河北省廊坊市广阳区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河北省廊坊市广阳区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共27页。试卷主要包含了 已知， 如图，，若，则， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分为120分，考试时间为120分钟
注意事项：1.开始答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效．
一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1. 如果一个三角形的两边长为3和6，那么第三边的长有可能是（ ）
A. 7B. 2C. 9D. 不确定
2. 下列运算正确的是（ ）
A B. C. D.
3. 引发秋季传染病的某种病毒的直径是，将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
5. 如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（ ）
A B. C. D.
6. 已知：如图，点是的内心，连接并延长交于点，则下列命题中正确的（ ）
A. 是的平分线B. 是边上的高
C. 是边上的中线D. 是边上的中垂线
7. 如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，，若，则（ ）
A B. C. D.
9. 如图，一棵树在一次强台风中，从离地面处折断，倒下的部分与地面成30°角，如图所示，这棵树在折断前的高度是（ ）

A. B. C. D.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 分式的值为零，则的值为
B. 根据分式的基本性质，等式
C. 把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为
D. 分式是最简分式
11. 小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后，尝试用不同的方法作三角形，则在下列作出的图形中，不一定与全等的是（ ）
A. B. C. D.
12. 甲杯中盛有m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯中倒出a毫升到乙杯里（0＜a＜m），搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时（ ）
A. 甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少
B. 甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多
C. 甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同
D. 甲杯中混入蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定
二、填空题（本大题4个小题，每题3分，共12分）
13. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为______．
14. 如果，则＝___________________．
15. 如图所示，在正方形网格中，的顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是_____．
16. 如图，中，，，，点以每秒1个单位的速度按的路径运动，点以每秒2个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是______．
三、解答题（本大题共8题，共计72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算
（1）
（2）
（3）
18. 分解因式或解分式方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
19. 如图，在五边形中，，，分别平分，，求的度数．
20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格子上）
（1）在图中作出关于直线l对称的（A与，B与，C与对应）；
（2）在直线l对上找一个点P，使最短；
（3）在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积．
21. 如图，四边形，其中，．
（1）求证：；
（2）证明：．
22. 在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
23. 在学习整式乘法这一章时，我们经常利用图形面积得到关于整式乘法或因式分解的等式．
（1）如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为 ；
（2）小明用四个如图3所示的小长方形，拼成如图4所示的大正方形．
①根据图4的图形面积，可以得到的一个等式是 ；
②利用①中的等式，解决问题：若，求一个小长方形的周长．
24. 平面直角坐标系中，点，均在轴上，且点与点关于轴对称，点在轴正半轴上，点在第一象限内，点在射线上，连接，与相于点，．
（1）如图1，若，求和的大小；
（2）如图2，连接，过点作于点．
①求证：平分；
②若，，请直接用含有的式子表示．
广阳区2024－2025学年度第一学期期末质量评价
八年级数学试卷
本试卷满分为120分，考试时间为120分钟
注意事项：1.开始答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效．
一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1. 如果一个三角形的两边长为3和6，那么第三边的长有可能是（ ）
A. 7B. 2C. 9D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，设第三边的长为，根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得出，从而得解．
【详解】解：设第三边的长为，
根据三角形的三边关系可得：，即，
∴第三边的长有可能是7，
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算；根据合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式以及完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3. 引发秋季传染病的某种病毒的直径是，将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
4. 若是完全平方式；是完全平方式，则和值分别是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键在于掌握完全平方公式的结构特征．根据完全平方公式中首末两项是和的平方，中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，可得，进而求出的值，同理求出的值，即可解题．
【详解】解：是完全平方式，
，
解得，
是完全平方式，
，
有，
故选：D．
5. 如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查角平分线的判定与性质．根据题意得到是的角平分线，由角平分线定义求解即可得到的度数．
【详解】解：过点作、，如图所示：
两把一样的直尺，
，
由角平分线的判定定理可得是的角平分线，
，
，
故选：D．
6. 已知：如图，点是的内心，连接并延长交于点，则下列命题中正确的（ ）
A. 是的平分线B. 是边上的高
C. 是边上的中线D. 是边上的中垂线
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内心的定义，根据三角形内心的定义直接判断即可；解答此题的关键是掌握内心的定义．
【详解】解：∵点是的内心，连接并延长交于点，
是的角平分线．
故选：．
7. 如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵从点光源射出的光线射到直线上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，
∴，
∵，
∴，
∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为．
故选：D
8. 如图，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
9. 如图，一棵树在一次强台风中，从离地面处折断，倒下的部分与地面成30°角，如图所示，这棵树在折断前的高度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的实际应用，根据直角三角形中所对直角边等于斜边一半得到，从而得解．
详解】解：标记字母如下图所示：

∵，，
∴，
∴，
即这棵树折断前的高度为．
故选：C
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 分式的值为零，则的值为
B. 根据分式的基本性质，等式
C. 把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为
D. 分式是最简分式
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、分式的值为零，则的值为，选项错误，不符合题意；
B、当时，没有意义，，选项错误，不符合题意；
C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意；
D、分式是最简分式，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查分式值为0的条件，分式的基本性质，最简分式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
11. 小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后，尝试用不同的方法作三角形，则在下列作出的图形中，不一定与全等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；
根据全等三角形的判定对选项进行判定即可求解；
【详解】解：A、如图：
由作图痕迹可得，，，，
，
故A选项正确，不符合题意；
B、如图
由作图痕迹可得，，，，
，
故B选项正确，不符合题意；
C、如图：
由作图痕迹可得，，，，
，
故C选项正确，不符合题意；
D、如图：
由作图痕迹可得，，，，
不能得出与全等，
故D选项不正确，符合题意；
故选：D
12. 甲杯中盛有m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯中倒出a毫升到乙杯里（0＜a＜m），搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时（ ）
A. 甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少
B. 甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多
C. 甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同
D. 甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定
【答案】C
【解析】
【分析】算出第一次倒出溶液后乙杯中相应墨水的比例，进而得到混入相应墨水的质量，比较即可．
【详解】甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：
乙杯中红墨水的比例为，蓝墨水的比例为，
再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：
乙杯中含有的红墨水的数量是a-a•=毫升①
乙杯中减少的蓝墨水的数量是a•=毫升，②
∵①=②
∴故选C．
【点睛】考查了用浓度和溶液表示溶质的等量关系；用到的知识点为：纯墨水的质量=总质量×相应的浓度．
二、填空题（本大题4个小题，每题3分，共12分）
13. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，是解题的关键．根据关于轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，进行求解即可．
【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为
故答案为：．
14 如果，则＝___________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据的关系，可以求出．解答本题不仅要会通分，还要将当做一个整体看待．本题考查了分式的通分．
【详解】解：，
，
．
故答案为．
15. 如图所示，在正方形网格中，的顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，根据到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线交点求解即可．
【详解】解：如图所示，
点在，的垂直平分线上，
故答案为：．
16. 如图，中，，，，点以每秒1个单位的速度按的路径运动，点以每秒2个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的定义、一元一次方程的应用，分类讨论：①当点P在上，点Q在上，②当点P在上，点Q在上，③点P与Q重合在上，根据题意结合全等三角形的性质得出，再分别用t表示出和的长，列出等式，解出即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键．
【详解】（1）当P点在上，点Q在上，如图1，
则，， ，，
∵，
∴ ，
即，
解得：，
即P点运动6秒；
（2）当点P在上，点Q在上，如图2，

则，，
∵，
∴，
即，
解得，
此时不符合题意；
（3）点P与Q重合在上，如图3，

则，，
∴，
即，
解得：，
∴综上可知：或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8题，共计72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）2 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式法，实数的混合计算，分式的混合计算，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键．
（1）根据多项式乘多项式法则计算即可；
（2）先计算零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可；
（3）根据分式的混合计算法则求解即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：

【小问3详解】

18. 分解因式或解分式方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）无解
【解析】
【分析】本题考查了因式分解和解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．注意验根．
（1）直接提公因式即可分解因式；
（2）利用完全平方公式分解因式即可．
（3）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1和检验解分式方程即可；
（4）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1和检验解分式方程即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
【小问3详解】
解：，
方程两边同时乘以，得：，
解得：，
检验：当时，，
所以原分式方程的解为；
【小问4详解】
解：
去分母，得：
去括号，得：
移项，合并同类项，得：
系数化1，得：
检验：当时，，
所以分式方程无解
19. 如图，在五边形中，，，分别平分，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】根据五边形的内角和求出和的和，再根据角平分线及三角形内角和求出的度数．
【详解】解：五边形的内角和等于，，
；
，分别平分，，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式、角平分线的定义等知识点，熟记公式以及整体思想的运用是解答本题的关键．
20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格子上）
（1）在图中作出关于直线l对称的（A与，B与，C与对应）；
（2）在直线l对上找一个点P，使最短；
（3）在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）12
【解析】
【分析】本题考查轴对称作图，利用成轴对称的性质求解：
（1）根据成轴对称的性质，作图即可；
（2）利用成轴对称的性质求解即可．
（3）根据梯形面积公式求解即可；
【小问1详解】
解：如图，是关于直线l的对称图形．
【小问2详解】
解：如图，点P就是求作的点；
，此时最小．
【小问3详解】
解：由图可知，四边形是等腰梯形，，，高，
∴．
21. 如图，四边形，其中，．
（1）求证：；
（2）证明：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；
（1）直接根据证明即可；
（2）根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可证明.
【小问1详解】
证明：在和中
∴（）
【小问2详解】
∵
∴在的垂直平分线上
∵
∴在的垂直平分线上
∴是垂直平分线
∴
22. 在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
【答案】（1）乙队单独完成需90天；（2）在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．
【解析】
【分析】（1）求的是乙的工效，工作时间明显．一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲20天的工作量+甲乙合作24天的工作总量=1．
（2）根据题意，分别求出三种情况的费用，然后把在工期内的情况进行比较即可．
【详解】解：（1）设乙队单独完成需x天．
根据题意，得：．
解这个方程得：x=90．
经检验，x=90是原方程的解．
∴乙队单独完成需90天．
（2）设甲、乙合作完成需y天，则有，
解得，y=36；
①甲单独完成需付工程款为：60×3.5=210（万元）．
②乙单独完成超过计划天数不符题意，
③甲、乙合作完成需付工程款为：36×（3.5+2）=198（万元）．
答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
23. 在学习整式乘法这一章时，我们经常利用图形面积得到关于整式乘法或因式分解的等式．
（1）如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为 ；
（2）小明用四个如图3所示的小长方形，拼成如图4所示的大正方形．
①根据图4的图形面积，可以得到的一个等式是 ；
②利用①中的等式，解决问题：若，求一个小长方形的周长．
【答案】（1）
（2）①②
【解析】
【分析】（1）用代数式，分表表示图1，图2中的面积，即可求解，
（2）①用代数式，分表表示图3，图4中的面积，即可求解，②将，代入求出，根据长方形周长公式，即可求解，
本题考查了平方差公式，解题的关键是：用代数式表示出图形中的面积．
【小问1详解】
解：由图1得：，
由图2得：，
根据面积相等，得到：，
【小问2详解】
解：①由图3得：，
由图4得：，
根据面积相等，得到：，
②∵，，
∴，解得：，
所以小长方形的周长为：．
24. 在平面直角坐标系中，点，均在轴上，且点与点关于轴对称，点在轴正半轴上，点在第一象限内，点在射线上，连接，与相于点，．
（1）如图1，若，求和的大小；
（2）如图2，连接，过点作于点．
①求证：平分；
②若，，请直接用含有的式子表示．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对称的性质得垂直平分，得到，根据等边对等角得，继而得到，根据三线合一性质得，再根据三角形内角和定理得；
（2）①证明得，推出点在的平分线上，即可得证；
②证明得，得到，，再根据，可得结论．
【小问1详解】
解：∵点与点关于轴对称，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，；
【小问2详解】
①证明：过点作于点，
又∵，
∴，
由（1）知：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点在平分线上，
∴平分；
②解：由①知：，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查轴对称的性质，垂直平分线的性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．