江苏省南通市如东县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份江苏省南通市如东县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共27页。试卷主要包含了下列图形属于中心对称图形的是，在平面直角坐标系中，点等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省南通市如东县九年级第一学期期中数学试卷
一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．一元二次方程5x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．5，4，1 B．5，4，﹣1 C．5，﹣4，﹣1 D．5，﹣4，1
2．下列图形属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点（5，1）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣5，1） B．（5，﹣1） C．（1，5） D．（﹣5，﹣1）
4．将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2
5．如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（　　）

A．55° B．65° C．75° D．130°
6．用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（　　）
A．（x+1）2＝3 B．（x+1）2＝6 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣1）2＝6
7．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（　　）
A．y＝2 （x+1）2 B．y＝2 （x﹣1）2
C．y＝﹣2 （x+1）2 D．y＝﹣2 （x﹣1）2
8．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝5，∠BAC＝∠D．则AB的长为（　　）

A．5 B．10 C．5 D．10
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为（，1），则下列结论正确的是（　　）

A．ac＞0 B．a+b＝1 C．a+b+c＝0 D．b2﹣4ac＝﹣4a
10．如图，⊙O中，P为优弧上一个动点（不与A，B两点重合），PQ⊥AB，垂足为Q，D是BP的中点，连接DQ．若⊙O的半径为4，则线段DQ的最大值是（　　）

A．4 B．4 C．6 D．8
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．若x＝1是方程x2﹣3x+a＝0的解，则a的值为　 　．
12．如图，P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则⊙O的半径为 　 　．

13．如图，E是正方形ABCD中CD边上一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°至△ABE'的位置．若AD＝6，DE＝2，则CE'＝　 　．

14．写出一个图象开口向上，对称轴在y轴左侧的二次函数的表达式：　 　．
15．某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝　 　（用百分数表示）．
16．某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为9cm，底面圆的半径为3cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角是 　 　度．
17．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为△n，如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，则△8﹣△12＝　 　．

18．已知点A（4m+t﹣1，n），点B（t+3，n）都在关于x的函数y＝﹣x2+mx﹣m2﹣4m+3的图象上，且m≠l，则n的取值范围是 　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字.说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）解方程x2﹣8x＝﹣12；
（2）求抛物线y＝x2+x﹣2与x轴公共点的个数．
20．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，连接BE，以BE为一边作等边三角形BEF，请用直尺在图中连接一条线段，使图中存在经过旋转可完全重合的两个三角形，并说明这两个三角形经过什么样的旋转可重合．

21．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（0，﹣2），B（2，0）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若一次函数y＝mx+n的图象也经过A，B两点，结合图象，直接写出不等式x2+bx+c＜mx+n的解集．

22．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝27分米，求拱门所在圆的半径．

23．嘉嘉进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，嘉嘉某次试投时，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是y＝﹣（x﹣4）2+3．如图，B是该函数图象上的一点．
（1）画出该函数的大致图象；
（2）若铅球推出的距离不小于9m，成绩为优秀．请通过计算，判断嘉嘉此次试投的成绩是否能达到优秀．

24．某汽车4S店销售A，B两种型号的轿车，具体信息如下表：

每辆进价（万元）
每辆售价（万元）
每季度销量（辆）
A
60
x
﹣x+100
B
50
y
﹣2y+150
（注：厂家要求4S店每季度B型轿车的销量是A型轿车销量的2倍．）
根据以上信息解答下列问题：
（1）用含x的代数式表示y；
（2）今年第三季度该4S店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相同（利润不为0），试求x的值；
（3）求该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润．
25．定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．
（1）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形；
（2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦；
（3）已知⊙O的半径为10，AB，CD是⊙O的等垂弦，P为等垂点．若AP＝3BP，求AB的长．


26．已知二次函数y＝mx2﹣4mx+3m（m为常数，且m≠0）．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若m＜0，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，该函数图象的最高点为A，最低点为B，求△AOB的面积（O为原点）；
（3）若（k﹣1，y1），（k，y2），（k+3，y3）三点都在该函数图象上，探究：是否存在实数k，使得y1＜y2＜y3≤﹣m总成立？若存在，试直接写出k的取值范围；若不存在，请说明理由．


参考答案
一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．一元二次方程5x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．5，4，1 B．5，4，﹣1 C．5，﹣4，﹣1 D．5，﹣4，1
【分析】根据一元二次方程的一般形式即可得二次项系数，一次项，常数项．
解：一元二次方程5x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是5、﹣4、﹣1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
2．下列图形属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．在平面直角坐标系中，点（5，1）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣5，1） B．（5，﹣1） C．（1，5） D．（﹣5，﹣1）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可．
解：根据中心对称的性质，可知：点（5，1）关于原点O中心对称的点的坐标为（﹣5，﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．
4．将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2
【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
解：∵抛物线y＝x2向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：y＝x2+3．
故选：A．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质，熟练记忆平移规律是解题关键．
5．如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（　　）

A．55° B．65° C．75° D．130°
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BAC的度数．
解：∵∠BOC＝130°，点A在上，
∴∠BAC＝∠BOC＝＝65°，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6．用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（　　）
A．（x+1）2＝3 B．（x+1）2＝6 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣1）2＝6
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
解：x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
7．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（　　）
A．y＝2 （x+1）2 B．y＝2 （x﹣1）2
C．y＝﹣2 （x+1）2 D．y＝﹣2 （x﹣1）2
【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，然后对各选项进行判断．
解：∵当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线y＝2（x﹣1）2满足条件．
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式．也考查了二次函数的性质．
8．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝5，∠BAC＝∠D．则AB的长为（　　）

A．5 B．10 C．5 D．10
【分析】根据圆周角定理得出∠D＝∠B，进而得出△ABC是等腰直角三角形，进而解答即可．
解：∵AC＝AC，
∴∠D＝∠B，
∵∠BAC＝∠D，
∴∠B＝∠BAC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB是直径，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC＝5，
∴AB＝5，
故选：C．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理得出∠D＝∠B解答．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为（，1），则下列结论正确的是（　　）

A．ac＞0 B．a+b＝1 C．a+b+c＝0 D．b2﹣4ac＝﹣4a
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况和二次函数的最值进行推理即可．
解：∵抛物线开口向下，交y轴的正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，故选项A错误，不合题意；
∵顶点坐标为（，1），
∴对称轴为直线x＝﹣＝，
∴a+b＝0，故选项B错误，不合题意；
∵x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，故选项C错误，不合题意；
∵﹣＝，
∴b＝﹣a，
∵函数的最大值为1，
∴＝1，
∴b2﹣4ac＝﹣4a，故选项D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．
10．如图，⊙O中，P为优弧上一个动点（不与A，B两点重合），PQ⊥AB，垂足为Q，D是BP的中点，连接DQ．若⊙O的半径为4，则线段DQ的最大值是（　　）

A．4 B．4 C．6 D．8
【分析】根据直角三角形斜边上的中线，得出DQ＝PB，当PB为直径时，PB最大，解答即可．
解：∵PQ⊥AB，垂足为Q，D是BP的中点，
∴DQ＝PB，
当PB为直径时，PB最大，
∵⊙O的半径为4，
当PB＝8时，DQ＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．若x＝1是方程x2﹣3x+a＝0的解，则a的值为　2　．
【分析】将x＝1代入题目中的方程，即可求得a的值，本题得以解决．
解：∵x＝1是方程x2﹣3x+a＝0的解，
∴12﹣3×1+a＝0，
解得，a＝2，
故答案为：2．
【点评】题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出a的值．
12．如图，P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则⊙O的半径为 　5　．

【分析】根据切线的性质得到∠OTP＝90°，根据含30度角的直角三角形的性质得到OT的值，根据勾股定理即可求解．
解：如图，∵PT与⊙O相切于点T，
∴∠OTP＝90°，
又∵OP＝10，∠OPT＝30°，
∴OT＝OP＝×10＝5，
∴PT＝＝＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
13．如图，E是正方形ABCD中CD边上一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°至△ABE'的位置．若AD＝6，DE＝2，则CE'＝　8　．

【分析】由旋转的性质可得BE'＝DE＝1，∠D＝∠ABE'＝90°，从而可知C，B，E'共线，即可得答案．
解：∵四边形ABCD是正方形，AD＝6，
∴BC＝6，∠D＝90°＝∠ABC，
∵把△ADE顺时针旋转90°得△ABE'，
∴BE'＝DE＝2，∠D＝∠ABE'＝90°，
∵∠ABE'+∠ABC＝180°，
∴B，C，E'三点共线，
∴CE'＝BE'+BC＝2+6＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查正方形中的旋转问题，掌握旋转的性质是解题的关键．
14．写出一个图象开口向上，对称轴在y轴左侧的二次函数的表达式：　y＝x2+2x（答案不唯一）　．
【分析】抛物线开口向上，二次项系数为正，对称轴在y轴的左侧，选择顶点的横坐标为负数即可．
解：依题意写出抛物线的顶点式：y＝（x+1）2﹣1，即y＝x2+2x．
故答案为：y＝x2+2x（答案不唯一）．
【点评】本题是结论开放型题型，考查了二次函数的性质，通过开口方向，对称轴的位置反映的数量关系写二次函数解析式．
15．某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝　30%　（用百分数表示）．
【分析】设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），利用2019年的新注册用户数为100万×（1+平均增长率）2＝2021年的新注册用户数为169万，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），
依题意得：100（1+x）2＝169，
解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
0.3＝30%，
∴新注册用户数的年平均增长率为30%．
故答案为：30%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为9cm，底面圆的半径为3cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角是 　120　度．
【分析】根据题意可知，圆锥的底面圆的周长＝扇形的弧长，即可列出相应的方程，然后求解即可．
解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是n°，
2π×3＝，
解得n＝120，
即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是120°，
故答案为：120．
【点评】本题考查圆锥的计算、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确圆锥的底面圆的周长＝扇形的弧长．
17．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为△n，如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，则△8﹣△12＝　3﹣2　．

【分析】由题意△8﹣△12＝（S圆﹣S八边形）﹣（S圆﹣S十二边形）＝S十二边形﹣S八边形，由此计算即可．
解：如图，由题意，△8﹣△12＝（S圆﹣S八边形）﹣（S圆﹣S十二边形）
＝S十二边形﹣S八边形
＝12××1×1×sin30°﹣8××1×1×sin45°
＝3﹣2．
故答案为：3﹣2．

【点评】本题考查正多边形和圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．已知点A（4m+t﹣1，n），点B（t+3，n）都在关于x的函数y＝﹣x2+mx﹣m2﹣4m+3的图象上，且m≠l，则n的取值范围是 　n≤3且n≠﹣1　．
【分析】根据抛物线的对称性得到＝﹣，解得t＝﹣1，从而得到B（2，n），代入解析式得到n＝﹣1+2m﹣m2﹣4m+3＝﹣（m+1）2+3，利用二次函数的性质即可求得n≤3，然后根据m≠1，得到n≠﹣1，从而求得n的取值范围是n≤3且n≠﹣1．
解：∵点A（4m+t﹣1，n），点B（t+3，n）都在关于x的函数y＝﹣x2+mx﹣m2﹣4m+3的图象上，
∴＝﹣，
整理得，2m+t+1＝2m，
∴t＝﹣1，
∴B（2，n），
代入y＝﹣x2+mx﹣m2﹣4m+3得，
n＝﹣1+2m﹣m2﹣4m+3＝﹣（m+1）2+3，
∵m＝﹣1，n有最大值3，
∵m≠1，所以n≠﹣1，
∴n的取值范围是n≤3且n≠﹣1．
故答案为：n≤3且n≠﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得t的值从而得到B的坐标为（2，n）是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字.说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）解方程x2﹣8x＝﹣12；
（2）求抛物线y＝x2+x﹣2与x轴公共点的个数．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）根据抛物线与x轴的交点个数与系数的关系，求出Δ＝b2﹣4ac的值，即可判断．
解：（1）x2﹣8x＝﹣12，
x2﹣8x+12＝0，
（x﹣6）（x﹣2）＝0，
∴x﹣6＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝6，x2＝2；
（2）∵抛物线解析式为：y＝x2+x﹣2，
∴a＝1，b＝1，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，抛物线与x轴的交点．熟记抛物线与x轴的交点个数与系数的关系是解决此题的关键．
20．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，连接BE，以BE为一边作等边三角形BEF，请用直尺在图中连接一条线段，使图中存在经过旋转可完全重合的两个三角形，并说明这两个三角形经过什么样的旋转可重合．

【分析】根据△BEF是等边三角形，可得∠EBF＝60°＝∠CBA，EB＝FB，进而得出∠CBE＝∠ABF，再根据AB＝BC，即可得到△BCE≌△BAF，进而得出将△CBE绕点B逆时针旋转60°，可与△ABF重合．
解：如图，连接AF．

将△CBE绕点B逆时针旋转60°，可与△ABF重合．
理由：
∵△BEF是等边三角形，
∴∠EBF＝60°＝∠CBA，EB＝FB，
∴∠CBE＝∠ABF，
又∵AB＝BC，
∴△BCE≌△BAF，
∴将△CBE绕点B逆时针旋转60°，可与△ABF重合．
【点评】本题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的性质的运用，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
21．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（0，﹣2），B（2，0）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若一次函数y＝mx+n的图象也经过A，B两点，结合图象，直接写出不等式x2+bx+c＜mx+n的解集．

【分析】（1）把A、B的坐标代入y＝x2+bx+c，根据待定系数法求得即可；
（2）根据图象即可求得一次函数图象在二次函数图象上方的x的取值范围．
解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣2），B（2，0），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）由图象可知，不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为0＜x＜2．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．
22．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝27分米，求拱门所在圆的半径．

【分析】连接AO，根据垂径定理求得AC＝BC＝9，设圆的半径为x分米，则OA＝OD＝x，OC＝27﹣x，根据勾股定理即可求得x．
解：连接AO，
∵CD过圆心，C为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵AB＝18，C为AB的中点，
∴AC＝BC＝9，
设圆的半径为x分米，则OA＝OD＝x分米，
∵CD＝27，
∴OC＝27﹣x，
在Rt△OAC中，AC2+OC2＝OA2，
∴92+（27﹣x）2＝x2，
∴x＝15（分米），
答：拱门所在圆的半径是15分米．

【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解决问题的关键．
23．嘉嘉进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，嘉嘉某次试投时，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是y＝﹣（x﹣4）2+3．如图，B是该函数图象上的一点．
（1）画出该函数的大致图象；
（2）若铅球推出的距离不小于9m，成绩为优秀．请通过计算，判断嘉嘉此次试投的成绩是否能达到优秀．

【分析】（1）根据题意画出图象即可；
（2）根据题意解方程即可得到结论．
解：（1）函数图象如图所示；

（2）解：令y＝0，得﹣（x﹣4）2+3＝0，
解得x1＝10，x2＝﹣2（C在x轴正半轴，故舍去），
∴抛物线与x轴的坐标为（10，0）．
∴铅球推出的距离为10m，
∵若铅球推出的距离不小于9m，成绩为优秀，
∴嘉嘉此次试投的成绩达到优秀．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
24．某汽车4S店销售A，B两种型号的轿车，具体信息如下表：

每辆进价（万元）
每辆售价（万元）
每季度销量（辆）
A
60
x
﹣x+100
B
50
y
﹣2y+150
（注：厂家要求4S店每季度B型轿车的销量是A型轿车销量的2倍．）
根据以上信息解答下列问题：
（1）用含x的代数式表示y；
（2）今年第三季度该4S店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相同（利润不为0），试求x的值；
（3）求该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润．
【分析】（1）根据4S店每季度B型轿车的销量是A型轿车销量的2倍列出等量关系，化简即可；
（2）根据该4S店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相同列出方程，解方程求出的解满足利润不为0；
（3）设该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的利润为w万元，根据总利润＝销售A，B两种车的利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．
解：（1）根据题意得：﹣2y+150＝2（﹣x+100），
整理得：y＝x﹣25；
（2）根据题意得：（x﹣60）（﹣x+100）＝（y﹣50）（﹣2y+150），
由（1）知，y＝x﹣25，
∴（x﹣60）（﹣x+100）＝（x﹣75）（﹣2x+200），
整理得：x2﹣190x+9000＝0，
解得x1＝90，x2＝100，
∵x＝100时利润为0，
∴x的值为90；
（3）设该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的利润为w万元，
则w＝（x﹣60）（﹣x+100）+（y﹣50）（﹣2y+150）
＝（x﹣60）（﹣x+100）+（x﹣75）（﹣2x+200）
＝﹣3x2+510x﹣21000
＝﹣3（x﹣85）2+675，
∵﹣3＜0，
∴当x＝85时，w有最大值，最大值为675，
答：该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润为675万元．
【点评】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或一元二次方程．
25．定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．
（1）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形；
（2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦；
（3）已知⊙O的半径为10，AB，CD是⊙O的等垂弦，P为等垂点．若AP＝3BP，求AB的长．


【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形ADOE是矩形，根据垂径定理得出OD＝OE，即可判定矩形ADOE是正方形；
（2）连接AC，由圆心角、弦的关系可得AB＝CD，由圆周角定理可得∠BAC＝∠BOC＝45°，∠ACD＝∠AOD＝45°，可证AB⊥CD，可得结论；
（3）分两种情况讨论，过点O作OH⊥AB，作OG⊥CD，可证矩形OHPG为正方形，利用勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：∵AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠A＝∠ADO＝∠AEO＝90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵AB，AC是⊙O的等垂弦，
∴AB＝AC，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD＝OE，
∴矩形ADOE是正方形；
（2）证明：设AB交CD于点E，连接AC，

∵OD⊥OA，OC⊥OB，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°，
∴∠AOB＝∠COD，
∴AB＝CD，
∵∠BAC＝∠BOC＝45°，∠ACD＝∠AOD＝45°，
∴∠BEC＝∠ACB+∠BAC＝90°，
即AB⊥CD，
∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴AB、CD是⊙O的等垂弦；
（3）解：若点P在⊙O内，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，如图，

∵AB、CD是⊙O的等垂弦，
∴AB＝CD，AB⊥CD，
∴四边形OHPG是矩形，
∵OH⊥AB，OG⊥CD，
∴AH＝AB，DG＝CD，∠AHO＝∠DGO＝90°，
∴AH＝DG，
又∵OA＝OD，
∴Rt△AHO≌Rt△DGO（HL），
∴OH＝OG，
∴矩形OHEG为正方形，
∴OH＝HP，
∵AP＝3BP，且AH＝BH，
∴AH＝2BP＝2OH，
在Rt△AOH中，AO2＝AH2+OH2，
即（2OH）2+OH2＝AO2＝100，
解得OH＝2，
∴HP＝2，
∴AB＝4HP＝8；
若点P在⊙O外，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，如图，

同理，AH＝2，则AB＝2AH＝4；
∴AB＝8或4．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
26．已知二次函数y＝mx2﹣4mx+3m（m为常数，且m≠0）．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若m＜0，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，该函数图象的最高点为A，最低点为B，求△AOB的面积（O为原点）；
（3）若（k﹣1，y1），（k，y2），（k+3，y3）三点都在该函数图象上，探究：是否存在实数k，使得y1＜y2＜y3≤﹣m总成立？若存在，试直接写出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）由m＜0可得抛物线开口向下，根据函数最大值为2可得m的值，从而可得点A，B坐标，进而求解．
（3）由y1＜y2＜y3≤﹣m可得抛物线开口向下，根据抛物线对称轴为直线x＝2，结合图象求解．
解：（1）∵y＝mx2﹣4mx+3m＝m（x﹣2）2﹣m，（m为常数，且m≠0），
∴该二次函数图象的顶点坐标（2，﹣m）；
（2）∵m＜0，
∴该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，
∴当x＝2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2．
∴4m﹣8m+3m＝2．
∴m＝﹣2，
∴y＝﹣2x2+8x﹣6，
∴当x＝4时，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6．
∴A（2，2），B（4，﹣6），
设直线AB解析式为y＝kx+b，
将（2，2），（4，﹣6）代入y＝kx+b得，
解得，
∴y＝﹣4x+10，
令0＝﹣4x+10，解得x＝，
∴直线AB与x轴交点C坐标为（，0），
如图，

∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝OC•yA+OC•（﹣yB）＝OC（yA﹣yB）＝×（2+6）＝10．
（3）如图，当（k，y2），（k+3，y3）关于抛物线对称轴对称时，＝2，
解得k＝，

∴抛物线开口向下，即m＞0时，k＜满足题意．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．