天津市西青区静文高级中学2025-2026学年高一下册第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份天津市西青区静文高级中学2025-2026学年高一下册第一次月考数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共10题，每题4分）
1. 已知全集，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据补集、交集的定义，即可得答案.
【详解】由题意，所以.
故选：A
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 长度一样的两个向量相等B. 平行的两个向量为共线向量
C. 零向量的大小为0且没有方向D. 方向相反的两个向量互为相反向量
【正确答案】B
【分析】根据相等向量、共线向量（平行向量）、零向量、相反向量的定义逐项分析判断即可.
【详解】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误；
选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量. 零向量与任一向量共线，故B正确；
选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误；
选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误.
故选：B.
3. 化简 的结果等于（ ）
A B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据向量加减法的运算法则逐步化简
【详解】计算：由向量加法的三角形法则，
处理：向量减法转化为加法，即
计算：再次应用三角形法则，
综上，化简结果
故选：D.
4. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则角（ ）
A. 或B. 或C. D.
【正确答案】B
【分析】由正弦定理求出，得解.
【详解】由正弦定理，可得，又，
或.
故选：B.
5. 已知向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】因此分析充分性和必要性是否成立即可得解.
【详解】若时，，，
所以，故充分性成立；
若，则，解得或，故必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知向量，，且，则（ ）
A. -4B. 4C. -6D. 6
【正确答案】C
【分析】利用平面向量垂直的坐标表示，列式计算作答.
【详解】因向量，，且，则，得，
所以.
故选：C
7. 记的内角的对边分别为，则（ ）
A B. C. 或D.
【正确答案】B
【分析】由正弦定理得，进而求得的正余弦值，再根据，即可求解．
【详解】在中，由正弦定理得，即，
解得，
，
则．
故选：B．
8. 在△ABC中，点D在线段BC上，且，E是线段AB的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据平面向量基本定理及线性运算求解即可.
【详解】因为，所以，
则.
故选：A.
9. 在中，若，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
【正确答案】B
【分析】首先利用正弦定理化边为角求出的值，再结合，以及三角形的内角和可求出，进而可得正确选项.
【详解】,
,
因为
所以，
所以，可得或，
又因为，,
所以
所以，，，
所以为等边三角形.
故选：B
10. 在等腰梯形中，已知，，，.动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据向量的运算法则，先化简得到，，再利用向量数量积的运算，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】在等腰梯形中，已知，且，
所以，，，
因为，，由题意知，
则，，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.
二、填空题（共6题，每题5分）
11. 设，若复数是纯虚数，则_____.
【正确答案】
【分析】根据纯虚数的定义求解即可.
【详解】复数,
因为复数是纯虚数，所以,
解得：,
当时，满足条件；
故
12. 已知，则的值为__________.
【正确答案】
【分析】利用二倍角的余弦公式，即可求得结果．
【详解】由，则
故
13. 在中，若，则_______．
【正确答案】
【分析】根据余弦定理解三角形，求出边长即可.
【详解】由余弦定理得，代入得，
计算得；
故
14. 已知为一个单位向量，与的夹角为，若在上的投影向量为，则_________．
【正确答案】4
【分析】根据投影向量公式代入即可求解.
【详解】为一个单位向量，.
与的夹角为，且在上的投影向量为.
.
，即.
故4
15. 如图，在中，是BD上一点，且，则的值等于____________．
【正确答案】
【分析】根据，可得，根据，以及E、B、D三点共线，可求出．
【详解】因为，所以，
则，
因为E、B、D三点共线，所以，所以．
故．
16. 在平行四边形中，是线段的中点，点满足若设，则可用表示为______；若，则______．
【正确答案】 ①. ②.
【分析】由向量的线性运算，可将用表示出来；以为基底，即可对的数量积进行运算求解.
【详解】
由E是线段CD的中点，，可得，，
则，
则，
所以；
由题意知，，，，，
则.
故；.
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
三、解答题
17. 已知复数，.
（1）若是实数，求的值；
（2）若是纯虚数，求的值；
（3）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.
【正确答案】（1）或；
（2）；
（3）
【分析】（1）根据虚部为零列方程求解；
（2）根据实部为零，虚部不为零列方程求解；
（3）根据实部大于零，虚部小于零列不等式求解；
【小问1详解】
解：，且是实数，
，
解得或；
【小问2详解】
解：是纯虚数，
，
解得；
小问3详解】
解：在复平面内对应的点在第四象限，
，
解得.
18. 已知向量满足
（1）若，求向量的坐标；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）在（1）的条件下，若与垂直，求的值．
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）
【分析】（1）由平面向量的坐标运算计算即可；
（2）由向量夹角公式计算即可；
（3）由向量垂直的坐标表示建立方程，进行求解即可.
【小问1详解】
，，
；
【小问2详解】
由，知与夹角的余弦值为；
【小问3详解】
，
由与垂直，
则，
解得.
19. 已知，，与的夹角为
（1）求．
（2）求．
（3）若向量与相互垂直，求实数k的值．
【正确答案】（1）； （2）-22；
（3）.
【分析】（1）根据平面数列数量积的定义可得，计算即可求解；
（2）由（1），根据平面向量的数量积的运算律计算即可求解；
（3）根据平面垂直向量可得其数量积0，计算即可求解.
【小问1详解】
由题意得，，
所以，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，
则；
【小问3详解】
因为，
所以，
即，得，解得，
即实数k的值为.
20. 在中，角所对的边分别为，且．
（1）求c的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）.
【分析】（1）应用正弦边角关系及已知可得，再由余弦定理求边长；
（2）根据已知得，再由正弦定理求；
（3）由（2）及已知有，再应用二倍角正余弦公式及和角正弦公式求.
【小问1详解】
由题设及正弦边角关系得，又，则，
由余弦定理有，则；
【小问2详解】
由且，则，
由正弦定理，则；
【小问3详解】
由上，故为锐角，则，
所以，，
所以.