湖北省荆楚优质高中联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷（解析版）

这是一份湖北省荆楚优质高中联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以.
故选：B.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，充分性成立，
反过来，当时，或，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，故.
故选：C.
4. 已知正数满足，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为正数满足，所以，即，
则，
当且仅当，即时取等号，
此时的最小值为.
故选：B.
5. 幂函数都有成立，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 或
C. 是偶函数D. 是奇函数
【答案】D
【解析】因为是幂函数，所以，解得或，
因为，都有成立，所以该函数在是减函数，
所以，故A，B错误；
，定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以是奇函数，故D正确，C错误.
故选：D.
6. 如今科技企业掀起一场研发大模型的热潮，大规模应用成为可能，尤其在图文创意，虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.函数和函数是研究人工智能被广泛使用的两种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量增加一倍时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，解得：，；
；；
所以将代入得：.
故选：.
7. 函数的图象在区间上恰有2个最高点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于，所以，
由于图象在区间上恰有2个最高点，
则，
解得：.
所以的取值范围为.
故选：A.
8. 设函数与函数的图象在内交点的横坐标依次是，且，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，
所以，又，
所以，则，
所以
，
因为，解得.
故选：C.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小遗给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“”的否定形式是“”
B. 函数且的图象过定点
C. 方程的根所在区间为
D. 若命题“恒成立”为真命题，则“或”
【答案】BC
【解析】对于A，命题“”的否定形式是“”，故A项错误；
对于B，当时，，此函数值与无关，
则函数图象过定点，故B项正确；
对于C，令，则函数在上单调递减，
又，，
则由零点存在性定理可知，则函数在区间内存在唯一一个零点，
即方程的根所在区间为，故C项正确；
对于D项，命题“恒成立”为真命题，
得，解得，故D项错误.
故选：BC.
10. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 的图像关于直线对称
B. 的图像关于点对称
C. 将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像
D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】由图可知：的最小正周期，
当时，，所以；
对于A，，正确；
对于B，，错误；
对于C，将向右平移，
得到，正确；
对于D，的大致图像如下：
欲使得在内方程有2个不相等的实数根，则，正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，若存在四个实数，使得，则（ ）
A. 的范围为
B. 的取值范围为
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为
【答案】AC
【解析】函数的图象如图所示：
对于A，由图知，函数与交于四个交点，则，故A正确；
对于B，因为，则，
由于，则，
所以，则，且，
由于，由可得或，
所以，又，
则，所以，且，
所以，则，故B错误；
对于C，由上分析可得，
由，得，
则，
因函数在上增函数，则，
则，所以，故C正确；
对于D，，设，
则，则在上为增函数，所以，
即，故D错误.
故选：AC.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知扇形的面积为8，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为__________.
【答案】12
【解析】设扇形的弧长为l，半径为r，由于扇形圆心角的弧度数是4，
则，又因为，即，所以.
故其周长.
13. 在中，，点是上的一点，若，则实数的值是__________.
【答案】
【解析】如下图所示：
因为为上的一点，设，
即，所以，
因，则为线段的中点，则，
，
因、不共线，故，解得.
14. 对于函数，若在其定义域内存在两个实数，使当时，的值域也是，则称函数为“保值”函数，区间称为函数的“等域区间”.
（1）请写出一个满足条件的“保值”函数：______；
（2）若函数是“保值”函数，则实数k的取值范围是______.
【答案】
【解析】（1）由题意得方程至少有两个根，设函数；
（2）因为是增函数，
若是“保值”函数，则存在实数，
使即，所以是关于的方程的两个实数根，
从而方程有两个不相等的实数根.
令，则
函数在上单调递减，在上单调递增，
，根据二次函数的图象可知，
当且仅当时，直线与曲线有两个不同的交点，
即方程有两个不相等的实数根，故实数的取值范围是.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 设是不共线的两个向量.
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与共线，求实数的值.
解：（1）证明：，
，
又因为与共线，且有公共端点，
所以三点共线.
（2）因为与共线，所以存在实数，使得，
即.
由与不共线，可知，解得，所以，
即实数的值为或.
16. 已知函数为奇函数，其中.
（1）求和实数的值；
（2）若满足，求实数的取值范围.
解：（1）由，则；
因为函数是奇函数，所以，
即，
即，则，所以，
又因为，所以.
（2）由（1）知，
由，解得，则的定义域为，
因为，所以在上为减函数，
又因为，即，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
17. 已知函数的最大值为.
（1）求的值和的对称轴；
（2）求在上的单调递减区间；
（3）若，成立，求的取值范围.
解：（1）由题知，
因为的最大值为，所以，可得，
所以，
由得.
所以函数的对称轴方程为.
（2）因为，令，则，
因为的单调递减区间是，
由，得，
所以在的单调递减区间是.
（3）由题意知，由，可得，
故当时，函数取最大值，所以，，
因此，实数的取值范围是.
18. 如图，在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点和，已知点的坐标为.
（1）若，求点的坐标；
（2）若将角的终边按逆时针方向旋转至第一象限，且为锐角，，求的大小.
解：（1）因为点在单位圆上，利用三角函数的定义，解，
由三角函数定义知，，
因为，且，所以，
所以，，
故.
（2）因为，所以，
因为，且，所以，
因为，，所以，
所以，
因，且，所以；
因为，
且，所以.
19. 设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式.
（1）求切比雪夫多项式；
（2）求的值；
（3）已知方程在上有三个不同的根，记为，求证：.
解：（1）因为，
所以，
所以，
所以.
（2）因为，
所以，又，
所以，
所以，
即，因为，
解得（舍去）.
（3）由题意，，
法一：设，代入方程得到，
解三角方程得，不妨取，
，
而，
综上.
法二：令，
即，
依据多项式系数对应相等得到.
综上.