2024-2025学年河南省济源市八年级（上）期末数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年河南省济源市八年级（上）期末数学试卷（含详解），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A．中南大学
B．北京大学
C．中国人民大学
D．浙江大学
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3x）3＝﹣9x3B．2x2•x3＝2x6
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．2x3y÷14xy=12x2
3．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，那这个多边形的边数为（ ）
A．6B．8C．10D．12
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
①图1，用木条EF固定门框ABCD，依据是三角形的稳定性．
②图2，“尺规作图：作一个角等于已知角”的理论依据是SAS．
③图3，在等腰直角三角尺斜边中点O处拴一个铅锤，根据线绳经过三角尺的直角顶点，判断出房梁是水平的，依据是“三线合一”．
④图4，把两把完全相同的长方形直尺如图摆放，就可以作出一个角的平分线．依据是角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
A．①③B．②③C．①③④D．①②④
5．（3分）如图，点B、D、C、F在同一条直线上，AB＝EF，∠B＝∠F．补充下列一个条件后，能判定△ABC与△DEF全等的是（ ）
A．∠A＝∠EDFB．BD＝CDC．BD＝CFD．AC＝DE
6．（3分）如图，某小区规划在边长为x m的正方形场地上，修建两条宽为1m的鹅卵石健身步行通道，其余部分种植花草，则下列式子中表示种植花草面积的是（ ）
A．4x+4B．2x﹣1C．x2﹣1D．x2﹣2x+1
7．（3分）一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，如图，其中∠BAD＝150°，∠B＝∠D＝40°，则∠BCA的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
8．（3分）有一块长为（m+6）米（m为正数），宽为（m+3）米的长方形土地，若把这块地的长增加1米，宽减少1米，则与原来相比，这块土地的面积（ ）
A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴的正半轴上，以线段OC为边在第一象限内作等边△OBC，点D为x轴正半轴上一动点且在点C的右侧，连接BD，以线段BD为边在第一象限内作等边△ABD，连接AC，若AC＝4，则点D的坐标为（ ）
A．（4，0）B．（0，2）C．（2，0）D．（0，4）
10．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝6，若S△ACD＝12，则△ABC面积为（ ）
A．24B．28C．32D．48
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如果分式1x+1有意义，那么x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：3a2b2﹣12b4＝ ．
13．（3分）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是唐代诗人李白的《北风行》中的诗句．据测定，5000～10000片雪花约有1克，一般新雪的密度为每立方厘米0.05克﹣0.1克，这说明一片雪花是非常轻的．数据“0.05克”用科学记数法表示为 千克．
14．（3分）如图，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BA于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠CBA的内部相交于点F，画射线BF；已知∠A＝90°，AB＝AC，且CE⊥BF于点E．若CE＝4，则线段BD长为 ．
15．（3分）如图，A（﹣2，0），B（0，﹣4），以点A为直角顶点，AB为腰作等腰直角△ABC，则点C的坐标为 ．
三、解答题（共8道题，第16题每小题10分，共10分；第17题8分；第18-20题每题9分；第21-23题每题10分，共75分）
16．（10分）计算：
（1）2（a﹣b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）；
（2）（3.14﹣π）0﹣（﹣1）2024+9×3﹣2．
17．（8分）化简(xx+1+xx−1)⋅x2−1x，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 ；乙同学解法的依据是 ；
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标．
（2）求△ABC的面积．
（3）请在y轴上作出点P．使得PA+PB最短．（不写作法，保留作图痕迹）
19．（9分）如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿AC行走，小芳沿BD行走，两人分别同时到达点C，D，若CB⊥AB，DA⊥AB．
（1）CB与DA相等吗？为什么？
（2）若∠DAC＝60°，求∠DBA的度数．
20．（9分）在有理数运算、整式运算的学习中，我们感受到：这部分内容的学习都是从具体、简单的运算出发，归纳共性并验证规律．请你类比方法解决下列问题：
观察下列等式，并回答问题：
12﹣02＝1，
22﹣12＝3，
32﹣22＝5，
…
（1）将11写成两个正整数平方差的形式： ＝11；
（2）观察、归纳，得出猜想：
用含有字母n（n＞0，且n为整数）的等式表示上述的规律为： ；
（3）验证：用已学的知识验证上述发现的规律；
（4）延伸：两个相邻奇数的平方差一定是8的倍数．这个命题是 命题（填“真”或“假”）．
21．（10分）如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，∠A＝30°．
（1）用无刻度的直尺和圆规作边AB的垂直平分线，分别交AB、AC于点D，E（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）若AE＝4cm，求CE的长度．
（3）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
22．（10分）【教材呈现】
改良玉米品种后，迎春村玉米平均每公顷增加产量a t，原来产m t玉米的一块土地，现在的总产量增加了20t．原来和现在玉米的平均每公顷产量各是多少？
【问题解决】
小明在解决这个问题时，先审题，找出了已知量与未知量之间的关系：
①原来的公顷数＝现在的公顷数
②现在每公顷产量＝ +a
③ ＝原来总产量+20
④总产量＝每公顷产量×公顷数
他通过设原来的公顷数为x公顷，列出方程：m+20x=mx+a，从而解决了问题．
（1）请你把上面横线上的内容补充完整．
【过程感悟】
在建立方程时，他确定了一个量“现在每公顷产量”，用m+20x和mx+a两种形式来表示这个量，建立方程，这是列方程的核心．
【方法应用】
（2）通过上面的感悟，你有新的想法吗？请你尝试用另一种方法，列方程解决这个问题．
2024-2025学年河南省济源市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A．中南大学
B．北京大学
C．中国人民大学
D．浙江大学
【解答】解：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，据此判断如下：
A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3x）3＝﹣9x3B．2x2•x3＝2x6
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．2x3y÷14xy=12x2
【解答】解：A、计算结果是﹣27x3≠﹣9x3，该选项不符合题意；
B、计算结果是2x5，该选项不符合题意；
C、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，该选项符合题意；
D、2x3y÷14xy=2x3y14xy=(2×4)x3−1y1−1=8x2≠12x2，该选项不符合题意；
故选：C．
3．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，那这个多边形的边数为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝2×360，
解得：n＝6．
即这个多边形为六边形．
故选：A．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
①图1，用木条EF固定门框ABCD，依据是三角形的稳定性．
②图2，“尺规作图：作一个角等于已知角”的理论依据是SAS．
③图3，在等腰直角三角尺斜边中点O处拴一个铅锤，根据线绳经过三角尺的直角顶点，判断出房梁是水平的，依据是“三线合一”．
④图4，把两把完全相同的长方形直尺如图摆放，就可以作出一个角的平分线．依据是角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
A．①③B．②③C．①③④D．①②④
【解答】解：①如图1，用木条EF固定门框ABCD，依据是三角形的稳定性，故原说法正确；
②由作图可知：OC＝OC′，OD＝OD′，CD＝C′D′，
∴△COD≌△C′OD′（SSS），
∴∠COD＝∠C′OD′，
∴“尺规作图：作一个角等于已知角”的理论依据是SSS，故原说法错误；
③∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∵O为AB中点，
∴OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∵OC垂直地面，
∴AB平行地面，即房梁是水平的，依据是“三线合一”，
所以在等腰直角三角尺斜边中点O处拴一个铅锤，根据线绳经过三角尺的直角顶点，判断出房梁是水平的，依据是“三线合一”．故原说法正确；
④如图4，过M作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D，
由题意得MC＝MD，
∴点M在∠AOB平分线上，
∴OM平分∠AOB，故原说法正确；
综上可知：①③④正确，
故选：C．
5．（3分）如图，点B、D、C、F在同一条直线上，AB＝EF，∠B＝∠F．补充下列一个条件后，能判定△ABC与△DEF全等的是（ ）
A．∠A＝∠EDFB．BD＝CDC．BD＝CFD．AC＝DE
【解答】解：A、∵AB＝EF，∠B＝∠F，添加：∠A＝∠EDF，∴不能判定△ABC与△DEF全等，故不符合题意；
B、∵AB＝EF，∠B＝∠F，添加：BD＝CD，∴不能判定△ABC与△DEF全等，故不符合题意；
C、添加：BD＝CF，
∴BD+CD＝CF+CD，即：BC＝DF，
在△ABC和△EFD中，
AB=EF∠B=∠FBC=FD，
∴△ABC≌△EFD（SAS），故符合题意，
D、∵AB＝EF，∠B＝∠F，添加：AC＝DE，
∴不能判定△ABC与△DEF全等，故不符合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，某小区规划在边长为x m的正方形场地上，修建两条宽为1m的鹅卵石健身步行通道，其余部分种植花草，则下列式子中表示种植花草面积的是（ ）
A．4x+4B．2x﹣1C．x2﹣1D．x2﹣2x+1
【解答】解：种植花草面积为：x2﹣x﹣x+1＝x2﹣2x+1，
故选：D．
7．（3分）一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，如图，其中∠BAD＝150°，∠B＝∠D＝40°，则∠BCA的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【解答】解：∵∠BAD＝150°，∠B＝∠D＝40°，
∴∠BCD＝360°﹣∠BAD﹣∠B﹣∠D＝130°，
∵四边形ABCD左右对称，
∴∠BCA=12BCD＝65°．
故选：B．
8．（3分）有一块长为（m+6）米（m为正数），宽为（m+3）米的长方形土地，若把这块地的长增加1米，宽减少1米，则与原来相比，这块土地的面积（ ）
A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定
【解答】解：由题意得，新长方形的面积为（m+7）（m+2）＝m2+2m+7m+14＝（m2+9m+14）平方米，
原长方形的面积为（m+6）（m+3）＝m2+3m+6m+18＝m2+9m+18，
∵m2+9m+18﹣（m2+9m+14）＝4＞0，
∴与原来相比，这块土地的面积变小了，
故选：C．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴的正半轴上，以线段OC为边在第一象限内作等边△OBC，点D为x轴正半轴上一动点且在点C的右侧，连接BD，以线段BD为边在第一象限内作等边△ABD，连接AC，若AC＝4，则点D的坐标为（ ）
A．（4，0）B．（0，2）C．（2，0）D．（0，4）
【解答】解：由条件可知OB＝CB，DB＝AB，∠OBC＝∠ABD＝60°，
∴∠OBC+∠CBD＝∠ABD+∠CBD，
即∠OBD＝∠CBA，
∴△DBO≌△ABC（SAS），
∴OD＝AC＝4，
∴点D的坐标为（4，0），
故选：A．
10．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝6，若S△ACD＝12，则△ABC面积为（ ）
A．24B．28C．32D．48
【解答】解：过D点作DE⊥AB交于点E，DF⊥AC交于点F，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∵S△ACD=12⋅DF⋅AC=12，AC＝6，
∴DF＝4，
∴S△ABD=12⋅AB⋅DE，
∵AB＝8，DE＝DF＝4，
∴S△ABD=12⋅AB⋅DE=16，
∴S△ABC＝S△ADC+S△ABD＝12+16＝28，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如果分式1x+1有意义，那么x的取值范围是 x≠﹣1 ．
【解答】解：根据题意，得
分母x+1≠0，即x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
12．（3分）分解因式：3a2b2﹣12b4＝ 3b2（a+2b）（a﹣2b） ．
【解答】解：原式＝3b2（a2﹣4b2）
＝3b2[a2﹣（2b）2]
＝3b2（a+2b）（a﹣2b），
故答案为：3b2（a+2b）（a﹣2b）．
13．（3分）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是唐代诗人李白的《北风行》中的诗句．据测定，5000～10000片雪花约有1克，一般新雪的密度为每立方厘米0.05克﹣0.1克，这说明一片雪花是非常轻的．数据“0.05克”用科学记数法表示为 5×10﹣5 千克．
【解答】解：1千克＝1000克，
0.05克＝0.00005千克＝5×10﹣5千克．
故答案为：5×10﹣5．
14．（3分）如图，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BA于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠CBA的内部相交于点F，画射线BF；已知∠A＝90°，AB＝AC，且CE⊥BF于点E．若CE＝4，则线段BD长为 8 ．
【解答】解：延长CE交BA的延长线于点G，
∵以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BA于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠CBA的内部相交于点F，画射线BF，
∴BF为∠ABC的角平分线，
∴∠CBE＝∠GBE，
∵CE⊥BF，
∴∠BEC＝∠BEG＝90°，
又∵BE＝BE，
∴△BEC≌△BEG（ASA），
∴CE＝GE＝4，
∴CG＝4+4＝8，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAG＝90°，
∵∠ABD+∠G＝90°，∠ACG+∠G＝90°，
∴∠ABD＝∠ACG，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACG（ASA），
∴BD＝CG＝8，
故答案为：8．
15．（3分）如图，A（﹣2，0），B（0，﹣4），以点A为直角顶点，AB为腰作等腰直角△ABC，则点C的坐标为 （2，2）或（﹣6，﹣2） ．
【解答】解：如图，当点C在x轴上方时，过点C作CD⊥x轴于D，
∴∠ADC＝∠BOA＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵以点A为直角顶点，AB为腰作等腰直角△ABC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD+∠BAO＝90°，
∴∠ACD＝∠BAO，
∵AC＝BA，
∴△ACD≌△BAO（AAS），
∴CD＝AO，AD＝BO，
∵A（﹣2，0），B（0，﹣4），
∴AO＝2，BO＝4，
∴CD＝2，AD＝4，
∴OD＝AD﹣OA＝4﹣2＝2，
∴C（2，2）；
当点C在x轴下方时，同理可得C（﹣6，﹣2）；
综上所述，点C的坐标为（2，2）或（﹣6，﹣2），
故答案为：（2，2）或（﹣6，﹣2）．
三、解答题（共8道题，第16题每小题10分，共10分；第17题8分；第18-20题每题9分；第21-23题每题10分，共75分）
16．（10分）计算：
（1）2（a﹣b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）；
（2）（3.14﹣π）0﹣（﹣1）2024+9×3﹣2．
【解答】解：（1）原式＝2（a2﹣2ab+b2）﹣（4a2﹣b2）
＝2a2﹣4ab+2b2﹣4a2+b2
＝﹣2a2﹣4ab+3b2；
（2）原式=1−1+9×19
＝1﹣1+1
＝1．
17．（8分）化简(xx+1+xx−1)⋅x2−1x，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 通分 ；乙同学解法的依据是 乘法的分配律 ；
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【解答】解：（1）甲同学解法的依据是通分；乙同学解法的依据是乘法的分配律；
故答案为：通分；乘法的分配律；
（2）原式=xx+1•(x+1)(x−1)x+xx−1•(x+1)(x−1)x
＝x﹣1+x+1
＝2x．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标．
（2）求△ABC的面积．
（3）请在y轴上作出点P．使得PA+PB最短．（不写作法，保留作图痕迹）
【解答】解：（1）△ABC的面积＝3×5−12×2×3−12×1×3−12×2×5＝5.5；
（2）如图，点P即为所求．
19．（9分）如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿AC行走，小芳沿BD行走，两人分别同时到达点C，D，若CB⊥AB，DA⊥AB．
（1）CB与DA相等吗？为什么？
（2）若∠DAC＝60°，求∠DBA的度数．
【解答】解：（1）CB＝DA，理由如下：
由题意可得：AC＝BD，
∵CB⊥AB，DA⊥AB
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AC=BDAB=BA，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴CB＝DA；
（2）由题意可得：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，
又Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠DBA＝∠DAC＝30°．
20．（9分）在有理数运算、整式运算的学习中，我们感受到：这部分内容的学习都是从具体、简单的运算出发，归纳共性并验证规律．请你类比方法解决下列问题：
观察下列等式，并回答问题：
12﹣02＝1，
22﹣12＝3，
32﹣22＝5，
…
（1）将11写成两个正整数平方差的形式： 62﹣52 ＝11；
（2）观察、归纳，得出猜想：
用含有字母n（n＞0，且n为整数）的等式表示上述的规律为： n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1 ；
（3）验证：用已学的知识验证上述发现的规律；
（4）延伸：两个相邻奇数的平方差一定是8的倍数．这个命题是 真 命题（填“真”或“假”）．
【解答】解：（1）根据题意可知：62﹣52＝11，
故答案为：62﹣52；
（2）由条件可知：
22﹣12＝3，
32﹣22＝5，
⋯，
∴n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，
故答案为：n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1；
（3）证明：n2﹣（n﹣1）2＝n2﹣n2+2n﹣1
＝2n﹣1；
（4）设两个相邻奇数分别为2n+1和2n+3，
则（2n+3）2﹣（2n+1）2＝[（2n+3）+（2n+1）][（2n+3）﹣（2n+1）]
＝8（n+1），
∴两个相邻奇数的平方差一定是8的倍数，该命题是真命题，
故答案为：真．
21．（10分）如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，∠A＝30°．
（1）用无刻度的直尺和圆规作边AB的垂直平分线，分别交AB、AC于点D，E（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）若AE＝4cm，求CE的长度．
（3）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）如图所示，作边AB的垂直平分线，分别交AB、AC于点D，E，直线DE即为所求；
（2）连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE＝AE＝4cm，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CBE＝60°﹣30°＝30°，
∴CE=12BC=12×4=2cm；
（3）△BCD为等边三角形，理由如下：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵∠ACB＝90°，
∴CD=BD=12AB，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD为等边三角形．
22．（10分）【教材呈现】
改良玉米品种后，迎春村玉米平均每公顷增加产量a t，原来产m t玉米的一块土地，现在的总产量增加了20t．原来和现在玉米的平均每公顷产量各是多少？
【问题解决】
小明在解决这个问题时，先审题，找出了已知量与未知量之间的关系：
①原来的公顷数＝现在的公顷数
②现在每公顷产量＝ 原来每公顷产量 +a
③ 现在的总产量 ＝原来总产量+20
④总产量＝每公顷产量×公顷数
他通过设原来的公顷数为x公顷，列出方程：m+20x=mx+a，从而解决了问题．
（1）请你把上面横线上的内容补充完整．
【过程感悟】
在建立方程时，他确定了一个量“现在每公顷产量”，用m+20x和mx+a两种形式来表示这个量，建立方程，这是列方程的核心．
【方法应用】
（2）通过上面的感悟，你有新的想法吗？请你尝试用另一种方法，列方程解决这个问题．
【解答】解：（1）由题意可知：现在产量＝原来每公顷产量+a
现在的总产量＝原有的总产量+20，
故答案为：原来每公顷产量，现在的总产量；
（2）设原来玉米平均每公顷产量是xt，则现在玉米平均每公顷产量是（x+a）t，依题意得
m（x+a）＝x（m+20），求解即可．

解：原式=[x(x−1)(x+1)(x−1)+x(x+1)(x−1)(x+1)]⋅x2−1x⋯

解：原式=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x⋯
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
C
C
D
B
C
A
B

解：原式=[x(x−1)(x+1)(x−1)+x(x+1)(x−1)(x+1)]⋅x2−1x⋯

解：原式=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x⋯