天津市静海区第六中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份天津市静海区第六中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
我重生了，重生在考数学的时候，上一世因为数学成绩备受屈辱，这一世我要拿回属于我的一切．叮~ ~系统提醒宿主，要想逆袭，需要完成以下任务……
第I卷（选择题50分）
一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算律化简计算即得.
【详解】因，
又，，
故，解得．
故选:C.
2. 若在中，，且，，则的形状是（ ）
A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】结合平面向量数量积的运算律得，即可判断求解．
【详解】在中，，且，，
则，即，即AB⊥BC，，
则的形状是等腰直角三角形．
故选：D
3. 已知两个单位向量的夹角为，则下列说法正确的有（ ）
①在上的投影向量为 ② ③④
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】对于①，根据在上的投影向量为即可判断；对于②，根据即可判断；对于③，根据即可判断；对于④，根据若，则即可判断.
【详解】对于①，在上投影向量为，故①正确；
对于②，，故②错误；
对于③，，，故③正确；，
对于④，故④正确.
故选：D
4. 已知向量，，，且，则实数（ ）
A. －B. 3C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量坐标运算和垂直的数量积要求求解即可.
【详解】因为，，，
所以，
又因为，
所以，
所以，
故选：B.
5. 已知，均为单位向量，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的数量积公式求出向量夹角.
【详解】因为，均为单位向量，所以，
所以，
即，所以，
所以，
因为，
所以，
故选：A.
6. 设向量的夹角为，定义：．若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据平面向量数量积的定义与运算求向量的夹角，再根据的定义求值即可.
【详解】设向量的夹角为，因为，
所以，
由，所以
又与的夹角为，所以，
所以或，
因为向量不共线，所以，
又，所以，
所以.
故选：A
7. 在中，角的对边分别为，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由诱导公式结合有，由余弦定理结合有，再结合余弦定理以及平方关系即可运算求解.
【详解】，所以，
所以，即，解得，
由余弦定理有，
而，所以.
故选：C.
8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ）
A. 2B. 8C. 9D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值.
【详解】由题意，，又共线，则，
且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为9.
故选：C
9. 在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据，可得，进一步得出答案.
【详解】如图，连接AC，
由，得.
因为为半圆上的点，所以，
所以．
故选：A.
10. 一扇中式实木仿古正方形花窗如图所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图所示．已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时，与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平面向量数量积的运算，结合向量投影的概念及向量夹角的求法求解即可．
【详解】解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，，则，，，，
设与的夹角为，
则，
由投影的概念可得：当与重合时， 取得最大值，
此时.
故选：B
第II卷（非选择题100分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 若向量分别表示两个力，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示可得，结合向量的几何意义即可求解.
【详解】由题意，向量分别表示两个力，
可得，
所以.
故答案为：
12. 在中，，，，则______
【答案】
【解析】
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用余弦定理可求的值，可得，利用三角形的内角和定理可求，利用诱导公式，二倍角的正切函数公式即可求解的值．
【详解】解：，，，
，
，可得，
，
则．
故答案为：．
13. 在中，，、、分别是边、、的中点，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，将两边平方即可得到，再由余弦定理得到，即可求出，再推导出，即可得解.
【详解】依题意，，，
所以，即①，
又由余弦定理，即，
又即②，
由①②可得，
所以
.
故答案为：
14. 已知向量，，，设X是直线OP上的一点(O为坐标原点)，那么的最小值是________.
【答案】－8
【解析】
【分析】设直线方程为，设出点坐标为，利用向量的坐标运算，得到关于的关系式，即可求解最小值．
【详解】直线方程为，
设点坐标为，则，
所以，
当时，的最小值为．
故答案.
【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示及向量的运算，其中根据直线方程，设出点的坐标，利用向量数量积的坐标运算得出关于的关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
15. 在中， ， 若O为内部的一点，且满足，则______ ．
【答案】
【解析】
【分析】确定O的位置，利用基底法及数量积的运算法则计算即可.
【详解】取的中点，易知，
同理有，所以O为的重心，
则，
.
故答案为：
三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 化简：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】根据向量线性运算，即可得到答案；
【小问1详解】
原式＝
【小问2详解】
原式＝
17. 已知，，且与夹角为求：
（1）；
（2）与的夹角．
【答案】（1）12； （2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量数量积的定义和运算性质进行求解即可；
（2）根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【小问1详解】
，，且与夹角为，
，，
，
；
【小问2详解】
，
，
，
设与的夹角为，
，
又，
所以，即与的夹角为．
18. 已知.
（1）当k为何值时，与共线；
（2）若，且三点共线，求m的值以及.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示计算即可；
（2）利用平面向量共线的坐标表示，及模长的坐标公式计算即可.
【小问1详解】
易知，所以，
即时，与共线；
【小问2详解】
易知，由三点共线得，
19. 在中，内角所对的边分别为，，，已知已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值；
（3）若，判断的形状．
【答案】（1）；
（2）；
（3）正三角形．
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答.
（2）代入给定等式计算作答.
（3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答.
【小问1详解】
在中，由及余弦定理得，而，
所以.
【小问2详解】
由，及，得，
所以.
【小问3详解】
由及，得，则，由（1）知，
所以为正三角形.
20. 平面几何中有如下结论：“三角形的角平分线分对边所成的两段之比等于角的两边之比，即．”已知中，，，为角平分线．过点作直线交的延长线于不同两点，且满足，，
（1）求的值，并说明理由；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1），理由见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）用表示，再根据三点共线，利用向量共线定理求解即可；
（2）利用结合数量积的运算律和均值不等式“1”的妙用求解即可.
【小问1详解】
根据角平分线定理，所以，
因为，，
所以，
因为三点共线，所以，所以．
【小问2详解】
当且仅当时取等号，即，
所以的最小值为．
21. 如图，已知中，点关于点的对称点为在线段上，且和相交于点．设．

（1）用表示向量．
（2）若，求实数的值．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算，结合三角形中的几何特点，直接写出即可；
（2）利用两次三点共线，用基底表示，根据向量相等，对照系数，即可求得结果.
【小问1详解】
根据条件为线段中点；
；
.
【小问2详解】
，与与共线；存在实数，使；，
又；故，解得．