河北省石家庄市藁城区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河北省石家庄市藁城区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共25页。
2答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置．
3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
4．答题时，请在答题卡上对应题目的答题区城内答题．
5．考试结束后，请将本试卷和答题卡交回．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A B. C. D.
4. 在图中，（ ）
A. B. C. D.
5. 如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大为原来的2倍B. 扩大为原来的4倍C. 不变D. 不能确定
6. 如图，Rt△ABC的两条直角边AC，BC分别经过正五边形的两个顶点，则∠1＋∠2等于（ ）
A. 126°B. 130°C. 136°D. 140°
7. 已知，则的值为（ ）
A. 6B. 12C. 24D. 36
8. 下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ）．
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，，垂足为点，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，，则的长是（ ）．
A. B. C. D.
11. 记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有尺，则可得方程为根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ）
A. 每尺绫布比每尺罗布贵120文B. 每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C. 每尺绫布和每尺罗布一共需要120文D. 绫布的总价比罗布总价便宜120文
12. 如图，将沿、翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为（ ）
A. 38B. 39C. 40D. 41
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 用科学记数法把0.00000005201表示成，则______．
14. 若，则_____．
15. 如图，是等边三角形，是边上高，，点是边的中点，点是线段上的一个动点，最小值为____．
16. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤））
17. 先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．
18. 计算：
（1）；
（2）．
19. 解方程：
（1）
（2）
20. 如图，已知的三个顶点的坐标分别是，，．
（1）画出与关于轴对称的，并直接写出的坐标；
（2）在轴上有一点，使得，请直接写出点坐标．
21. 下面是某同学对多项式进行因式分解过程：
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号）．
A. 提取公因式 B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式 D. 两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将用所设中的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？______（填“是”或“否”），如果否，直接写出最后的结果______．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
22. 某公司在工程招标时，收到甲、乙两个工程队的投标书，该公司根据投标书提出三种方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成这项工程，要比规定工期多用5天；③甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．
（1）求规定的工期为多少天？
（2）甲工程队每天需支付1.5万，乙工程队每天需支付1万，在保证工程如期完工的前提下，哪种方案施工费用最少？
23. 如图，在和中，，，，、相交于点F，

（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
24. 数学课上，老师提出下列问题：如图，在中，是锐角，于点D，且，，，求的长．小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，过程如下：
证明：如图1，在线段上取一点E，使，连接．
，，
垂直平分，
，（依据1）
．（依据2）
，
．
又，
，
，
，（依据3）
，
．
（1）上述解题过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指的是什么？依据1： ．依据2： ．依据3： ．
（2）看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法：证明：如图2，延长到点E，使，连接．……请根据小亮的思路写出完整的解题步骤．
藁城区2024-2025学年度第一学期期末质量评价
八年级数学试卷
注意事项：1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟．
2答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置．
3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
4．答题时，请在答题卡上对应题目的答题区城内答题．
5．考试结束后，请将本试卷和答题卡交回．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案．
【详解】解：A. 轴对称图形，故选项不符合题意；
B. 是轴对称图形，故选项不符合题意；
C. 是轴对称图形，故选项不符合题意；
D. 不是轴对称图形，故选项符合题意；
故选：．
2. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查因式分解的识别，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【详解】解：A．中等号右边不是积的形式，故A不符合题意；
B．是乘法运算，故B不符合题意；
C．是乘法运算，故C不符合题意；
D．符合因式分解的定义，故D符合题意；
故选D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方逐个判断，即可得出答案．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等知识，熟练掌握这些运算法则是解决问题的关键．
4. 在图中，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查三角形外角的性质，根据三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B
5. 如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大为原来的2倍B. 扩大为原来的4倍C. 不变D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式分式的值不变．
将分式中的都扩大为原来的2倍，得到新的分式化简与原分式比较即可得答案．
【详解】解：分式中的都扩大到原来的2倍，
那么新分式为，
所以分式的值扩大为原来的2倍．
故选：A．
6. 如图，Rt△ABC的两条直角边AC，BC分别经过正五边形的两个顶点，则∠1＋∠2等于（ ）
A. 126°B. 130°C. 136°D. 140°
【答案】A
【解析】
【分析】根据正五边形的特征求出正五边形的一个内角，进一步得到2个内角的和；再根据三角形内角和为180°以及角的和差即可解答．
【详解】解：∵正五边形，
∴每一个内角为：180°-=108°，即：两个内角和为216°，
∴∠1＋∠2=216°-90°=126°．
故选A．
【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角，根据多边形内角和外角的性质求得正五边形的一个内角的度数成为解答本题的关键．
7. 已知，则的值为（ ）
A. 6B. 12C. 24D. 36
【答案】D
【解析】
【分析】把变形为，再代入，利用完全平方公式计算，合并同类项即可求解．
详解】解：∵，
∴，
∴
．
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式的求值，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
8. 下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练根据图形结构进行列等式是正确解答的关键．根据完全平方公式的几何背景，结合面积之间的和差关系进行判断即可．
【详解】解：A中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
B中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
C中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
D中，利用阴影部分的面积可得，故符合题意；
故选：D．
9. 在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键，根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可．
【详解】解：A选项：满足两边对应相等且夹角相等，所以剪下的两个三角形全等；不符合题意；
B选项：满足两边对应相等且夹角相等，所以剪下的两个三角形全等；不符合题意；
C选项：如图，
∵，，
∴，
而，
∴剪下的两个三角形全等；不符合题意；
D选项：如图，
同理可得：，而，
但是不是两个角的夹边相等，两个三角形不一定全等，符合题意；
故选D
10. 如图，在中，，，垂足为点，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，，则的长是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质得出，由，，得到，进而得出，即可求解．
【详解】解：直线恰好垂直平分线段，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选： B．
11. 记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有尺，则可得方程为根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ）
A. 每尺绫布比每尺罗布贵120文B. 每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C. 每尺绫布和每尺罗布一共需要120文D. 绫布的总价比罗布总价便宜120文
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，理解方程的意义是解题的关键．
设绫布有尺，则罗布有尺，再表示每尺绫布和每尺罗布需要的费用，最后根据所列的方程求解即可．
【详解】设绫布有尺，则罗布有尺，
∵绫布和罗布分别出售均能收入896文，
∴每尺绫布的费用为元，每尺罗布的费用为元，
∵，
∴，
∴可以作为补充条件的是：每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．
故选：C．
12. 如图，将沿、翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为（ ）
A. 38B. 39C. 40D. 41
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．连接并延长，设，则，依据三角形外角性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接并延长至，
设，则，
由折叠可得，
，
是的外角，
，
同理可得，，
∵
，
解得，
，
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 用科学记数法把0.00000005201表示成，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
则，
故答案为：．
14. 若，则_____．
【答案】8
【解析】
【分析】此题考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
根据同底数幂的乘法得到，然后得到求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：8．
15. 如图，是等边三角形，是边上的高，，点是边的中点，点是线段上的一个动点，最小值为____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了最短路径问题及等边三角形的性质，理解“两点之间线段最短”是解题的关键．先根据“两点之间线段最短”找到最小值，再根据等边三角形的性质进行求解．
【详解】解：如图，连接，
是等边三角形，是边上的高，
，
B，C关于直线对称，
，
，
是等边三角形，点是边的中点，
，
最小值为4，
故答案为：4．
16. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是．
【详解】解：过作于，
由题意得：，，，
平分，
，
∵，
，
，
，
、在这把直尺上刻度读数分别是2、5，
，
的长度是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤））
17. 先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式
，
且且，
在的范围内可以取整数0，
当时，原式．
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算及整式的混合运算，掌握运算法则和顺序正确计算是解题关键．
（1）先计算乘方，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，然后再计算加减法即可；
（2）先做乘方，然后做乘除，最后做加减；
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式．
19. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）方程无解
（2）
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是解题的关键．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【小问1详解】
解：
方程两边同时乘以得：，
即，
解得：，
经检验，当时，，
故原方程无解；
【小问2详解】
解：
方程两边同时乘以得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
20. 如图，已知的三个顶点的坐标分别是，，．
（1）画出与关于轴对称的，并直接写出的坐标；
（2）在轴上有一点，使得，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）作图见解析，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；
（2）作图见解析，点的坐标为．
【解析】
【分析】（）根据轴对称的性质作图即可，根据图形即可写出的坐标；
（）根据全等三角形的判定可确定点的位置，即可得到答案；
本题考查了作轴对称图形，全等三角形的判定，掌握轴对称图形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，由图可得，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；
【小问2详解】
如图，点的坐标为，点即为所求．
理由：由勾股定理可得，，，
又∵，
∴．
21. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号）．
A. 提取公因式 B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式 D. 两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？______（填“是”或“否”），如果否，直接写出最后的结果______．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）C （2）否；
（3）
【解析】
【分析】本题考查了利用换元法和完全平方公式进行因式分解；
（1）根据两数和的完全平方公式即可得；
（2）根据两数差的完全平方公式即可得．
（3）仿照例题，进行因式分解，即可求解．
【小问1详解】
该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，
故选：C；
【小问2详解】
否，最后结果求解如下：
原式，
，
，
故答案为：否，．
【小问3详解】
解：设
原式
．
22. 某公司在工程招标时，收到甲、乙两个工程队的投标书，该公司根据投标书提出三种方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成这项工程，要比规定工期多用5天；③甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．
（1）求规定的工期为多少天？
（2）甲工程队每天需支付1.5万，乙工程队每天需支付1万，在保证工程如期完工的前提下，哪种方案施工费用最少？
【答案】（1）20天 （2）方案③施工费用最少
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
（1）设这项工程为单位1，规定的工期为x天，根据题意列出方程求解即可；
（2）先求得方案①③所需费用，再比较可得结论．
小问1详解】
解：设这项工程为单位1，规定的工期为x天，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列方程的解，
答：规定的工期为20天；
【小问2详解】
解：由题意和（1）知，甲队单独完成这项工程需20天，乙队单独完成这项工程需25天，故①③方案能够保证工程如期完工，
方案①所需施工费用为（万元），
方案③所需施工费用为（万元），
∵，
∴方案③的施工费用最少．
23. 如图，在和中，，，，、相交于点F，

（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的性质，解决本题的关键是证明．
（1）根据题意利用证明，即可得结论；
（2）根据平行线的性质求出，结合（1）中结论，利用三角形内角和定理计算即可．
【小问1详解】
证明：，
，
，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
．
24. 数学课上，老师提出下列问题：如图，在中，是锐角，于点D，且，，，求的长．小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，过程如下：
证明：如图1，在线段上取一点E，使，连接．
，，
垂直平分，
，（依据1）
．（依据2）
，
．
又，
，
，
，（依据3）
，
．
（1）上述解题过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指的是什么？依据1： ．依据2： ．依据3： ．
（2）看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法：证明：如图2，延长到点E，使，连接．……请根据小亮的思路写出完整的解题步骤．
【答案】（1）垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；在同一三角形中，等边对等角；在同一三角形中，等角对等边
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质．
（1）在线段上取一点E，使，连接，证明垂直平分，推出，利用三角形的外角性质求得，据此求解即可；
（2）延长到点E，使，连接，推出，得到，根据，进一步计算即可求解．
【小问1详解】
证明：在线段上取一点E，使，连接．
，，
垂直平分，
，（垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等）
．（在同一三角形中，等边对等角）
，
．
又，
，
，
，（在同一三角形中，等角对等边）
，
．
故答案为：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；在同一三角形中，等边对等角；在同一三角形中，等角对等边；
【小问2详解】
证明：如图2，延长到点E，使，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，，
垂直平分，
．