湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题（原卷版+解析版），共31页。试卷主要包含了本试卷分试题卷和答题卷两个部分等内容，欢迎下载使用。
范围：九上全册考时：120分钟满分：120分
注意事项：
1.本试卷分试题卷和答题卷两个部分.
2.答题前，请你务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷上，并填写答题卷上的考生信息.
3.选择题务必使用2B铅笔在答题卷选择题的答题区域内填涂；非选择题务必使用黑色签字笔在答题卷非选择题各题指定的答题区域内作答.填涂、书写在试题卷上的一律无效，
4.考试结束，试题卷、答题卷一并上交.
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列关于抛物线的说法正确的是（ ）
A. 图象开口向下B. 对称轴是轴
C. 有最高点D. 随的增大而增大
4. 下列事件是不可能事件的是（ ）
A. 射击运动员射击一次，命中靶心
B. 投一枚图钉，钉尖朝上
C. 把一粒种子种在花盆中，种子发芽
D. 水中捞月
5. 已知⊙O的半径为4，，则点A在（ ）
A ⊙O内B. ⊙O上C. ⊙O外D. 无法确定
6. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
A B.
C. D.
7. 设，，其中为实数，则与大小关系是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知点，，与关于轴对称，连结，现将线段以点为中心逆时针旋转得，点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
9. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）

A. B. C. D.
10. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 抛物线与轴没有交点，则的取值范围是_____.
12. 在一幅长为，宽为的矩形挂画四周镶上相同宽度的金色纸边，设金色纸边的宽为，如果要使镶边后整个挂画的面积是，那么满足的方程是_____．
13. 如图是的正方形网格飞镖游戏板，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是_____
14. 如图，四边形是内接四边形，是的直径，弦平分，若，则_____．
15. 如图，在等边中，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为点，连接，当线段最小时，的长为_____．
三、解答题（共75分）
16. 请阅读下列解方程的过程：
解方程：，
原方程变形为：，
两边同除以，得：，
解这个方程，，
所以，原方程的解为，
上述解答是否正确?若有错误，请你指出错误的步骤并说明理由，然后写出正确的解答过程.
17. 如图，已知四边形是矩形．
（1）尺规作图：将矩形绕着点顺时针旋转一定角度得到矩形，使点落在边上（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，若旋转角，则_____（用含的代数式表示）．
18. 巴东有很多旅游景点是人们假期游玩的好去处.甲、乙两人计划，今年寒假从：神农溪，：巫峡口，：绿葱坡滑雪场三个景点中随机选择一个景点游玩.请用画树状图或列表的方法，求两人都选择去绿葱坡滑雪场的概率．
19. 已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点.
（1）求，的值，并在所给的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
（2）若为二次函数的图象对称轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标.
20. 关于的方程.
（1）若方程有两个实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为，，求的最小值．
21. 如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点是的直径，弦的延长线交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
22. 2023年亚运会在杭州举行，在这期间某网络经销商购进一批以亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件40元，当销售单价定为80元时，每天可售出50件．为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出5件，若设这款文化衫降低了x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当销售单价为多少元时，销售每天所获得的利润为3000元？
（3）当销售单价定为多少元时，每天销售这款文化衫获得利润w最大？最大利润是多少元？
23. 如图，已知，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点恰好落在边上
（1）求证：平分；
（2）当时，其它条件不变，如图，连接，判断线段与线段的位置关系，并说明理由；
（3）如图，请连接，猜想与的数量关系，并说明理由；
（4）如图，当，，时，求的长.
24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称.

图1 图2
（1）求线段的长；
（2）当时，求的取值范围；
（3）如图2，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值.
2024年秋季学期期末教学质量监测
九年级数学试题卷
范围：九上全册考时：120分钟满分：120分
注意事项：
1.本试卷分试题卷和答题卷两个部分.
2.答题前，请你务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷上，并填写答题卷上的考生信息.
3.选择题务必使用2B铅笔在答题卷选择题的答题区域内填涂；非选择题务必使用黑色签字笔在答题卷非选择题各题指定的答题区域内作答.填涂、书写在试题卷上的一律无效，
4.考试结束，试题卷、答题卷一并上交.
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
2. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
运用直接开方法即可解答．
【详解】解：，
，
故选：B．
3. 下列关于抛物线的说法正确的是（ ）
A. 图象开口向下B. 对称轴是轴
C. 有最高点D. 随的增大而增大
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象及性质．
由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．
【详解】解：抛物线的开口向上，有最低点，对称轴为y轴，
当时，函数值随x的增大而减小，
∴四个选项中只有B选项的说法正确，
故选：B．
4. 下列事件是不可能事件的是（ ）
A. 射击运动员射击一次，命中靶心
B. 投一枚图钉，钉尖朝上
C. 把一粒种子种在花盆中，种子发芽
D. 水中捞月
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了随机事件，掌握事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，可以有发生也可能不发生的事件叫随机事件是解题的关键．
根据不可能事件的定义判断即可．
【详解】解：A、“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，不符合题意；
B、“投一枚图钉，钉尖朝上”是随机事件，不符合题意；
C、“把一粒种子种在花盆中，种子发芽”是随机事件，不符合题意；
D、“水中捞月”是不可能事件，符合题意；
故选：D．
5. 已知⊙O的半径为4，，则点A在（ ）
A. ⊙O内B. ⊙O上C. ⊙O外D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5知d>r，据此可得答案．
【详解】解：∵⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5，
∴d>r，
∴点A在⊙O外，
故选：C．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r．
6. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数、二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据一次函数的图像即可求出、的取值范围，进而可大致判断二次函数的图象，即可解答．
【详解】解：由一次函数的图象可知，，，
二次函数的开口向下，顶点坐标在轴的负半轴上，
故选：B．
7. 设，，其中为实数，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了整式减法的应用，完全平方公式的应用，利用作差法，用完全平方公式，得，即可得解．
【详解】解：∵
，
∴，
故选：A．
8. 如图，已知点，，与关于轴对称，连结，现将线段以点为中心逆时针旋转得，点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，坐标与图形---轴对称，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．过点作轴于点，结合旋转的性质证明，再利用坐标与图形---轴对称和全等三角形性质求解，即可解题．
【详解】解：过点作轴于点，
有，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
点，，与关于轴对称，
，，
，
点的对应点的坐标为，
故选：A．
9. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．
10. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．
利用抛物线开口向上得到，利用抛物线的对称轴方程得到，即可判断；由时，得，再结合得，由于，所以，即可判断；当时，取得最小值，所以，化简后即可判断；根据对称性得二次函数与直线的一个交点为，所以，，代入中即可判断．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
二次函数图象的对称轴为直线，即，
，故正确；
时，，
，
而，
，
，
，故正确；
时，取得最小值，
（为任意实数），
即，故正确；
点在抛物线上时，方程的两根为，
二次函数与直线的一个交点为，
二次函数图象的对称轴为直线，
二次函数与直线的一个交点为，
即，，
，故正确；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 抛物线与轴没有交点，则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题．根据抛物线与轴没有交点，可知当时，方程没有实数根，则，从而可以求得的取值范围．
【详解】解：抛物线与轴没有交点，
当时，方程没有实数根，
，，
解得，，
故答案为：．
12. 在一幅长为，宽为的矩形挂画四周镶上相同宽度的金色纸边，设金色纸边的宽为，如果要使镶边后整个挂画的面积是，那么满足的方程是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽为，根据整个挂图的面积是列出方程即可．
【详解】解：设金色纸边的宽为，则挂图的长为，宽为，
根据题意得：，
故答案为：．
13. 如图是的正方形网格飞镖游戏板，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是_____
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了几何概率，掌握几何概率的计算方法是解题的关键．
根据几何概率的计算方法解答即可．
【详解】解：由题意得：一个阴影小三角形的面积为，
则阴影部分面积为，
正方形网格的面积为，
任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是，
故答案为：．
14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，弦平分，若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补等知识．根据是的直径得到，进而求出，根据圆内接四边形性质即可求出，再利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵弦平分，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 如图，在等边中，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为点，连接，当线段最小时，的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
根据旋转的性质，垂线段最短，求出当最小时，、的长度，的度数，即可求解．
【详解】解：根据旋转的性质得：，，
当最小时最小，
∵点到直线距离，垂线段最短，
∴当时，、最小，
∵等边，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴．
三、解答题（共75分）
16. 请阅读下列解方程的过程：
解方程：，
原方程变形为：，
两边同除以，得：，
解这个方程，，
所以，原方程的解为，
上述解答是否正确?若有错误，请你指出错误的步骤并说明理由，然后写出正确的解答过程.
【答案】不正确，错误的步骤是，理由：时，两边不能同时除以，正确的解答过程见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据解一元二次方程的方法解答即可．
【详解】解：不正确，错误的步骤是，理由：时，两边不能同时除以，
正确过程如下：
解：，
原方程变形为：，
移项得：，
因式分解得：，
化简得：，
或，
解得：，
方法二：，
原方程变形为：，
当时，
两边同除以，得：，
解这个方程，，
当时，所以，，
所以，原方程的解为，．
17. 如图，已知四边形矩形．
（1）尺规作图：将矩形绕着点顺时针旋转一定角度得到矩形，使点落在边上（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，若旋转角，则_____（用含的代数式表示）．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查尺规作图，矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质．
（1）用圆规以点为圆心，为半径画圆，交于点，再过点作的垂线，在上截取，再分别以点为圆心，为半径画弧，再以A为圆心，为半径画弧，两弧交于点，则四边形即为所作；
（2）利用旋转的性质得到且，利用等腰三角形的性质以及矩形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：四边形如图所示：
；
【小问2详解】
解：由旋转的性质可知，
∴，，
，
，
∵四边形是矩形,
∴，
∴，
故答案为：．
18. 巴东有很多旅游景点是人们假期游玩的好去处.甲、乙两人计划，今年寒假从：神农溪，：巫峡口，：绿葱坡滑雪场三个景点中随机选择一个景点游玩.请用画树状图或列表的方法，求两人都选择去绿葱坡滑雪场的概率．
【答案】
【解析】
【分析】用树状图列举出可能出现的情况，再求出概率，即可求解．
本题考查了概率的计算，熟练掌握树状图法或列表法求概率是解题的关键．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果：、、、、、、、、，
其中甲、乙两人都决定去：绿葱坡滑雪场的结果有1种，
两人都决定去绿葱坡滑雪场的概率．
19. 已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点.
（1）求，的值，并在所给的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
（2）若为二次函数的图象对称轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标.
【答案】（1），图象见解析
（2）
【解析】
【分析】题考查了待定系数法求函数解析式，作函数图象，点的对称性等．
（1）由待定系数法求解即可得，的值，再根据抛物线的解析式画出图象即可；
（2）根据抛物线的解析式得对称轴为直线，，连接交直线于点，点即为所求，设直线的解析式为，用待定系数法求出直线的解析式，将代入得y的值，即可得点的坐标．
【小问1详解】
解：将，代入二次函数得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
根据抛物线的解析式和，，画出图象如图所示：
【小问2详解】
解：抛物线的解析式，
对称轴为直线，
∴，关于直线对称，
在中，当时，，
，
连接交直线于点，点即为所求，
设直线解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
．
20. 关于的方程.
（1）若方程有两个实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，完全平方公式的变形．
（1）根据一元二次方程有两个根，可以知道其判别式大于或等于0，据此作答即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式，将转化为，结合m的取值范围，即可求解．
【小问1详解】
解：∵关于的方程有两个实数根，
，
即：，
解得：；
【小问2详解】
解：，是方程的两个实数根，
，，
，
，
，，
时取最小值，
此时．
21. 如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点是的直径，弦的延长线交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，过作于点，首先得到平分，由切线得到，然后得出，即可证明是的切线；
（2）过点作，垂足为，得四边形为矩形，且，然后得到为等边三角形，得到，进而求解即可．
小问1详解】
证明：连接，过作于点
且为的中点
平分
与相切于点
是的切线；
【小问2详解】
解：过点作，垂足为．
得四边形为矩形，且
，
又
为等边三角形
为等边三角形
，
．
【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解答此题的关键．
22. 2023年亚运会在杭州举行，在这期间某网络经销商购进一批以亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件40元，当销售单价定为80元时，每天可售出50件．为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出5件，若设这款文化衫降低了x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当销售单价为多少元时，销售每天所获得的利润为3000元？
（3）当销售单价定为多少元时，每天销售这款文化衫获得的利润w最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）．
（2）销售单价为元时，销售每天所获得的利润为元；
（3）销售单价为元，每天销售这款文化纪念册获得的利润最大，最大利润是元．
【解析】
【分析】本题考主要查了二次函数及其应用问题．
（1）依据题意，根据销售量与的关系进行分析计算可以得解；
（2）依据题意，根据利润（售价进价）销售量进行计算可以得解；
（3）依据题意，结合（2）可得利润与降价之间的关系，然后配方后计算可以得解．
【小问1详解】
解：由题意得：，此时，即．
与之间的函数表达式为．
【小问2详解】
解：由题意，利润（售价进价）销售量，
∴．
∴解得：，．
∵为了扩大销售，
∴．
∴销售单价为（元．
答：销售单价为元时，销售每天所获得的利润为元；
【小问3详解】
解：由题意，结合（2）可得利润与降价的函数关系式为
．
∴当时，每天销售这款文化纪念册获得的利润最大，最大利润是元．
∴此时销售单价为（元．
答：销售单价为元，每天销售这款文化纪念册获得的利润最大，最大利润是元．
23. 如图，已知，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点恰好落在边上
（1）求证：平分；
（2）当时，其它条件不变，如图，连接，判断线段与线段的位置关系，并说明理由；
（3）如图，请连接，猜想与数量关系，并说明理由；
（4）如图，当，，时，求的长.
【答案】（1）见解析 （2），见解析
（3），见解析
（4）
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得：，，所以，求得，即可得证；
（2）由旋转的性质可得：，，，进而可得，由得，所以，即，即可求解；
（3）由旋转的性质得到：，，，进而可得，由三角形内角和定理得：，再结合，即可求解；
（4）由旋转的性质得到：，，，，进而得到，所以，由（3）可知，，求得，在中,求得，设，则，在中，，所以，解出的值即可．
【小问1详解】
证明：由旋转得到，由旋转的性质可得：，，
，
，
平分；
【小问2详解】
解：，理由：
由旋转的性质可得：，，，
，，
，
在中，，
，
，即，
；
【小问3详解】
解：，理由：
由旋转得到，
，，，
，
在中：，
，
；
【小问4详解】
解：由旋转得到
，，，，
，
，
由（3）可知，，
又，
在中，，则，
设，则，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形的内角和定理、解直角三角形，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称.

图1 图2
（1）求线段的长；
（2）当时，求的取值范围；
（3）如图2，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值.
【答案】（1）
（2）当时，
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象得性质．熟练掌握二次函数的对称性，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据对称性求出点B的坐标，即可求出的长；
（2）由A、B的坐标求出抛物线解析式，求出顶点，可得y的取值范围；
（3）分别过、作直线的垂线，垂直为、，根据为等腰直角三角形，可得，得到，，得根据，即得．
【小问1详解】
抛物线与轴交于、两点，且对称轴为直线，
；
【小问2详解】
∵抛物线与轴交于，两点，
．
∴．
．
．
当时，．
∵当时，，
当时，．
【小问3详解】
分别过、作直线的垂线，垂直为、．
则，．
．
又为等腰直角三角形，
，．
．
．
．
，．
，，
，．
．
∵，，
∴．
．
．
．