江苏省南通市如东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份江苏省南通市如东县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷（原卷版+解析版），共7页。
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0．5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列四个关系式中，是反比例函数的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列条件中，不能解直角三角形的是（ ）
A. 已知两条直角边B. 已知斜边和一条直角边
C. 已知两锐角D. 已知一边与一锐角
4. 若，且，，，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
5. 不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是（ ）
A. 1B. C. D.
6. 已知的半径为5，点在内，且，则经过点的弦的长不可能为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
7. 如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，矩形中，为中点，连接．点为点关于的对称点，连接，，．设，的面积为，则与的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，平面直角坐标系中，点为双曲线上任意一点，将点绕原点顺时针旋转后得到点，点在直线上．若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，为的直径，的弦与弦相交于点，，．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，第11~12小题每小题3分，第13~18小题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11. 若反比例函数的图象经过点，则的值为__________．
12. 已知中，，，，则____________________．
13. 为了估计水塘中的鱼数，老张从鱼塘中捕获100条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放回鱼塘．过一段时间，他再从鱼塘中随机打捞出50条鱼，发现其中10条有记号．则鱼塘中总鱼数大约为__________．
14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程较小的根是____________________．
15. 一个底面直径是80cm，母线长为90cm圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为_______．
16. 如图，矩形的面积为84，双曲线经过矩形的对角线的中点，则的值为____________________．
17. 如图，是内部的一点，且，．若，，则的长为__________．
18. 已知平面直角坐标系中，点为抛物线上一点．当时，点关于轴的对称点始终在直线的上方，则的取值范围是____________________．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算；
（2）如图，，，相交于点．若，，，求的长．
20. 已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5．
（1）如图1，在一定时间段内，，之间电流能够正常通过的概率为___________；
（2）如图2，请用列表或画树状图的方法，求在一定时间段内，，之间电流能够正常通过的概率．
提示：在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能（通电、断开），并且这两种状态的可能性相等．
21. 如图，为的直径，为上一点，弦的延长线与过点的直线互相垂直，垂足为，且，连接．
（1）求证是的切线；
（2）若，，求长．
22. 学校航模小组打算制作模型飞机，设计了如图所示模型飞机的机翼图纸．已知图纸中，均与水平方向垂直，机翼前缘、机翼后缘与水平方向形成的夹角度数分别为，，，点到直线的距离为．求机翼外缘的长度（结果保留根号）．
23. 如图，用一段长为篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，沿这个菜园垂直于墙的一边的长为，与墙平行的边的长为．
（1）求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时围成的矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？
24. 如图，点为正方形内一点，以为边作正方形，顶点恰好落在边上，连接．
（1）求的度数；
（2）若，连接，求长．
25. 已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点．
（1）若将点向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则的值为____________；
（2）在（1）的条件下，若点，均在该函数的图象上，且，求的取值范围；
（3）当时，这个二次函数的最小值为3，求的值．
26. 综合与实践：九年级某学习小组以“角平分线的关联”为主题开展数学探究活动．
【问题探究】
如图①，为的角平分线，求证．
【问题解决】
（1）你认为丙同学的新发现正确吗？若正确，请予以证明；若不正确，请说明理由；
（2）如图②，为的角平分线，垂直平分，垂足为，交的延长线于点，连接．若，，，求的长；
（3）如图③，为的内角平分线，的外角平分线交的延长线于点，且，请直接写出的长．
甲同学的思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点作，交的延长线于点，利用“三角形的相似”可证结论；
乙同学的思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作于点，作于点，利用“等面积法”也可证结论；
丙同学认为甲、乙两位同学的思路均是正确的，同时丙还有新发现：如果交换命题的题设和结论，得到“如图①，为的边上一点，如果，那么是的角平分线”仍为真命题．