江苏南通市如皋市2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题（试卷+解析）

这是一份江苏南通市如皋市2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题（试卷+解析），共38页。
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 的值为（ ）
A. B. C. 1D.
2. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头呈梯台形，形似燕尾．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，直线，直线和被所截，，则的长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
4. 在中，已知点，以原点为位似中心把缩小到原来的，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. 或D. 或
5. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比为，坝高为，则坡面的长度为（ ）
A. B. C. D.
6. 直线与双曲线相交于，两点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 抛物线与轴只有一个交点，则的值为（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
8. 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以实现对的近似估算．如图，的半径为1，则圆的面积为，若将其内接正十二边形的面积作为面积的近似值．据此，可得的估计值为（ ）
A. B. 3.14C. 3.13D. 3
9. 老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，为直径，，为的弦，，连接，．若的半径为，则的面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，11~12每小题3分，13~16每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 已知两个相似三角形相似比为，那么这两个三角形的周长比为________．
12. 如图，开口向上抛物线与轴交于点和，则不等式的解集为______．
13. 已知一塔影长为，若此时物高与影长的比为，则该塔的高度为______．
14. 如图，四边形是的外切四边形，若，则四边形的周长为___________．
15. 如图，在四边形中，，，，则______．
16. 如图，点是函数图像上一点，过点的直线与直线交于点，与轴交于点．当时，点的坐标为______；在点的运动过程中，的最大值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 某工厂加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图．
（1）根据三视图确定此款帐篷可以看作由___________和___________组合而成的几何体（从“圆柱”、“长方体”、“圆锥”、“四棱锥”四个选项中选两项填入）；
（2）请根据图中所给数据（单位：）求每顶帐篷的表面积．
18. 如图，中，是边上的高，且．
（1）求证；
（2）求的大小．
19. 已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若点在此抛物线上，试比较的大小；
（3）平移抛物线可以得到抛物线，请直接写出平移过程．
20. 某校举行青少年国防素养知识竞赛．如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班级竞赛成绩的优秀率（该班优秀人数与该班参加竞赛人数的比值）与该班参加竞赛人数的情况，其中，描述乙、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上．
（1）根据图中信息，求丁班级的优秀率；
（2）学校决定给优秀率最高的班级颁发“卓越先锋奖”，给优秀人数最多的班级颁发“群星闪耀奖”，请结合图象信息确定颁奖结果．
21. 如图，正方形中，，为边上一点，，连接并延长交延长线于点．
（1）求长；
（2）过点作交于点，求的长．
22. 如图，四边形内接于，为的直径，平分，延长至点，使得．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为，求的长．
23. 如图，中，，，，．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
24. 如图，在矩形中，，，过两点．
（1）如图1，过边上的点，若，求此时的半径；
（2）若与边相切，请用无刻度直尺和圆规在图2中确定圆心的位置，并作出（保留作图痕迹，不写作法）；
（3）若与射线的另一交点为，当为等腰三角形时，求此时的半径．
25. 如图，在平面直角坐标系中，以为顶点的抛物线经过原点，与直线交于点为抛物线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点．
（1）求点的坐标；
（2）当时，求的最大值；
（3）过点作轴的垂线交直线于点，当时，长的最大值与最小值的差大于4，求的取值范围．2025~2026学年度第一学期九年级期末学业质量监测
数学试题
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 的值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解．
【详解】∵tan45°=1，
所以C选项正确．
故选：C．
本题属于容易题，主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
2. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头呈梯台形，形似燕尾．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图的识别，解决本题的关键是掌握主视图是从前向后观察得到．
根据该几何体的主视图观察并分析选项即可．
【详解】解：该几何体的主视图是
．
故选：A ．
3. 如图，直线，直线和被所截，，则的长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，结合图形得到相应比例求解，是解决问题的关键．
根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，解得，
故选：B．
4. 在中，已知点，以原点为位似中心把缩小到原来的，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了位似变换的坐标规律，掌握以原点为位似中心，相似比为时，位似图形对应点的坐标比为或是解题的关键．
根据位似变换的性质计算，判断即可．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，把缩小到原来的，即相似比为，
又∵点A的坐标为，
∴点A的对应点的坐标为或，即或．
故选：D．
5. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比为，坝高为，则坡面的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．根据坡度的概念求出，根据勾股定理求出．
【详解】解：∵河坝横断面迎水坡坡比为，坝高为，
∴，即，
解得，，
由勾股定理得：，
故选：C．
6. 直线与双曲线相交于，两点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，联立方程组、正确计算是解题的关键．先求出反比例函数解析式，再联立两个函数的方程求解交点坐标即可.
【详解】解：∵点在双曲线上，
∴将，代入得，
解得，
∴双曲线的解析式为，
联立两个函数的方程：，
消去，得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标为．
故答案为：A．
7. 抛物线与轴只有一个交点，则的值为（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题，根据抛物线与轴只有一个交点，得到抛物线的顶点在轴上，即可得出结果．
【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点，
∴抛物线的顶点在轴上，
∴；
故选C．
8. 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以实现对的近似估算．如图，的半径为1，则圆的面积为，若将其内接正十二边形的面积作为面积的近似值．据此，可得的估计值为（ ）
A. B. 3.14C. 3.13D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质．根据正十二边形的性质求出中心角的度数，再根据直角三角形的边角关系求出，进而求出的面积，求出正十二边形的面积即是圆的面积即可．
【详解】解：如图，设是正十二边形的一边，过点A作，垂足为M，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴正十二边形的面积为，
即的面积为3，
此时．
故选：D．
9. 老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，将，，代入得，进而求出解析式，结合二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，把，，代入得，
，解得：，
∴，
∵,
∴ 当时，P有最大值为，
∴最佳的洒水量，
故选：．
10. 如图，为的直径，，为的弦，，连接，．若的半径为，则的面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆的有关性质，三角形中线的性质，连接，设与交于点，证明，所以，又为中点，则有，然后求得，所以，故，则要使的面积有最大值，可以使的面积有最大值，所以当时，的面积有最大值，再由三角形面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，设与交于点，
∵，，，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
要使的面积有最大值，可以使的面积有最大值，所以当时，的面积有最大值，如图，
∴，
∴的面积的最大值为，
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，11~12每小题3分，13~16每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 已知两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的周长比为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长之比等于相似比的平方进行求解即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，
∴这两个三角形的周长比为，
故答案为：．
12. 如图，开口向上的抛物线与轴交于点和，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，由抛物线与轴交点知方程根为和，且抛物线开口向上，故不等式解集为两根之间，掌握二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
【详解】解：∵开口向上的抛物线与轴交于点和，
∴方程的根为，，
∴当时，，即，
∴不等式解集为，
故答案为：．
13. 已知一塔影长为，若此时物高与影长的比为，则该塔的高度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据物高与影长的比值为，利用比例关系直接计算塔高，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设塔高为米，由题意得，
解得，
故答案为：．
14. 如图，四边形是的外切四边形，若，则四边形的周长为___________．
【答案】48
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．
根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：如图，设与边的切点分别为E，F，G，H，
∵四边形是的外切四边形，
∴，
∴
∴，
∴四边形的周长为
．
故答案为：48．
15. 如图，在四边形中，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆的有关概念，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，通过，可得点四点共圆，所以，由，设，则，所以，得，再证明，所以，故有，从而求得，，所以，，代入，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴点四点共圆，如图，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，点是函数图像上一点，过点的直线与直线交于点，与轴交于点．当时，点的坐标为______；在点的运动过程中，的最大值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设直线与，轴分别交于点，连接，直线与轴交于点，求出，同理可得，所以，则，从而可得垂直平分，所以，得点的横坐标与横坐标相同，且为，又点在函数图像上，然后代入即可求出的坐标；分别过作轴于点，轴于点，设，则，联立，得到，则，证明，得，故有，要使最大，则需最小，当时，有最小值，此时有最大值，然后代入即可求解．
【详解】解：如图，设直线与，轴分别交于点，连接，直线与轴交于点，
由可得，当时，；当时，，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴点的横坐标与横坐标相同，且为，
∵点在函数图像上，
∴；
如图，分别过作轴于点，轴于点，
设，则，
∵点图像上，
∴，
∴，
∴，
联立，解得，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴要使最大，则需最小，
∴当时，有最小值，此时有最大值，
∴，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：，．
本题考查了反比例函数、一次函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，垂直平分线的性质等知识，利用数形结合的思想是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 某工厂加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图．
（1）根据三视图确定此款帐篷可以看作由___________和___________组合而成的几何体（从“圆柱”、“长方体”、“圆锥”、“四棱锥”四个选项中选两项填入）；
（2）请根据图中所给数据（单位：）求每顶帐篷表面积．
【答案】（1）圆柱，圆锥；
（2）每顶帐篷的表面积为．
【解析】
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，圆锥的侧面积，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据三视图即可判断几何体；
（）根据三视图得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，圆柱的高为，然后分别求出圆锥的侧面积，圆柱的侧面积，最后相加即可．
【小问1详解】
解：根据三视图确定此款帐篷可以看作由圆柱和圆锥组合而成的几何体，
故答案为：圆柱，圆锥；
【小问2详解】
解：根据三视图得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，圆柱的高为，
∴圆锥的侧面积，圆柱的侧面积，
∴每顶帐篷的表面积，
答：每顶帐篷的表面积为．
18. 如图，中，是边上的高，且．
（1）求证；
（2）求的大小．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．
（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明；
（2）由（1）知，然后根据相似三角形的对应角相等可得：，然后由，可得：，即．
【小问1详解】
证明：∵是边上的高，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
即．
19. 已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若点在此抛物线上，试比较的大小；
（3）平移抛物线可以得到抛物线，请直接写出平移过程．
【答案】（1）
（2）
（3）先向右平移1个单位，再向上平移1个单位
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）将一般式化为顶点式，即可得出结果；
（2）根据二次函数的增减性进行判断即可；
（3）根据平移前后的解析式，判断平移过程即可．
【小问1详解】
解：，
∴抛物线的顶点坐标为；
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向上，
∴当时，随着的增大而增大，
∵点在此抛物线上，，
∴；
【小问3详解】
解：∵抛物线平移后得到抛物线，
∴新的抛物线是由原抛物线先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到．
20. 某校举行青少年国防素养知识竞赛．如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班级竞赛成绩的优秀率（该班优秀人数与该班参加竞赛人数的比值）与该班参加竞赛人数的情况，其中，描述乙、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上．
（1）根据图中信息，求丁班级的优秀率；
（2）学校决定给优秀率最高的班级颁发“卓越先锋奖”，给优秀人数最多的班级颁发“群星闪耀奖”，请结合图象信息确定颁奖结果．
【答案】（1）
（2）甲班级颁发“卓越先锋奖”；丙班级颁发“群星闪耀奖”
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数解析式的求解，解决本题的关键是熟练掌握反比例系数的含义．
（1）设出函数解析式，再将点代入函数解析式求解出k的值，将代入求解优秀率即可；
（2）根据函数图象可知，甲的y值最大，由此可得优秀率最高；再由反比例系数的意义判断优秀人数即可．
【小问1详解】
解：设该反比例函数解析式为，
由图象可知，点在函数图象上，
∴，解得，
∴该函数解析式为，
由图象可知，丁班级参加竞赛人数为30人，
∴，
∴丁班级的优秀率为；
【小问2详解】
解：根据图象可知，甲班级的优秀率最高，
∴给甲班级颁发“卓越先锋奖”；
由图象可知，丙位于该函数图象上方，
∴丙所在的函数解析式的反比例系数大于乙、丁所在的函数解析式的反比例系数，
∵优秀率为该班优秀人数与该班参加竞赛人数的比值，
即该班优秀人数即为对应函数的反比例系数，
∴丙班级的优秀人数最多，
∴给丙班级颁发“群星闪耀奖”；
综上，甲班级颁发“卓越先锋奖”；丙班级颁发“群星闪耀奖”．
21. 如图，正方形中，，为边上一点，，连接并延长交的延长线于点．
（1）求的长；
（2）过点作交于点，求长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，正方形的性质．
（1）证明，再利用相似三角形的性质求解即可．
（2）证明，再利用相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵正方形中，，
∴，，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴．
22. 如图，四边形内接于，为的直径，平分，延长至点，使得．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）的长为．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，弧长公式，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）连接，根据为的直径，可得，由角平分线定义可得，然后通过圆周角定理得，，则，再由平行线的判定得出，所以由平行线的性质得，即，最后通过切线的判定即可求证；
（）由为的直径，则，由（）得，，所以通过角度和差得，所以，然后由圆周角定理可得，最后由弧长公式即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵为直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
由（）得，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
23. 如图，中，，，，．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，熟练掌握三角函数的定义，特殊角的三角函数值，是解题的关键．
（1）根据三角函数定义求出，根据特殊角的三角函数值，求出结果即可；
（2）过点A作于点E，根据三角函数求值，得出，从而求出，即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵中，，，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点A作于点E，如图所示：
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24. 如图，在矩形中，，，过两点．
（1）如图1，过边上的点，若，求此时的半径；
（2）若与边相切，请用无刻度直尺和圆规在图2中确定圆心的位置，并作出（保留作图痕迹，不写作法）；
（3）若与射线的另一交点为，当为等腰三角形时，求此时的半径．
【答案】（1）5 （2）见解析
（3）5或或
【解析】
【分析】本题考查了圆的相关知识，包括90度的圆周角所对的弦是直径，垂径定理，圆心的确定，勾股定理解三角形，等腰三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握圆的相关知识并会分类讨论．
（1）90度的圆周角所对的弦是直径，可知是圆的直径，再由勾股定理求解即可；
（2）先画出的垂直平分线，再连接，作出垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心；
（3）分别作图，讨论点F的位置，应用等腰三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：连接，如图1①，
在矩形中，，
∴是的直径，
∵，，
在中，，
∴的直径为10，
∴的半径为5；
【小问2详解】
解：以点D为圆心，大于长度的一半为半径画弧，
再以点C为圆心，相同长度为半径画弧，两弧相交于点E，点F，
连接交于点P，再连接，
以点P为圆心，大于长度的一半为半径画弧，
再以点D为圆心，相同长度为半径画弧，两弧相交于点M，点N，
连接交于点O，
则如图2①所示，
【小问3详解】
解：连接，
过点O作，过点O作，如图3①，
设的半径为r，
∵为等腰三角形
则，
在矩形中，，，
∴，
∵，，
由垂径定理可得，，
在中，，
即，整理可得，
即，解得，，
∵半径，
∴，
∴当为等腰三角形时，此时的半径为5；
连接，
过点O作，过点O作，如图3②，
同理可得，
设的半径为r，，
∵为等腰三角形
则，
∴，则，
∴，
在中，，
即，同理可得，
即，，
在中，，
即的半径为，
∴当为等腰三角形时，此时的半径为；
连接，
过点O作，过点O作，如图3③，
同理可得，
设的半径为r，
∵为等腰三角形
则，
∴，则，
在中，，
即，整理可得，
即，解得，，
∵半径，
∴，
∴当为等腰三角形时，此时的半径为；
综上，当为等腰三角形时，的半径为5或或．
25. 如图，在平面直角坐标系中，以为顶点的抛物线经过原点，与直线交于点为抛物线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点．
（1）求点的坐标；
（2）当时，求的最大值；
（3）过点作轴的垂线交直线于点，当时，长的最大值与最小值的差大于4，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）最大值为
（3）或．
【解析】
【分析】（1）设抛物线为：，把代入可得抛物线为：，再进一步求解即可．
（2）求解，结合，可得，，，再进一步求解即可．
（3）根据的情况分类画图，结合图形与二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵以为顶点的抛物线经过原点，
∴设抛物线为：，
∴，
解得：，
∴抛物线为：，
当时，
解得：，，
当时，，
∴．
【小问2详解】
解：如图，∵，即，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴当时，的最大值为．
【小问3详解】
解：当，即时，而，
∴，
如图，
∵，
当时，最大，当时，最小，
∴长的最大值与最小值的差为：
，符合题意，
当且，即时，如图，
当时，最大，当时，最小，
∴长的最大值与最小值的差为：
，
当时，最小值为：，
∴符合题意，
当，如图，
此时长的最大值与最小值的差为：，不符合题意，
综上：此时符合题意，
当时，如图，
此时最小值为，
∴长的最大值与最小值的差为：
，
此时，
∴当时，最大值为，不符合题意，
当时，此时，而，如图，
此时最小值为，
∴长的最大值与最小值的差为：
，
而，当时，差最大，最大值为，
∴长的最大值与最小值的差小于，不符合题意，
如图，当时，如图，此时，
此时最小值为，
∴长的最大值与最小值的差为：
，
而，当时，差最大，最大值为，
∴长的最大值与最小值的差小于，不符合题意，
当时，如图，此时，
此时的最小值为，
∴长的最大值与最小值的差为：
，
而，当时，差最大，最大值为，
∴长的最大值与最小值的差大于，符合题意，
当时，如图，
∵，
当时，最大，当时，最小，
∴长的最大值与最小值的差为：
，符合题意，
综上：长的最大值与最小值的差大于时，或．
本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理的应用，一次函数的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．