江苏省盐城市盐都区2024-2025学年九年级下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省盐城市盐都区2024-2025学年九年级下学期3月月考 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．关于二次函数的最值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值3B．有最小值3C．有最大值2D．有最小值2
2．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，△A′B′C′是△ABC在以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△ABC的面积与△A′B′C′的面积比是16：9，则OA：OA′为（）
A．4：3B．3：4C．9：16D．16：9
4．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（）
A．B．C．D．
5．如图，已知四边形为矩形，点E在的延长线上，．连接，于点G．若交于点F，，则的长度是（ ）

A．B．C．6D．
6．如图，二次函数（，，为常数，）的图象与x轴交于点，对称轴是直线．下列说法正确的是（ ）
A．
B．若抛物线经过三点，则
C．（为任意实数）
D．
7．如图，在中，，点在的延长线上，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知点在第一象限，且，点在轴上，当为直角三角形时，点的坐标为（ ）
A．，或B．，或
C．，或D．，或
二、填空题（本大题共10小题）
9．如图，△AOB与△COD是位似图形，且OA＝AC，则与的相似比为 ．
10．如果抛物线开口向下，那么a的取值范围是 ．
11．某人装修房屋，打算在客厅铺地板砖，已知客厅长为8米，宽为6米．地板砖的规格为边长50厘米的正方形．在运输和铺地板砖的过程中预计会有1％的损坏．那么他最好应买该种地板砖 块．
12．若将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线所对应的函数解析式为 ．
13．函数y＝（x+1）2﹣9与x轴交点坐标为 ．
14．如图，利用成直角的墙角（墙足够长），用长的栅栏围成一个矩形的小花园，花园的面积与它一边长的函数关系式是 ，面积S的最大值是 ．
15．如图，坡角为的斜坡上有一棵大树（垂直于水平地面），当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上树影的长为30米，则大树的高为 ．

16．如图，根据所给信息，可知的值为 .
17．若，，，当 时，．
18．在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．

三、解答题（本大题共9小题）
19．计算：
20．计算：．
21．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且AQ⊥PQ，△ADQ与△QCP是否相似？并证明你的结论．
22．（1）解方程：
（2）计算：求值：
23．（1）解方程：；
（2）已知反比例函数的图像经过抛物线上的点，求m和k的值．
24．如图，四边形内接于，是的直径，的延长线交经过点B的切线于点E，延长交于点F．
(1)求证：；
(2)已知的半径为9，，，求的长．
25．某校学生开展综合实践活动，测量操场上旗杆的高度，同学们设计了如下两个测量方案：
请你从以上两种方案中任选一种，计算操场上旗杆的高度．
26．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
定理证明：请根据教材内容，结合如图23.4.2，写出证明过程．
定理应用：（1）如图①，是的中位线，M、N分别是的中点，，则______．
（2）如图②，在矩形中，为矩形的对角线，点E在边上，且，点F在边上，，连接，若，M、N分别为的中点，的长度为______，的长度为______．
27．已知二次函数．
(1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)画出此函数的图象．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出该函数最值．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数图象开口向下，对称轴为直线，当时，取得最大值2．
故此题答案为C．
2．【答案】C
【分析】抛物线图象的平移规律：左加右减，上加下减，直接利用规律解题即可．
【详解】解：抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线是
，
故此题答案为C
3．【答案】A
【分析】由相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出位似比，根据位似比等于相似比，即可求解．
【详解】由位似变换的性质可知,△A′B′C′∽△ABC.
∵△ABC与△A′B′C′的面积的比16：9，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为4：3，
∵A′B′∥AB
OA：OA′=A′B′：AB=4：3，
故此题答案为A.
4．【答案】D
【分析】求出对称轴解析式，然后利用二次函数的增减性求解更简便．先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性和开口方向判断即可．
【详解】解：对称轴为直线，
时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，
，且，
故此题答案为D．
5．【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定得出，再由其性质确定，利用矩形的性质及相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
设，
∴，
解得：，负值舍去，
故此题答案为A．
6．【答案】D
【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断即可求解．
【详解】解：A、抛物线开口向下，则，
对称轴在轴的左侧，则，
抛物线交轴的正半轴，则，
，故此选项不符合题意；
B、抛物线开口向下，对称轴是直线，
点中，距离对称轴最近，距离对称轴最远，故，故此选项不符合题意；
C、抛物线开口向下，对称轴是直线，时，函数有最大值，故，即，故此选项不符合题意；
D、对称轴是直线，
，
，
二次函数，，为常数，的图象与轴交于点，
，
，故此选项符合题意；
故此题答案为D．
7．【答案】B
【分析】过点作，根据勾股定理可以求出，是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，再根据余弦的定义可以求出的余弦值．
【详解】解：如下图所示，过点作，
在中，，
，
，，
，
在中，，
．
故此题答案为 B．
8．【答案】C
【分析】由题意可分当时和当时，然后根据题意进行分类求解即可．
【详解】解：由题意得：
当时，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，过点M作MB⊥x轴于点B，如图所示：
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：，
∴当时，则；当时，则，
∴或；
故此题答案为C．
9．【答案】/
【分析】根据位似图形的性质，即可求解．
【详解】解：∵OA＝AC，
∴，
∵△AOB与△COD是位似图形，
∴△AOB∽△COD，
∴与的相似比为．
10．【答案】a＞2
【分析】】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2-a＜0．
【详解】∵抛物线y=（2-a）x2+2开口向下，
∴2-a＜0，即a＞2
11．【答案】194
12．【答案】
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，然后根据平移方式求出平移后的抛物线的顶点坐标，即可求出结论．
【详解】解：，
∴抛物线的顶点坐标为（）
将（）先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标为（）
即平移后的顶点坐标为（）
∴平移后的抛物线解析式为
13．【答案】（﹣4，0），（2，0）．
【分析】令y=0，再解一元二次方程（x+1）2﹣9＝0即可求图象与x轴的交点坐标．
【详解】当y＝0时，（x+1）2﹣9＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2．
所以函数y＝（x+1）2﹣9与x轴交点坐标是（﹣4，0），（2，0）．
14．【答案】 25
【分析】设围成的矩形一边长为，则另一边长为，根据矩形的面积公式即可列出关系式，再利用二次函数的性质即可作答．
【详解】解：设围成的矩形一边长为，则另一边长为，
则；
∵，且，
∴当时，有最大值
15．【答案】米
【分析】过点作，交的延长线于，根据余弦的定义求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于，

则，
米，
米，米，
在中，，
米，
米
16．【答案】
【详解】由题意可得：△ABC∽△A′B′C′，且′=，
故的值为.
17．【答案】
【分析】根据两角对应相等，两三角形相似以及三角形内角和定理求解即可.
【详解】 解：要使△ABC∽△A′B′C′，则∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，根据三角形内角和定理，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(58°＋60°)＝62°，∠C′＝∠C＝62°.
18．【答案】或
【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】由，当时，，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，
①当抛物线经过时，将点，代入，
∴
解得：
②当抛物线经过点时，将点,代入，
∴
解得：
综上所述，或
19．【答案】
【分析】根据实数的运算法则和解三角函数即可得到结果.
【详解】解：原式＝4×+1﹣2+2﹣，
＝2+1﹣2+2﹣，
＝3﹣．
20．【答案】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【详解】解：
．
21．【答案】相似，见解析
【分析】在所要求证的两个三角形中，已知的等量条件为：∠D＝∠C＝90°，若证明两三角形相似，再得出∠DAQ＝∠PQC即可．
【详解】解：相似，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠DAQ+∠AQD＝90°
∵AQ⊥PQ，
∴∠AQP＝90°，
∴∠AQD+∠PQC＝90°，
∴∠DAQ＝∠PQC，
∴△ADQ∽△QCP．
22．【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据一元二次方程的解法-配方法即可求出答案．
（2）根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．
【详解】（1）∵，
（2）原式
23．【答案】（1）；（2），
【分析】（1）先整理．利用因式分解法解答，即可求解；
（2）将代入，可得P点的坐标为，再代入，即可求解．
【详解】（1）解：
去括号得：
移项，得：，
即
所以或
所以．
（2）解：将代入得：，
所以P点的坐标为，
将代入得：．
24．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用切线的性质得到，利用圆内接四边形的性质求得，再根据等角的补角相等得到，据此即可得解；
（2）连接，证明，利用相似三角形的性质求得，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴，则．
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接．
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴．
25．【答案】操场上旗杆的高度约为
【分析】方案一：由题意知，，即，计算求解即可；方案二：证明，则，即，计算求解即可．
【详解】解：方案一：
由题意知，，即，
解得，，
∴的高度为；
方案二：
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴的高度为．
26．【答案】定理证明见解析；（1）9；（2）8，4
【分析】定理证明：延长至F，使，则，连接，先证明，则，得到，，则可证得四边形为平行四边形，得到，即可得证；
（1）由是的中位线得到，进一步得到，则，又，证得，则，即可得到答案；
（2）先证明，得到，由得到，由M、N分别为的中点得到是的中位线，则．
【详解】定理证明：延长至F，使，则，连接，
∵点D、E分别是、的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
（1）解：∵是的中位线，
∴，
∵M、N分别是的中点，
∴，
即
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵M、N分别为的中点，
∴是的中位线，
∴
27．【答案】(1)对称轴为直线，顶点；
(2)见解析
【分析】（1）将解析式化为顶点式即可；
（2）令，即，求出两个根即可得出与轴的交点坐标，再结合顶点坐标，画出函数图象．
【详解】（1）解：，
对称轴为直线，顶点；
（2）解：令，
即，
解得：，
即与轴的交点坐标为，
结合顶点，画图如图：
活动目的
测量操场上旗杆的高度
活动方案
方案一：利用阳光下的影子
方案二：利用镜子的反射
示意图


实施过程
①同学站在操场上E点处，测量同学的身高；
②测量同学在操场上的影长；
③在同一时刻，测量旗杆的影长．
①在与旗杆底部位于同一水平面的C点处，放置一面镜子；
②测量镜子到旗杆的距离；
③观测者调整位置，直至通过镜子刚好看到旗杆顶部A；
④测量观测者到镜子的距离；
⑤测量观测者眼睛距离地面的高度．
测量数据
，，
，，