四川省资中县球溪高级中学2024-2025学年高二（普通班）下学期2月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份四川省资中县球溪高级中学2024-2025学年高二（普通班）下学期2月月考数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了 双曲线的渐近线方程为， 如图，在棱长为1的正四面体， 设等差数列的公差为，若，，则， 已知双曲线C， 对抛物线，下列描述正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 已知向量，满足，，且，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（ ）
A. B. C. D.
3. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A B. C. D.
4. 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则直线和夹角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 设等差数列的公差为，若，，则（ ）
A 4B. 3C. 2D. 1
6. 若存在实数a，使得直线与圆相切，则实数b的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
7. 已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，圆与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线交C的右支于点P，若的角平分线与y轴平行，则C的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
8. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若，则（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A. 开口向下，准线方程为
B. 开口向下，焦点为
C. 开口向左，焦点为
D. 开口向左，准线方程为
10. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 若或，则直线与圆相切
B. 若，则圆关于直线对称
C. 若圆与圆相交，且两个交点所在直线恰为，则
D. 若，圆上有且仅有两个点到的距离为1，则
11. 在直平行六面体中，为棱上的动点，且四点均在球的球面上，则（ ）
A. 平面
B. 存点，使平面
C. 存在点，使的周长为
D. 球的表面积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数_____．
13. 在平面直角坐标系中，点,点P到A与B的距离之和为8，则点P的轨迹为________.
14. 已知数列的首项为14，且，则的最小值为_______________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已如空间直角坐标系中，点都在平面内，求实数的值.
16 .①
.②
③
④
观察上面各组数，你能从运算角度发现它们有什么共同的特点吗？
17. 已知点和点是圆直径的两个端点．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点作圆的切线，求切线的方程．
18. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于
（1）求圆的方程；
（2）当时，求直线的方程．
19. 如图，在直四棱柱中，的中点分别为.

（1）证明：.
（2）求二面角的正弦值.
20. 已知椭圆的一个焦点短轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点.
（i）证明：点在以为直径的圆外：
（ii）在上是否存在点使得是等边三角形.若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
球溪高级中学2024-2025学年高二下学期2月月考（普通班）
数学
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 已知向量，满足，，且，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合向量夹角公式运算求解即可.
【详解】因为，，且，
则，
且，所以与的夹角为．
故选：D.
2. 已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据基底的定义，判断是否共面即可逐一求解.
【详解】对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误，
对于B，由于与不共面，符合基底要求，故B正确，
对于C，，故共面，不符合要求，C错误，
对于D，，故共面，不符合要求，D错误，
故选：B
3. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由方程确定即可求解.
【详解】根据题意，，可知，
所以渐近线方程为：．
故选：A
4. 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则直线和夹角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，根据空间向量的线性运算可得和数量积的运算律和定义计算即可求解.
【详解】，因为分别为的中点，
所以，，且，
则
，
所以，
即直线和夹角的余弦值为，所以正弦值为.
故选：C
5. 设等差数列的公差为，若，，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列通项公式的性质求得，进而求得，再根据等差数列通项公式求公差即可.
【详解】因为，所以，
又，所以，故公差.
故选：D
6. 若存在实数a，使得直线与圆相切，则实数b的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质列式计算得解.
【详解】圆的圆心为，半径为1，
由直线与圆相切，得对于实数a有解，
由，解得：或，
所以实数b的取值范围是.
故选：D.
7. 已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，圆与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线交C的右支于点P，若的角平分线与y轴平行，则C的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出点的坐标，根据点在直线上，结合求出点坐标，然后代入双曲线方程可得.
【详解】由题知，，双曲线过第一象限的渐近线方程为，
联立，解得，则，
所以直线的方程为，
设，则①，
因为的角平分线与y轴平行，所以，
即，整理得②，
联立①②解得，代入双曲线方程得，即.
故选：A
8. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若，则（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据焦点弦的性质结合，得出，根据图形特征得出即可.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，
设直线的倾斜角为，作垂直于点，作垂直于点，过作的垂线交于点，
因为，
所以，
同理，
因为，那么，解得，
所以，，
所以是的中位线，所以.
故选：C.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A. 开口向下，准线方程为
B. 开口向下，焦点为
C. 开口向左，焦点为
D. 开口向左，准线方程为
【答案】AB
【解析】
【分析】先化为标准方程，求得焦点坐标和准线方程即可判断.
【详解】由题设，抛物线可化为，
开口向下，焦点为，准线方程为.所以AB正确，CD错误.
故选：AB.
10. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 若或，则直线与圆相切
B. 若，则圆关于直线对称
C. 若圆与圆相交，且两个交点所在直线恰为，则
D. 若，圆上有且仅有两个点到的距离为1，则
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，利用圆心到直线距离等于半径求解；B选项，由圆心在直线上求解；C选项，由两个圆的方程相减，得公共弦所在直线方程；D选项，由圆心到直线距离的范围求解.
【详解】即，圆心，
对A，若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，则，
解得或，故A错误；
对B，若圆关于直线对称，则直线通过圆心，则有，
解得，故B正确；
对C，圆与圆方程作差得，即，
则，解得，
经检验此时圆，满足，
则，故C错误；
对D，若圆上有且仅有两个点到的距离为1，则圆心到直线的距离，即，
即，且，解得，故D正确.
故选：BD．
11. 在直平行六面体中，为棱上的动点，且四点均在球的球面上，则（ ）
A. 平面
B. 存在点，使平面
C. 存在点，使的周长为
D. 球的表面积为
【答案】BD
【解析】
【分析】连接，交于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断A；根据平面平面，即可判断B；将平面与平面沿展平，求出周长的最小值即可判断C；设为的外心，连接，由，求出球心坐标，即可求出球的半径，从而可判断D.
【详解】由题意知直平行六面体的底面为菱形，
且为等边三角形，如图，连接，交于点，则，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，
过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，．
因为，平面，所以与平面不垂直，故A错误；
对于B，连接，
因为且，
所以四边形为平行四边形，所以，
同理，
又平面，平面，
所以平面，平面，
又平面，
所以平面平面，
所以当点与点重合时，平面，故B正确；
将平面与平面沿展平，

可得当三点共线时，最小，且最小值为，
所以周长的最小值为，故C错误；
设为的外心，连接，则底面，
设，则由，得，
解得，
所以球的半径为，
所以球的表面积为，故D正确．

故选：BD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理判断向量共面，可得解.
【详解】由题知，
即
又，，，四点共面，
所以，解得.
故答案为：.
13. 在平面直角坐标系中，点,点P到A与B的距离之和为8，则点P的轨迹为________.
【答案】线段
【解析】
【分析】根据题意可得，即可判断出答案.
【详解】由题意得 ，则P点在线段上，
所以点P的轨迹为线段，
故答案为：线段
14. 已知数列的首项为14，且，则的最小值为_______________.
【答案】10
【解析】
【分析】利用累加法求通项公式，并注意检验首项，然后用基本不等式求最小值，并考虑取等号条件即可.
【详解】当时，由，得，，…，，
将以上各式左右分别相加，
得，
所以，
又满足上式，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立，
即最小值为10.
故答案为：10.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已如空间直角坐标系中，点都在平面内，求实数的值.
【答案】
【解析】
【分析】方法一：根据共面，由平面向量基本定理列方程即可解出；
方法二：先求出平面的一个法向量，再根据即可求出.
【详解】方法一：，
由题意知四点共面，则存在实数，满足：
，，而.
方法二：，
设平面一个法向量为，则，
取，则，
，解得.
16. .①
.②
③
④
观察上面各组数，你能从运算角度发现它们有什么共同的特点吗？
【答案】从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数
【解析】
【分析】观察相邻两项的关系，从而归纳得出结论.
【详解】对于①：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于7；
对于②：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于；
对于③：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于0.5；
对于④：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于2；
综上，它们的共同特点为：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数；
17. 已知点和点是圆直径的两个端点．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点作圆的切线，求切线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据中点坐标公式得出圆心，应用两点间距离得出半径，进而得出圆的方程；
（2）先应用斜率乘积为得出斜率，再点斜式得出切线方程.
【小问1详解】
由题意可得的中点，
∴圆心，故半径，
∴圆的标准方程为．
【小问2详解】
∵为圆切线，∴，则，
∵，∴，
∴过点的切线方程为，即切线的方程为．
18. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于
（1）求圆的方程；
（2）当时，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程；
(2) 过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程
【小问1详解】
易知到直线的距离为圆A半径r，
所以，
则圆A方程为
【小问2详解】
过A做,由垂径定理可知，且，
在中由勾股定理易知
当动直线斜率不存在时，设直线的方程为，
经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知，
显然合题意，
当动直线斜率存在时，过点，设方程为：，
由到距离为知得，
代入解之可得，
所以或为所求方程．
19. 如图，在直四棱柱中，中点分别为.

（1）证明：.
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，通过计算，得证；
（2）求出平面和平面的法向量，由法向量所成角的余弦公式求解.
【小问1详解】
在直四棱柱中，因为，所以两两垂直，
又因为，所以，
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系.
因为，所以，
则，
从而，
所以；
【小问2详解】
根据题意，可知平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
所以
易知二面角的正弦值为.

20. 已知椭圆的一个焦点短轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点.
（i）证明：点在以为直径的圆外：
（ii）在上是否存在点使得是等边三角形.若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）存在，或
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的基本性质来确定方程参数；
（2）（i）判断点与圆的位置关系通过向量的数量积来实现；（ii）利用直线与椭圆方程联立得到相关点的坐标关系，再结合等边三角形的性质建立等式求解直线方程.
【小问1详解】
由题意得，所以，
则椭圆的标准方程为，
【小问2详解】
（i）由题意得，，
当直线斜率为0时，此时以为直径的圆的方程为，显然在此圆外；
当直线斜率不为0时，设直线的方程为，
由可得，，
恒成立，
设，
则
故在以为直径的圆外.
（ii）当斜率不存在时，，此时到距离为1，故不存在等边三角形，当斜率为0时，易得不存在等边三角形，
当斜率存在且不为0时，设直线的方程为，
设中点为，又，由（i）得，
，由于在直线上，所以
直线的斜率为，所以.
，
因为是等边三角形，所以，则
解得，即，
故直线的方程为或.