湖北省武汉市汉阳区第三寄宿中学2024-2025学年下学期二月月考九年级 数学试题（含解析）

这是一份湖北省武汉市汉阳区第三寄宿中学2024-2025学年下学期二月月考九年级 数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．2的相反数是（ ）
A．B．C．2D．
2．函数中自变量x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．地的海拔高度是4600米，地的海拔高度是米，则地比地高（ ）
A．4600米B．100米C．4500米D．4700米
4．根式的值是（ ）
A．B．2C．D．16
5．已知是关于的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．B．C．D．
6．长城总长约为6700010米，用科学记数法表示约为（保留两个有效数字）（ ）
A．米B．米C．米D．米
7．如图，点为线段与线段的垂直平分线的交点，，则等于（ ）

A．B．C．D．
8．如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是米，测得斜坡的倾斜角是，则斜坡上相邻两树间的坡面距离约是（ ）（保留一位小数，）
A．米B．米C．米D．米
9．掷一枚骰子，向上的一面数字是2的倍数或3的倍数的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC的长为（ ）
A．B．6C．D．
11．《长江日报》12月26日报道，2008年武汉市建设“两型（环境友好型，资源节约型）”社会共投资48亿元，由四项建设工程组成，即：园林建设投资占；水环境建设投资占；环卫基础建设投资占；城市建设投资占，近几年每年总投资见折线图根据以上信息，下列判断：
（1）2008年总投资的增长率与2006年持平；
（2）2008年园林投资亿；（3）若2009年、2010年总投资的增长率都与2007年相同，预计2010年共投资亿元．其中正确结论的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
12．的外接的半径为，高为，的平分线交于切交的延长线于．结论：①；②；③；④，其中正确（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①②④
二、填空题（本大题共4小题）
13．一组数据2，3，5，6，8，x（其中x最大）的平均数与中位数相等，则x为 ．
14．如图，依次连接一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去，则第n个正方形的面积是 ．
15．直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是 ．
16．如图，点都在函数（且）的图象上，点都在轴上，使得都是等边三角形，且点的坐标为，则 ．
三、解答题（本大题共9小题）
17．解方程：
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，，测得，则河宽与有何数量关系？请说明理由．
20．桌面上放有4张卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外完全相同．把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一张，记下卡片上的数字后仍放反面朝上放回洗匀，乙从中任意抽出一张，记下卡片上的数字，然后将这两数相加．
（1）请用列表或画树状图的方法求两数和为5的概率；
（2）若甲与乙按上述方式做游戏，当两数之和为5时，甲胜；反之则乙胜；若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多少分，才能使这个游戏对双方公平？
21．如图，抛物线向右平移1个单位得到抛物线，回答下列问题：

(1)抛物线的顶点坐标__________；
(2)阴影部分的面积__________；
(3)若再将抛物线绕原点旋转得到抛物线，求抛物线的解析式．
22．如图，点是四边形外接圆的圆心，点在上，点在的延长线上，且，于点，交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．
23．某超市销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱45元．市场调查发现：若每箱以60元销售，平均每天可销售40箱，价格每降低1元，平均每天多销售20箱，但销售价不能低于48元，设每箱售价元（为正整数）
(1)写出平均每天销售利润（元）与（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)设某天的利润为1400元，此利润是否为一天的最大利润，最大利润是多少？
(3)请分析回答售价在什么范围商家获得的日利润不低于1040元．
24．已知，以为边在外作等腰，其中．

(1)如图1，以为边也在外作等腰，其中，连接与，交于点．若，则______；
(2)如图2，若，是等边三角形，，，求的长；
(3)如图3，若为锐角，作于，当时，试判断与的数量关系，并证明你的结论．
25．已知抛物线与轴交于，两点，（在的左侧），与轴交于，若，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在一点，过作轴于，以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得解．
【详解】解：2的相反数是，
故此题答案为D．
2．【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵函数要有意义，
∴，
∴，
故此题答案为B．
3．【答案】D
【分析】用A地的高度减去B地的高度，列减法算式计算即可．
【详解】解：米，
则地比地高4700米，
故此题答案为D．
4．【答案】B
【分析】先求出平方，再求算术平方根即可．
【详解】解：，
故此题答案为B．
5．【答案】A
【分析】将代入一元二次方程，求出a的值，再解一元二次方程即可。
【详解】∵是关于的一元二次方程的一个根
∴，解得
∴一元二次方程为，解方程得
故正确答案选A
6．【答案】B
【分析】一般形式为，其中，指数由原整数位数减1；保留几位有效数字，从左边起第一个不为零的数字数够需要的数字，把下一位四舍五入．据此求解即可．
【详解】解：将6700010米用科学记数法表示米，
保留两个有效数字为米，
故此题答案为B
7．【答案】D
【分析】连接，根据垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形性质得出，，根据三角形内角和定理得出，，根据
，求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵点为线段与线段的垂直平分线的交点，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴
．
故此题答案为D．
8．【答案】A
【分析】由题意可知∠ABC=90°，利用30°角的余弦即可求出AB的长．
【详解】∵
∴
∵AC=3米，
∴米，
∵
∴AB=1.5×1.732≈2.6米.
故此题答案为A.
9．【答案】A
【分析】利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数共有种等可能的结果，其中点数是2的倍数或3的倍数的有，共种结果，
∴．
故此题答案为A．
10．【答案】B
【详解】过点O作OF⊥BC于F，
∴BF=CF=BC，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠C=∠ABC==30°，
∵∠C与∠D是对的圆周角，
∴∠D=∠C=30°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABD=60°，
∴∠OBC=∠ABD-∠ABC=30°，
∵AD=6，
∴BD=，
∴OB=BD=，
∴BF=OBcs30°=，
∴BC=6．
故此题答案为B．
11．【答案】C
【详解】解：（1）2008年总投资的增长率是，与2006年总投资的增长率不持平，错误；
（2）2008年园林建设亿，正确；
（3）若2009年，2010年总投资的增长率都与2007年相同，预计2010年共投资亿元，正确；
所以正确的是（2）（3）共2个．
故此题答案为C．
12．【答案】A
【分析】①连接并延长交于点，连接，则，，证明，利用相似比证明结论；②连接，由为的切线可知，由垂径定理可知，故结论成立；③连接，证明，利用相似比证明结论；④过M点分别作，，由角平分线的性质得，而，在和中，分别表示，，再求比即可．
【详解】解：①如图1，连接并延长交于点，连接，
为直径，，又，
，
，而，
，①正确；
②如图，连接，
为的切线，为切点，
，
又∵是的平分线，
∴，
∴是的中点，
，
∴，②正确；
③如图2，连接，，
∵，，
，，而，
∴，
∴，
，即，③正确；
④如图2，过点分别作，，垂足为，，
∵是的平分线，
，
又，
在中，，
在中，，
∴，④正确．
综上，①②③④都是正确的，
故此题答案为A．
13．【答案】9
【分析】首先求得中位数，根据平均数的定义，即可列方程求解．
【详解】解：中位数是：（5+6）＝5.5．
根据题意得：（2+3+5+6+8+x）＝5.5，
解得：x＝9．
14．【答案】
【详解】观察可得，后一个正方形的对角线是前一个正方形的边长，根据正方形的面积等于边长的平方，也可以利用对角线乘积的一半求解，所以后一个正方形的面积等于前一个正方形的面积的一半，依此类推即可求解．
解：第1个正方形的边长是1，所以面积是1，
第2个正方形的对角线是第一个正方形的边长，是1，所以面积是×1×1=，
第3个正方形的对角线是第2个正方形的边长，所以面积是×=，
依此类推，后一个正方形的面积是前一个正方形的面积的一半，
∴第n个正方形的面积是．
15．【答案】1＜x＜2．
【详解】从图上可知，mx+n＜ax2+bx+c，则有x＞1或x＜﹣；
从图上可知，ax2+bx+c＜0，则有﹣1＜x＜2；
所以，不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是1＜x＜2．
16．【答案】
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质以及等边三角形的性质．根据等边三角形的性质得出，，，的长，再利用反比例函数的性质得出即可．
【详解】解：作，轴，，，垂足分别为，，，，假设，
∵、都是等边三角形，且点的坐标为，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴
17．【答案】，．
【分析】方程两边同时加4，然后利用完全平方公式即可得出，然后开平方即可得出答案．
【详解】解：配方得，即，
开方得，
则，．
18．【答案】，1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当时，原式．
19．【答案】
【分析】先根据，得出，再由相似三角形的对应边成比例即可得出与的数量关系．
【详解】解：，，
，
，
，
，
即．
20．【答案】（1）详见解析；（2）4分.
【分析】（1）根据题意用列表法求出答案；
（2）算出甲乙获胜的概率，从而求出乙胜一次的得分.
【详解】（1）列表如下：
由列表可得：P（数字之和为5）＝，
（2）因为P（甲胜）＝，P（乙胜）＝，∴甲胜一次得12分，要使这个游戏对双方公平，乙胜一次得分应为：12÷3＝4分.
21．【答案】(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）根据抛物线的移动规律左加右减可直接得出抛物线的解析式，再根据的解析式求出顶点坐标即可；
（2）根据平移的性质知，阴影部分的面积等于底高，列式计算即可；
（3）先求出二次函数旋转后的开口方向和顶点坐标，从而得出抛物线的解析式．
【详解】（1）解：解：∵抛物线向右平移1个单位得到的抛物线，
∴抛物线的解析式是，顶点坐标为．
故答案为：；
（2）把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积；
故答案为：2；
（3）由题意可得：抛物线的顶点与抛物线的顶点关于原成中心对称．
所以抛物线的顶点坐标为，于是可设抛物线的解析式为：．
由对称性或者抛物线开口大小不变方向改变得，
所以．
22．【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）连接，证即可；可根据圆周角定理、直角三角形及等腰三角形的性质进行证明；
（2）可通过解直角三角形求得的长，证明，求得的长，即可得到的直径；过E作的直径，根据圆周角定理，即可将转化到中，先利用勾股定理求得的长，据此求解即可．
【详解】（1）证明：连接；
∵是的直径，
∴，即；
又∵，且，
∴，
即，而是的半径，
故是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
设，则，
由勾股定理得：；
∵，
∴，
∴，，；
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过E作直径，连接，则；
在中，，，
由勾股定理得：；
∴；
∴．
23．【答案】(1)（，且x为整数）；
(2)当或54时，一天的最大利润为1440元，1400元不是一天的最大利润；
(3)当时，商家获得的日利润不低于1040元．
【分析】（1）根据利润（每箱售价每箱进价）×销售量，列出函数关系式；
（2）用配方法将（1）的函数式变形，利用二次函数的性质求最大利润，并判断；
（3）将代入（1）中的函数关系式求x的值，根据二次函数的开口方向求售价的范围．
【详解】（1）解：
（，且x为整数）；
（2）解：，
∵，且x为整数，
∴当或54时，一天的最大利润为1440元，1400元不是一天的最大利润；
（3）解：当时，，
解得：，，
函数的图象开口向下，与直线的交点为和，
由图象知：当时，商家获得的日利润不低于1040元．
24．【答案】(1)
(2)
(3)，见解析
【分析】（1）证，得出，再根据三角形外角性质求出；
（2）将绕点顺时针旋转得，连接，得到，推出，在中，根据勾股定理求出，即可求出；
（3）过点作于，使，连接，，由推出，过点作于，则四边形为矩形，证明，进而证得，由此推出
【详解】（1）解：，
,
又，，
∴
，
；
（2）将绕点顺时针旋转得，连接

由（1）知，
，，
是等边三角形
，
，
在中，
；
（3）
证明：过点作于，使，连接，
则
，
过点作于，则四边形为矩形
，
，
是的垂直平分线，
在和中
，
∴
，
即
，为锐角，
，
，

25．【答案】(1)
(2)或
(3)存在符合条件的点，且坐标为：，，，，
【分析】（1）根据，可得，将，的坐标代入抛物线解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定抛物线的解析式．
（2）根据小得到的抛物线的解析式，可求得点的坐标，分点在轴上方和在轴下方两种情况，根据相似三角形和轴点的坐标特征即可得点的坐标．
（3）根据，的坐标，可知进而由相似三角形可得或者，可设出点的横坐标根据抛物线的解析式表示出它的纵坐标，然后表示出，的长，从而得出点的坐标．
【详解】（1）解：∵且
∴
∴将代入抛物线及解析式中，
∴可得： ，解得；
∴
故答案为：．
（2）如图：
解：∵，
∴
∴
∴
∵函数解析式为：
∴
∵
∴
∴
∵
∴
当点在轴上方时
∵
∴
∴=
∴=
∴
∵
∴
当点在轴下方时
∵
∴点和点关于轴对称
∴点的坐标为
故答案为：或者．
（3）解：∵
∴
∵
若以，，为顶点的三角形与相似
∴或者
∴或者
设则
如图：
∵当时
∴
若
∴
解得
若
∴
解得
∵且
∴上述四个结果都不符合题意
如图：
∵当时，
∴
若
∴
解得(舍去)
若
∴
解得(舍去)(舍去)
∴，
如图
∵当时，
∴
若
∴
解得（舍去），
若
∴
解得：(舍去)，
故）或者
综上所述符合，存在符合条件的M点，且坐标），，