天津市静海区第六中学2023−2024学年高一下学期第三次质量检测 数学试题（含解析）

这是一份天津市静海区第六中学2023−2024学年高一下学期第三次质量检测 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共9小题）
1．已知复数，若是纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．D．
2．若，向量与向量的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．在中，则（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（ ）
A．20B．12C．D．
5．某校高一年级15个班参加庆祝建党100周年的合唱比赛，得分如下：85 87 88 89 89 90 91 91 92 93 93 93 94 96 98，则这组数据的40%分位数，90%分位数分别为（ ）
A．90.5，96B．91.5，96C．92.5，95D．90，96
6．已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，则
7．如图，正方体中，E，F分别是，DB的中点，则异面直线EF与所成角的正切值为（ ）

A．B．C．D．
8．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则是（ ）
A．钝角三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
9．已知等边三角形的边长为，为边的中点，是边上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
10．复数满足，则 ．
11．已知向量，的夹角为，且，，则 ．
12．已知平面内三个向量，，，若，则k= .
13．若的内角A，B，C所对的边a，b，c满足，且，则的值为 .
14．正四棱锥的底面积为3，外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为 .
15．如图，在平面四边形中，，，，.若点为边上的动点（不与，重合），则的取值范围为 .
三、解答题（本大题共4小题）
16．当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
(1)复数实数；
(2)复数纯虚数；
(3)复平面内，复数对应的点位于直线上.
17．已知，，且与的夹角为，求：
(1)；
(2)与的夹角；
(3)若向量与平行，求实数的值.
18．某校为了解全校高中学生五一假期参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示.
(1)求这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时的人数；
(2)估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数.
19．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求的值；
(2)若，
（i）求a的值；
（ii）求的值．
参考答案
1．【答案】C
【分析】化简，解方程组即得解.
【详解】是纯虚数，
则，解得.
故选C.
2．【答案】C
【分析】根据投影向量定义计算即可.
【详解】由投影向量定义可知，在上的投影向量为.
故选C.
3．【答案】C
【分析】根据点所在位置，结合平面向量的线性运算，即可求得结果.
【详解】因为，所以为线段上靠近的三等分点，如下图所示：

故．
故选C．
4．【答案】A
【分析】根据斜二测法求得且，进而求出，即可得结果.
【详解】由题设，则原四边形中，又，
故，且，
所以四边形的周长为.
故选A.
5．【答案】A
【分析】根据分位数及分位数的计算规则计算可得；
【详解】因为一个15个数据，所以，则分位数为从小到大排列的第个和第7个数据的平均数，即为，，则分位数为从小到大排列的第个数据为，
故选A.
6．【答案】D
【分析】由平行于同一平面的两直线的位置关系判定A；由面面垂直、线面垂直判定线面关系判断B；由两平行平面内两直线的位置关系判断C；由平面与平面垂直的判定定理判断D．
【详解】若，，则或m与n相交或m与n异面，故A错误；
若，，则或，故B错误；
若，，，则或m与n异面，故C错误；
若，，由平面与平面垂直的判定可得，故D正确.
故选D.
7．【答案】B
【分析】根据异面直线的夹角的求法和线面位置关系即可求解.
【详解】
如图所示，连接直线，
因为分别为直线和直线的中点，
所以为的中位线，
所以，
则异面直线EF与所成角的正切值即为直线与所成角的正切值，
因为,
所以平面,
平面,
所以,
所以为直角三角形，
所以.
故选B.
8．【答案】B
【分析】由和正弦定理可得，即，又得，即可判断是等边三角形.
【详解】由及正弦定理可得，得，
故（舍去）或，即，
又，所以，
因，，得，故，
故是等边三角形，
故选B.
9．【答案】D
【分析】取线段的中点，连接，以点为原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系，设点，则，利用二次函数的基本性质结合平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围.
【详解】取线段的中点，连接，则，
以点为原点，，所在的直线分别为，轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则，，设点，则，
，，
所以，，
因为函数在上为减函数，在上为增函数，
所以，，
又因为，，所以，，
因此，的取值范围是.
故选D.
10．【答案】
【分析】利用复数的模和除法运算即可求解.
【详解】因为复数满足，所以，
故答案为：.
11．【答案】
【分析】根据向量模的计算公式，即可求解.
【详解】.
故答案为：.
12．【答案】
【分析】先表示出，再由平行向量的坐标表示求解即可.
【详解】因为，，，
，
，
因为，所以，
所以，解得：.
故答案为：.
13．【答案】
【分析】利用余弦定理可得答案.
【详解】由，得，
由余弦定理得，则，所以.
故答案为：.
14．【答案】或
【分析】设底面中心为，连接，，，由四棱锥的外接球的表面积为，可得外接球半径，利用球的截面性质求出的值，再根据体积公式求解即可.
【详解】设正四棱锥的底面中心为，外接球球心为，显然球心在直线上，
由四棱锥的外接球的表面积为，得球半径，由正方形面积为3，得.
球心到面的距离为，正方形的外接圆半径，
于是，即，解得或，
所以或，
故答案为：或.

15．【答案】
【分析】设，根据条件找出，，且与的夹角为，与的夹角为，从而根据向量的加法法则和减法的定义写出，然后表示为关于的二次函数，通过求二次函数的最小值即可解决问题.
【详解】延长交于点，因为，所以，，
在中，，，所以，
在中，，，所以，
所以，不妨设，则，且与的夹角为，与的夹角为，
则
，
设，，
所以时，.
，
则的范围是.
故答案为：.
16．【答案】(1)或；(2)；(3)或.
【解析】(1)由虚部为0，求解值；
(2)由实部为0且虚部不为0，列式求解值；
(3)由实部与虚部的和为0，列式求解值．
【详解】由题可知，复数，
(1)当为实数时，则虚部为0，
由，解得：或；
(2)当纯虚数时，实部为0且虚部不为0，
由，解得：；
(3)当对应的点位于直线上时，则，
即：实部与虚部的和为0，
由，解得：或．
17．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】(1)代入向量模的公式，即可求解；
(2)代入向量夹角的余弦公式，即可求解；
(3)代入向量共线定理，即可求解.
【详解】(1)
，
(2)
，
即，所以与的夹角为；
(3)若向量与平行，
则，，
得或，
所以的值为.
18．【答案】(1)58；(2)众数7，中位数2，平均数7.16.
【解析】(1)求出参加实践活动时间在6～10小时的人所占的频率,再求解人数即可.
(2)根据最高矩形底边中点的横坐标计算众数,利用中位数左右两边的频率均为0.5以及平均数的算法求解即可.
【详解】(1)，即这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时的人数为58.
(2)由频率分布直方图可以看出，最高矩形底边中点的横坐标为7，故这100名学生参加实践活动时间的众数的估计值为7小时.； ，中位数t满足.由，得 ，即这100名学生参加实践活动时间的中位数的估计值为2小时.
由，解得 .
这100名学生参加实践活动时间的平均数的估计值为
（小时）.
19．【答案】(1)；
(2)（i）；（ii）.
【分析】(1)利用同角基本关系式与正弦定理的边角变换即可得解；
(2)（i）利用余弦定理运算即可得解；（ⅱ）根据三角恒等变换运算即可得解.
【详解】(1)由，且C是三角形的内角，则，
因为，由正弦定理得，
所以.
(2)（i）因为，所以，又，
由余弦定理得，
即，解得或（舍去），
所以；
（ⅱ）由(1)知，由知A为锐角，得，
所以，
，
所以.