新高考数学二轮复习巩固练习23 痛点问题之概率统计经典解答题（2份打包，原卷版+解析版）

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★我们用三条主线将高中数学概率、统计的有关概念串联起来：
一是统计的基本研究过程：收集数据→整理数据→分析数据→统计推断．
二是随机事件的基本研究过程：随机事件→事件概率→基本概型．
三是随机变量的基本研究过程：随机变量→概率分布模型→分布列及数字特征．
【典型例题】
例1．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求a的值；
(2)已知某班共有n人，记这n人生日至少有两人相同的概率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将一年看作365天．
（ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
（ⅱ）估计 SKIPIF 1 < 0 的近似值（精确到0.01）．
参考数值： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
例2．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考期末）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有 SKIPIF 1 < 0 的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知 SKIPIF 1 < 0 ．
①试证明： SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．
例3．（2023·山西·统考一模）假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同.
(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；
(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.
例4．（2023秋·浙江·高三校联考期末）抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：
(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；
(2)取了3次后，取出的一次性筷子的个数（双）的分布列及数学期望；
(3)取了 SKIPIF 1 < 0 ，…）次后，所有一次性筷子刚好全部取出的概率．
例5．（2023·全国·高三专题练习）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各4投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
(2)估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
表中的数据显示， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的回归方程.
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
例6．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为 SKIPIF 1 < 0 的方框表示第 SKIPIF 1 < 0 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第 SKIPIF 1 < 0 场比赛的胜者称为“胜者 SKIPIF 1 < 0 ”，负者称为“负者 SKIPIF 1 < 0 ”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为 SKIPIF 1 < 0 ，而乙､丙､丁相互之间胜负的可能性相同.
(1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
(2)求甲获得冠军的概率；
(3)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.
例7．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量 SKIPIF 1 < 0 （单位：万台）关于 SKIPIF 1 < 0 （年份）的线性回归方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且销量 SKIPIF 1 < 0 的方差为 SKIPIF 1 < 0 ，年份 SKIPIF 1 < 0 的方差为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的相关系数 SKIPIF 1 < 0 ，并据此判断电动汽车销量 SKIPIF 1 < 0 与年份 SKIPIF 1 < 0 的相关性强弱；
(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
依据小概率值 SKIPIF 1 < 0 的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和数学期望.
①参考数据： SKIPIF 1 < 0 ；
②参考公式：（i）线性回归方程： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ；
（ii）相关系数： SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则可判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 线性相关较强.
（iii） SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .附表：
例8．（2023·全国·高三专题练习）近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用 SKIPIF 1 < 0 表示活动推出的天数， SKIPIF 1 < 0 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：
表1：
根据以上数据，绘制了如图1所示的散点图.
参考数据：
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
参考公式：
对于一组数据 SKIPIF 1 < 0 ，其回归直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)根据散点图判断，在推广期内， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次 SKIPIF 1 < 0 关于活动推出天数 SKIPIF 1 < 0 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表1中的数据，求 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
例9．（2023·全国·高三专题练习）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)经计算第（1）问中样本标准差 SKIPIF 1 < 0 的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程 SKIPIF 1 < 0 近似地服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 （用样本平均数 SKIPIF 1 < 0 和标准差 SKIPIF 1 < 0 分别作为 SKIPIF 1 < 0 的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程 SKIPIF 1 < 0 的概率；
（参考数据：若随机变量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0､1､2､3､……､20）移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（第19格），则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是 SKIPIF 1 < 0 ，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第 SKIPIF 1 < 0 格的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，试证明 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到 SKIPIF 1 < 0 万元）.
【过关测试】
1．（2023·高三课时练习）设两名象棋手约定谁先赢 SKIPIF 1 < 0 局，谁便赢得全部奖金a元.已知每局甲赢的概率为p(0(1)规定如果出现无人先赢k局而比赛意外终止的情况，那么甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比进行分配.若a=243，k=4，m=2，n=1， SKIPIF 1 < 0 ，则甲应分得多少奖金？
(2)记事件A为“比赛继续进行下去且乙赢得全部奖金”，试求当k=4，m=2，n=1时比赛继续进行下去且甲赢得全部奖金的概率f(p).规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，请判断当 SKIPIF 1 < 0 时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.
2．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有 SKIPIF 1 < 0 的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有 SKIPIF 1 < 0 的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成）.每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1，技能一和技能二的各次触发均彼此独立：
(1)当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B为“技能一和技能二各触发1次”，求条件概率 SKIPIF 1 < 0
(2)设n是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为 SKIPIF 1 < 0 的概率记为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2023·全国·高三专题练习）现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p（ SKIPIF 1 < 0 ），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必坠段；对子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q（ SKIPIF 1 < 0 ），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁．
(1)在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并说明理由．
4．（2023·全国·高三专题练习）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品 SKIPIF 1 < 0 分为两类不同剂型 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 合格的概率分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，第二次检测时两类试剂 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 合格的概率分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品 SKIPIF 1 < 0 才算合格．
(1)设经过两次检测后两类试剂 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 合格的种类数为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和数学期望；
(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品 SKIPIF 1 < 0 进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为 SKIPIF 1 < 0 且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，若当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
5．（2023·全国·高三专题练习）某中学2022年10月举行了2022“翱翔杯”秋季运动会，其中有“夹球跑”和“定点投篮”两个项目，某班代表队共派出1男（甲同学）2女（乙同学和丙同学）三人参加这两个项目，其中男生单独完成“夹球跑”的概率为0.6，女生单独完成“夹球跑”的概率为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．假设每个同学能否完成“夹球跑”互不影响，记这三名同学能完成“夹球跑”的人数为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明：在的概率分布中， SKIPIF 1 < 0 最大．
(2)对于“定点投篮”项目，比赛规则如下：该代表队先指派一人上场投篮，如果投中，则比赛终止，如果没有投中，则重新指派下一名同学继续投篮，如果三名同学均未投中，比赛也终止．该班代表队的领队了解后发现，甲、乙、丙三名同学投篮命中的概率依次为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，2，3），每位同学能否命中相互独立．请帮领队分析如何安排三名同学的出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小？并给出证明．
6．（2023春·河南郑州·高三郑州四中校考阶段练习）在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于90分为优秀．
(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；
(2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在 SKIPIF 1 < 0 内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望．
7．（2023·全国·高三专题练习）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：
(1)依据 SKIPIF 1 < 0 的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第 SKIPIF 1 < 0 次传球后球在甲手中的概率.
附： SKIPIF 1 < 0
8．（2023·全国·高三专题练习）汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素.我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
(1)统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，利用计算器求y关于x的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；
(2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车.
①若 SKIPIF 1 < 0 ，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人）；
②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，求当w为何值时， SKIPIF 1 < 0 最大.
9．（2023·全国·高三专题练习）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛A部获胜的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求 SKIPIF 1 < 0 ，并求当 SKIPIF 1 < 0 取最大值时p的值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，记一共进行的比赛局数为Y，求 SKIPIF 1 < 0 ．
10．（2023·全国·高三专题练习）学校篮球队30名同学按照1，2，…，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第 SKIPIF 1 < 0 号同学得到球后传给 SKIPIF 1 < 0 号同学的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，传给 SKIPIF 1 < 0 号同学的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，30号同学投篮命中的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，设传球传到第 SKIPIF 1 < 0 号的概率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(3)比较29号和30号投篮命中的概率大小．
11．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）核电站某项具有高辐射危险的工作需要工作人员去完成，每次只派一人，每人只派一次，工作时长不超过15分钟，若某人15分钟内不能完成该工作，则撤出，再派下一人，现有小胡、小邱、小邓三人可派，且他们各自完成工作的概率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .假设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互不相等，且假定三人能否完成工作是相互独立.
(1)任务能被完成的概率是否与三个人被派出的先后顺序有关？试说明理由；
(2)若按某指定顺序派出，这三人各自能完成任务的概率依次为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个排列.
①求所需派出人员数目X的分布列和数学期望 SKIPIF 1 < 0 ；
②假定 SKIPIF 1 < 0 ，为使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，应以怎么样的顺序派出？
12．（2023·全国·高三专题练习）为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：
设从没服用药的动物中任取2只，未患病数为 SKIPIF 1 < 0 ：从服用药物的动物中任取2只，未患病数为 SKIPIF 1 < 0 ，工作人员曾计算过 SKIPIF 1 < 0
(1)求出列联表中数据 SKIPIF 1 < 0 ，y，M，N的值：
(2)求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的均值（期望）并比较大小，请解释所得结论的实际含义：
(3)能够以99%的把握认为药物有效吗？
（参考公式 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
13．（2023·全国·高三专题练习）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人．某省统计了该省其中四所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
(1)已知y与x具有较强的线性相关关系，求：y关于x的线性回归方程 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5万元的补贴．
①若该省大学2022年毕业生人数为8千人，估计该省要发放补贴的总全额：
②若 SKIPIF 1 < 0 大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，该省对小浙、小江两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
参考公式： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
14．（2023·全国·高三专题练习）随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的.切比雪夫在数论､概率论､函数逼近论､积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式：设 SKIPIF 1 < 0 为离散型随机变量，则 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为任意大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量 SKIPIF 1 < 0 的分布未知的情况下，对事件 SKIPIF 1 < 0 的概率作出估计.
(1)证明离散型切比雪夫不等式；
(2)应用以上结论，回答下面问题：已知正整数 SKIPIF 1 < 0 .在一次抽奖游戏中，有 SKIPIF 1 < 0 个不透明的箱子依次编号为 SKIPIF 1 < 0 ，编号为 SKIPIF 1 < 0 的箱子中装有编号为 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 个大小､质地均相同的小球.主持人邀请 SKIPIF 1 < 0 位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为 SKIPIF 1 < 0 的箱子中抽取的小球号码为 SKIPIF 1 < 0 ，并记 SKIPIF 1 < 0 .对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，是否总能保证 SKIPIF 1 < 0 （假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论.
附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 .
15．（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，甲赢的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲赢了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比 SKIPIF 1 < 0 分配奖金.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，则乙应该得多少奖金；
(2)记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率 SKIPIF 1 < 0 ，并判断当 SKIPIF 1 < 0 时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于 SKIPIF 1 < 0 ，则称随机事件为小概率事件）
16．（2023·全国·高三专题练习）某大型养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，从中随机取出 SKIPIF 1 < 0 只鸡，记取到病鸡的只数为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的概率分布及数学期望 SKIPIF 1 < 0
(2)对该养鸡场所有鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡 SKIPIF 1 < 0 方案如下：按每 SKIPIF 1 < 0 只鸡一组分组，并把同组的 SKIPIF 1 < 0 只鸡的血混合在一起化验，若发现有问题，再分别对该组 SKIPIF 1 < 0 只鸡逐只化验 SKIPIF 1 < 0 设每只鸡的化验次数为随机变量 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的数学期望 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围
17．（2023·全国·高三专题练习）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在 SKIPIF 1 < 0 内的概率；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在 SKIPIF 1 < 0 内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用 SKIPIF 1 < 0 表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在 SKIPIF 1 < 0 内的概率，其中 SKIPIF 1 < 0 ，1，2，…，10．当 SKIPIF 1 < 0 最大时，写出k的值．（只需写出结论）
18．（2023·全国·高三专题练习）某学校开展投篮活动，活动规则是：每名选手投篮 SKIPIF 1 < 0 次（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），每次投篮，若投进，则下一次站在三分线处投篮；若没有投进，则下一次站在两分线处投篮．规定每名选手第一次站在两分线处投篮．站在两分线处投进得2分，否则得0分；站在三分线处投进得3分，否则得0分．已知小明站在两分线处投篮投进的概率为0.7，站在三分线处投篮投进的概率为0.5，且每次投篮相互独立．
(1)记小明前2次投篮累计得分为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和数学期望；
(2)记第 SKIPIF 1 < 0 次投篮时，小明站在三分线处投篮的概率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2，…， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的表达式．
19．（2023·全国·高三专题练习）2022年4月23日是第27个“世界读书日”，某校组织“读书使青春展翅，知识让生命飞翔”主题知识竞赛，规定参赛同学每答对一题得2分，答错得1分，不限制答题次数.已知小明能正确回答每题的概率都为 SKIPIF 1 < 0 ，且每次回答问题是相互独立的，记小明得 SKIPIF 1 < 0 分的概率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 .
20．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立. 在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分，获胜者得2分，失败者得1分，每局比赛相互独立. 已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为 SKIPIF 1 < 0 ，获得第四名的概率为 SKIPIF 1 < 0 ；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动（两项活动均只参加一局）的总得分为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列与数学期望；
(2)“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答5道题，在答对的情况下可以持续答题，若第一次答错时，答题结束，积分为0分，只有全部答对5道题可以获得5个积分.某市某部门为了吸引更多职工参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从1阶到 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 阶，规定每轮答题获得5个积分进2阶，没有获得积分进1阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记乙每次获得5个积分的概率互不影响，均为 SKIPIF 1 < 0 ，记乙进到 SKIPIF 1 < 0 阶的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
21．（2023·全国·高三专题练习）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为 SKIPIF 1 < 0 ；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
22．（2023春·重庆·高三统考开学考试）某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m（其中： SKIPIF 1 < 0 ），得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：
(1)根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的 SKIPIF 1 < 0 分位数；
(2)从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和数学期望；
(3)该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润.
收集数据
整理数据
分析数据
统计推断
三种抽样方法：
简单随机抽样
（抽签法、随机法），
系统抽样，
分层抽样．
五种统计图表：
频率分布表，
频率分布直方图，
茎叶图，散点图，
列联表．
两种数字特征：
集中趋势(众数、中位数、平均数)，
离散程度（极差、方差、标准差）．
三种统计推断：
用样本估计总体
（估计思想），
回归分析（拟合思想），
独立性检验（检验思想）．
随机事件
事件概率
基本概型
八种常见事件：
随机事件，基本事件，
等可能事件，并事件，交事件，
互斥事件，对立事件，相互独立事件．
三种常见求法：
用频率估计概率，
利用基本概型的概率公式，
转化为简单事件的概率.
七种概率模型：
古典概型，几何概型，
互斥事件概率，对立事件概率，
条件概率，相互独立事件概率，
独立重复试验概率．
随机变量
概率分布模型
分布列及数字特征
两类随机变量：
离散型随机变量，
连续型随机变量．
四种分布模型：
两点分布，超几何分布，
二项分布，正态分布．
三个问题：
概率分布列，数学期望，方差．
广告投入 SKIPIF 1 < 0 （单位：万元）
1
2
3
4
5
销售收益 SKIPIF 1 < 0 （单位：万元）
2
3
2
7
性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
1
2
3
4
5
6
7
SKIPIF 1 < 0
6
11
21
34
66
101
196
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
62.14
1.54
2535
50.12
3.47
性别
锻炼
不经常
经常
女生
40
60
男生
20
80
SKIPIF 1 < 0
0.010
0.005
0.001
SKIPIF 1 < 0
6.635
7.879
10.828
年份t
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码x（ SKIPIF 1 < 0 ）
1
2
3
4
5
销量y/万辆
10
12
17
20
26
患病
未患病
总计
没服用药
20
30
50
服用药
x
y
50
总计
M
N
100
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
大学
A大学
B大学
C大学
D大学
2022年毕业人数x（千人）
7
6
5
4
2022年考研人数y（千人）
0.5
0.4
0.3
0.2
质量指标值m
150≤m<350
100≤m<150或350≤m≤400
等级
A级
B级