB于点G．
①求证：BG＝AB．
②在线段AG上作点Q，使得S△CAQ＝S△CGQ．（仅用无刻度直尺，保留作图痕迹）
（2）在图2中，已知点T，K，L，M是边AB的五等分点，过点T作TP∥BC，过点K作KN∥AC，TP与KN交于点O．连接AO，BO，CO．求出S△AOC：S△BOC：S△AOB的值．
【分析】（1）①由BD∥AE，可得△BDG∽△AEG，故＝＝＝，有AG＝2BG，从而BG＝AB；
②取格点R，S，连接RS交AB于Q，点Q即为所求；
（2）设S△OKT＝m，由已知求出S△BOC＝5m，S△AOC＝15m，S△AOB＝5m，即可得S△AOC：S△BOC：S△AOB＝15m：5m：5m＝3：1：1．
【解答】（1）①证明：∵BD∥AE，
∴∠D＝∠E，∠DBG＝∠EAG，
∴△BDG∽△AEG，
∴＝＝＝，
∴AG＝2BG，
∴BG＝AB；
②解：取格点R，S，连接RS交AB于Q，如图：
点Q即为所求；
理由：同①可得AQ＝AB，
∴AQ＝GQ＝BG＝AB，
∴Q为AG中点，
∴S△CAQ＝S△CGQ；
（2）解：设S△OKT＝m，
∵KT＝BT，
∴S△OBT＝m，S△OKB＝2m，
∵OT∥BN，KT＝BT，
∴OK＝ON，
∴S△BON＝S△OKB＝2m，
∵KN∥AC，
∴＝＝，
∴＝，
∴S△BOC＝5m，S△OCN＝3m，
∵四边形OPCN是平行四边形，
∴S△COP＝S△OCN＝3m，
∵＝＝，
∴＝，
∴S△AOC＝15m，
∵＝＝，
∴S△AOB＝5m，
∴S△AOC：S△BOC：S△AOB＝15m：5m：5m＝3：1：1，
∴S△AOC：S△BOC：S△AOB的值为3：1：1．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握相似三角形判定与性质定理．
22．某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝每件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式，再结合x的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．
解：（1）设y＝kx+b，
将（40，300）、（55，150）代入，得：，
解得：，
则y＝﹣10x+700；
（2）设每天获取的利润为W，
则W＝（x﹣30）（﹣10x+700）
＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
又∵﹣10x+700≥240，
∴x≤46，
∵x＜50时，W随x的增大而增大，
∴当x＝46时，W取得最大值，最大值为﹣10×16+4000＝3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质．
23．在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝7，sin∠ABC＝，点E，F分别在边AD和BC上运动，且AE＝CF，连接EF，DF，将△DEF沿EF折叠，点D的对应点为D′，连结BD交EF于点O．
（1）如图1，当D′在BC下方时，ED′交BC于点P，连结PO．
①求证：PO⊥EF．
②设AE＝x，用含x的代数式表示△EFP的面积．
（2）如图2，当D′在BC上方时，D′F交BD于点N，请问AE为何值时，使得△OFN与△D′EF相似？
【分析】（1）①由题意可证明△DEO≌△BOF，则OE＝OF；由折叠可知PE＝PF，由等腰三角形的性质可得PO⊥EF；
②过点O作HQ⊥BC分别交AD，BC于点H，Q，易证得△EOH∽△OPQ，△EOH≌△FOQ；可得EH＝QF＝2﹣x，OH＝OQ＝2，可用x表达PQ和PF的长，进而可表达△EFP的面积；
（2）根据题意可知，需要分两种情况，当△FON∽△FED′时，当△FON∽△FD′E，分别求解即可．
解：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF，
∴△DEO≌△BOF（ASA），
∴OE＝OF；
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
由折叠可知，∠DEO＝∠D′EO，
∴∠D′EO＝∠BFE，
∴PE＝PF，
∴PO⊥EF；
②如图，过点A作AM⊥BC于点M，交OB于点G，过点C作CN⊥AD于点N，交BD于点L，
则四边形AMCN是矩形，
∴∠BMA＝∠DNC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵sin∠ABC＝，AB＝CD＝5，
∴AM＝ND＝4，BM＝DN＝3，
∴CM＝4＝AN；
∴△BMG≌△DNL（ASA），
∴BG＝DL，
∴OG＝OL，即点O是GL的中点；
过点O作HQ⊥BC分别交AD，BC于点H，Q，
∴OH∥AG∥NL，
∴AH：HN＝OG：OL＝1，
∴AH＝NH＝2；∠EHO＝∠FQO＝90°，
∵∠EOH＝∠FOQ，OE＝OF，
∴△EOH≌△FOQ（AAS），
∴EH＝FQ＝2﹣x，OH＝OQ＝2，
∵OP⊥EF，
∴∠EOP＝∠EHO＝∠PQO＝90°，
∴∠EOH+∠OEH＝∠EOH+∠POQ＝90°，
∴∠OEH＝∠POQ，
∴△EOH∽△OPQ，
∴可得＝，即＝，
∴PQ＝，
∴PF＝PQ+QF＝+2﹣x，
∴S△EFP＝2S△OPF＝2×PF•OQ＝（+2﹣x）×2＝；
（2）根据题意可知，需要分两种情况：
①当△FON∽△FED′时，
∴∠NOF＝∠D′EF＝∠OEF，
∴DE＝OD＝BD＝×2＝，
∴AE＝7﹣；
当△FON∽△FD′E时，
∴∠FON＝∠D′＝∠EDF＝∠EOD，
∴△EOD∽△EDF，
∴DE2＝EO•EF，
∴（7﹣x）2＝[（4﹣2x）2+16]，
解得x＝﹣3+或x＝﹣3﹣（舍）；
综上，AE的值为7﹣或﹣3+．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质与判定、翻折变换的性质、等腰三角形的判定等知识，本题综合性强，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．如图1，在⊙O中，直径AB＝10，D是AB上的动点，过点D作EF⊥AB交⊙O于点E，F连接BE，取BE的中点H，连接FH交AB于点M，并延长FH交⊙O于点C，连接CB．
（1）当点D与圆心O重合时，如图2所示，求FM•FC的值．
（2）在点D的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
（3）连接OH，DH，当△0DH是等腰三角形时，求tanC的值．
【分析】（1）连接CE，证明△MOF∽△ECF，得到，即可求出结果；
（2）过点H作HN⊥EF，垂足为点N，设DE＝DF＝2x，进而得到DN＝DE＝x，FN＝DF+DN＝3x，证明△FMD∽△FHN，得到，即可求出结果；
（3）分若点D在点O的左侧，此时有OD＝OH；若点D在点O的右侧，此时有OD＝DH，两种情况，结合全等三角形的性质和直角三角形斜边中线的性质即可求出结果．
解：（1）连接CE，
∵AB＝10，
∴OF＝OE＝5，
∵EF是直径，
∴∠ECF＝90°，
∵∠MFO＝∠EFC，∠MOF＝∠ECF＝90°，
∴△MOF∽△ECF，
∴，
∴FM•CF＝EF•OF＝50；
（2）是定值，理由如下：
过点H作HN⊥EF，垂足为点N，
∵EF⊥AB，
∴DE＝DF，
设DE＝DF＝2x，
∵点H是BE中点，
∴，
∵HN⊥EF，EF⊥AB，
∴HN∥AB，
∴，
∴EN＝DN，
∴DN＝DE＝x，
∴FN＝DF+DN＝3x，
∵HN∥AB，
∴△FMD∽△FHN，
∴，
∴＝＝；
（3）若点D在点O的左侧，此时有OD＝OH，连接OE，
∵点H是BE的中点，
∴OH⊥BE，
∵∠EDO＝∠EHO，OD＝OH，EO＝EO，
∴Rt△DOE≌△HOE（HL），
∴DE＝DH，
在Rt△BDE中，
∵点H是BE的中点，
∴DH＝EH＝BH，
∴DE＝DH＝EH，
∴△DHE是等边三角形，
∴∠BEF＝60°，
∵，
∴∠C＝∠BEF＝60°，
∴tanC＝；
若点D在点O的右侧，此时有OD＝DH，
∵点H是BE中点，
∴OH⊥BE，
∴∠OHB＝90°，
∴∠HOB+∠OBH＝90°，∠OHD+∠DHB＝90°，
∵OD＝DH，
∴∠HOB＝∠OHD，
∴∠OBH＝∠DHB，
∴DH＝BD，
在Rt△BDE中，
∵点H是BE的中点，
∴DH＝BH＝EH，
∴DH＝BD＝BH，
∴△BDH是等边三角形，
∴∠DBE＝90°，
∴∠BEF＝30°，
∵，
∴∠C＝∠BEF＝30°，
∴tanC＝；
综上所述，当△ODH是等腰三角形时，tanC＝或．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，直角三角形斜边中线的性质，锐角三角函数，本题的关键是熟练等腰三角形的性质，结合分类讨论思想解题．
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