湖北省部分学校2024-2025学年高三下学期3月联考数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题
1. 设 是等比数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ）
A. 48 B. 84 C. 90 D. 112
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列的性质可知 ， ， ， 成等比数列，计算可求得 .
【详解】因为 是等比数列 的前 项和，因为 ，所以公比 ，
所以 ， ， ， 成等比数列，
又 ， ，所以 ， ，
所以 .
故选：C
2. 某条公共汽车线路收支差额 与乘客量 的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由
于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2
）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，
则（ ）
A. ①反映建议（2），③反映建议（1） B. ①反映建议（1），③反映建议（2）
C. ②反映建议（1），④反映建议（2） D. ④反映建议（1），②反映建议（2）
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【答案】B
【解析】
【分析】根据收支差额的计算公式可得正确的判断.
【详解】对于建议（1），因为不改变车票价格，减少支出费用，故建议后的图象与目前的图象倾斜方向相
同，且纵截距变大，故①反映建议（1）；
对于建议（2），因为不改变支出费用，提高车票价格，故建议后的图象比目前的图象的倾斜角大，故③反
映建议（2）.
故选：B.
【点睛】本题考查函数图像在实际问题中的应用，注意根据给出的建议结合题设中的计算公式分析出图象
变化的规律，此题为基础题.
3. 已知随机变量 ，当且仅当 时， 取得最大值，则 （ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解.
【详解】由题得 ，
由题知在 中，最大值只有 ，
即在 中，最大值只有 ，由二项式系数的对称性可知 .
故选： .
4. 直线经过原点和点 ，则它的倾斜角是（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知的两点坐标求出过两点直线方程的斜率,然后利用直线的斜率等于倾斜角的正切值求出直线的倾斜角
度数.
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【 详 解 】 设 经 过 原 点 和 点 的 直 线 方 程 的 斜 率 为 ,且 该 直 线 的 倾 斜 角 为 ,由 题 意 可 知 :
,又 ,则 .
故选
【点睛】本题考查了根据两点坐标求出过两点直线方程的斜率及倾斜角问题,需要掌握直线斜率与倾斜角之
间的关系,本题较为基础.
5. 已知点 在直线 上运动， 是圆 上的动点， 是圆 上的
动点，则 的最小值为（ ）
A. 13 B. 11 C. 9 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆的性质可得 ，故求 的最小值，转化为求
的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.
【详解】如图所示，
圆 的圆心为 ，半径为 4，
圆 的圆心为 ，半径为 1，
可知 ，
所以 ，
故求 的最小值，转化为求 的最小值，
设 关于直线 的对称点为 ，设 坐标为 ，
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则 ，解得 ，故 ，
因为 ，可得 ，
当 三点共线时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：D.
6. 已知空间四点 ， ， ， ，则四面体 的体积为（ ）
A. B. C. 15 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知点坐标求平面 的一个法向量，向量法求 到面 的距离，且 为边长为
的等边三角形，最后应用棱锥的体积公式求体积.
【详解】由题设 为边长为 的等边三角形，
且 ， ， ，
若 是面 的一个法向量，则 ，
令 ，则 ，
则 到面 距离 ，
所以四面体 的体积为 .
故选：B
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7. 若函数 有两个零点，则 k 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据曲线的方程可得曲线 是以原点为圆心， 为半径的圆的 轴的上半部分（含 轴），
求出直线与圆相切时 的值，再结合图形即可求解.
【详解】由题意可得， 有两个根，
由 得 ，
所以曲线 是以原点为圆心， 为半径的圆的 轴的上半部分（含 轴），
直线 过定点 ，
当直线 与 相切时，
圆心到直线 距离 ，
解得 或 （舍去），
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当直线 过点 时，
直线斜率为 ，
结合图形可得实数 的取值范围是 .
故选：C.
8. 正三棱台 的上、下底边长分别为 6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和
三个侧面都相切），则正三棱台的高为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由截面图结合等面积法和勾股定理列出关于 r 的等量关系求出 r 即可求解.
【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为 ，
由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心，
故如左图所示作截面，得到右图，设内切球半径为 ，
则有 即 ，
所以正三棱台的高为 6.
故选：D.
二、多选题
9. 以下四个命题，其中是真命题的有（ ）．
A. 命题“ ”的否定是“ ”
B. 若 ，则
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C. 函数 且 的图象过定点
D. 若某扇形的周长为 6cm，面积为 2 ，圆心角为 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，根据全称命题的否定可判断；对于 B，由不等式的性质可判断；对于 C，由对数函数的性
质可判断；对于 D，由扇形的周长、面积公式计算可判断.
【详解】对于 A，由全称命题的否定，可知选项 A 正确；
对于 B，若 ，则 ，根据 的单调性，可知 ，故 B 不正确；
对于 C，当 时， ，故其过定点 ，故 C 正确；
对于 D，设扇形的半径为 ，弧长为 ，则有 ，
又 ，故 D 正确.
故选：ACD
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 回归直线 恒过样本中心点 ，且至少过一个样本点
B. 用决定系数 刻画回归效果时， 越接近 1，说明模型的拟合效果越好
C. 将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大
D. 基于小概率值 的检验规则是：当 时，我们就推断 不成立，即认为 和 不独立，该推断
犯错误的概率不超过
【答案】BD
【解析】
【分析】由回归直线的性质即可判断 A；利用相关指数 的性质即可判断 B；由标准差的性质即可判断 C；
由独立性检验的思想即可判断 D.
【详解】A：回归直线 恒过样本点的中心 正确，但不一定会过样本点，故 A 错误；
B：用相关指数 来刻画回归效果时， 越接近 1，说明模型的拟合效果越好，故 B 正确；
C：将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，数据的波动性不变，
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故方差不变，则标准差不变，故 C 错误；
D：根据独立性检验可知 D 正确.
故选：BD
11. 如图，在正方体 中， 为棱 的中点， 为正方形 内一动点（含边界），
则下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 若 平面 ，则动点 的轨迹是一条线段
C. 存在 点，使得 平面
D. 若直线 与平面 所成角的正切值为 ，那么点 的轨迹是以 为圆心，半棱长为半径的圆弧
【答案】ABD
【解析】
【分析】设正方体 的棱长为 ，对于 A，根据等体积转化，可证明体积为定值；对于 B，
取 、 中点 、 ，连接 、 、 、 ，证明平面 平面 ，则 点的轨迹
为线段 ；对于 C，以 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，求出平面
的法向量，根据 求出 、 即可判断；对于 D，利用线面角的向量公式，得到点 的轨迹
方程，即可判断.
【详解】不妨设正方体 的棱长为 ，
对于 A 选项， ，
三棱锥的体积 ，
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点 到平面 的距离为 ，所以三棱锥 的体积为定值，故 A 选项正确；
对于 B 选项，取 、 中点 ，连接 、 、 、 ，
由 且 ，知 是平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，
同理可得 平面 ，
因为 ， 、 平面 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，则 平面 ，而 Q 在平面 上，
且平面 平面 ，则 点的轨迹为线段 ，故 B 选项正确；
对于 C 选项，以点 为坐标原点，
、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 ，设 ，
则 ， ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，取 ，则 .
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若 平面 ，则 ，即存在 ，使得 ，则 ，
解得 ，故不存在点 使得 平面 ，故 C 选项错误；
对于 D 选项，平面 的一个法向量为 ， ，
若直线 与平面 所成角的正切值为 ，则此角的正弦值是 ，
所以 ，所以 ，
因为点 为正方形 内一动点（含边界），
所以点 是以 为圆心， 为半径的圆弧（正方形 内），即圆心角为 的圆弧，故 D 正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用
等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
第 II 卷（非选择题）
三、填空题
12. 已知函数 ，则 _______．
【答案】6
【解析】
【分析】利用瞬时变化率和极限思想求得 ，再结合函数解析式求得 即
可.
【详解】因 ，
由 可得 ，
故 .
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故答案为：6.
13. 过双曲线 的右焦点 F 作倾斜角为 30°的直线，交双曲线于 A，B 两点，则弦长 ______
．
【答案】8
【解析】
【分析】写出直线方程，联立双曲线方程，利用弦长公式求解即可.（也可以直接使用双曲线焦点弦长公式
代值求解）
【详解】由双曲线 ，得 ， ，
焦点 ，倾斜角 ，
法一：直线斜率 ，直线方程为 ，
联立 消 得， ，
由韦达定理知 ，
代入弦长公式 ，
得 .
法二： .
故答案为：8.
14. 阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的 3 位妈妈带着 3 名女宝和 2 名男宝共 8 人踏春.
在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3 名女宝相邻且不排最前
面也不排最后面；为了防止 2 名男宝打闹，2 人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共
有___________种（用数字作答）.
【答案】288
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合相邻与不相邻问题，列式计算即得.
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【详解】第一步：先将 3 名母亲作全排列，共有 种排法；
第二步：将 3 名女宝“捆绑”在一起，共有 种排法；
第三步：将“捆绑”在一起的 3 名女宝作为一个元素，在第一步形成的 2 个空中选择 1 个插入，有 种排法；
第四步：首先将 2 名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，
然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的 2 个空中的其中 1 个，共有 种排法.
所以不同的排法种数有： （种）.
故答案为：288
四、解答题
15. 试分别根据下列条件，写出数列 的前 5 项：
（1） ， ， ，其中 ；
（2） ， ，其中 ．
【答案】（1）1，2，4，8，16
（2）2， ， ， ， ．
【解析】
【分析】（1）根据递推公式，对 依次赋值求解；
（2）根据递推公式，对 依次赋值求解.
【小问 1 详解】
因为 ， ， ，其中 ，
所以 ， ，
．
因此，数列 的前 5 项依次为 1，2，4，8，16．
【小问 2 详解】
因为 ， ，其中 ，
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所以 ， ，
， ．
因此，数列 的前 5 项依次为 2， ， ， ， ．
16. 在 中，内角 所对的边分别为 ， ， .已知 .
（1）求角 的大小；
（2）设 ，
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）求 的值.
【答案】（1）
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理计算可得 ，即 ；
（2）（ⅰ）利用余弦定理代入计算可得 ；
（ⅱ）由余弦定理得推论计算可得 ，再根据同角三角函数基本关系以及三角恒等变换计算
可得结果.
【小问 1 详解】
依题意根据 由正弦定理可得 ；
又 ，所以可得 ，
即 ，所以 ，
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可得 ，又 ，
解得 .
【小问 2 详解】
（ⅰ）由 以及 ，
利用余弦定理可得 ，
解得 ；
（ⅱ）由 ， 可得 ；
又 ，因此可得 ；
可知 ，
；
所以 .
17. 已知平面内点 与两个定点 的距离之比等于 2.
（1）求点 的轨迹方程；
（2）记（1）中的轨迹为 ，过点 的直线 被 所截得的线段的长为 ，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）由已知等量关系，利用直接步骤法坐标代入关系式化简整理可求轨迹；
（2）分斜率存在与不存在两类情况分别求解.当斜率不存在时，验证弦长可得；当斜率存在时，设出点斜式
直线方程，利用垂直关系将弦长转化为圆心到直线的距离，由点到直线距离公式得关于 的方程求解可得.
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小问 1 详解】
已知 ，
由题意可知， ，坐标代入得 ，
整理得 ，
故点 的轨迹方程为 ；
【小问 2 详解】
当直线 的斜率不存在时，此时直线 的方程为 ，
由圆 ，则圆心为 ，半径为 ，
此时弦长为 ，满足题意；
当直线 的斜率存在时，不妨设斜率为 ，
则直线 的方程为 ，
即 ，
则圆心 到直线 的距离 .
因为直线 被 所截得的线段的长为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
综上，满足条件的直线 的方程为 或 .
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18. 如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 是边长为 2 的等边三角形，
（1）求证：
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线线垂直可得 平面 ，即可根据线面垂直的性质求解，
（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解.
【小问 1 详解】
证明：取 的中点 ，连接 ．
∵四边形 为菱形，且 ，则 ，
又∵ 为等边三角形，∴ ，
而 ， 平面 ，∴ 平面 ．
又∵ 平面 ，∴ ．
【小问 2 详解】
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若 ，由 可知， ，
而 ，故 平面 ，而 ．以点 为原点， ， ， 分别为 轴、 轴、
轴的正方向建系．
则 ， ， ， ， ．
故 ， ，
设平面 的法向量
∴ ∴ 即
令 ，则 ， ，所以，平面 的法向量 ．
设直线 与平面 所成角为 ，
∴
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
19. 已知椭圆 的焦点在 轴上，中心在坐标原点．以 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角
形，且其周长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 的直线 （不与坐标轴垂直）与椭圆 交于不同的两点 ，
①若直线的斜率为 1，求弦长 ．
②设直线 与直线 交于点 ．点 在 轴上， 为坐标平面内的一点，四边形 是菱形．试问：
直线 PD 是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由．
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【答案】（1） ；
（2）① ，②过定点，且定点为 .
【解析】
【分析】（1）根据焦点三角形的周长以及等边三角形的性质可得 且 ，即可求 ，
可得椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆方程，应用韦达定理，由弦长公式求 ，由中点坐标公式得
， 进 而 根 据 菱 形 的 性 质 可 得 的 方 程 为 ， 即 可 求 解 ，
，进而根据点斜式求解直线 方程，即可求解.
【小问 1 详解】
由题意，设椭圆方程为 ，
以 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为 ，
所以 且 ，可得 ，故 ，
所以椭圆方程为 .
【小问 2 详解】
设直线 ，联立 ，整理得 ，
设 ，显然 ，则 ， ，
所以 ，
①若直线的斜率为 1，则 ，故 ；
②设 中点 ，则 ， ，
第 18页/共 19页
由四边形 是菱形， 是 的中点，且 ，所以直线 的斜率为 ，
故 ，令 ，则 ，
所以 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，
对于 ，令 ，则 ， ，
所以 为 ，即 ，故直线 PD 过定点 .
第 19页/共 19页