新高考数学一轮复习讲与练第14讲 数列的概念与简单表示法（讲）（2份打包，原卷版+解析版）

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本讲为高考命题热点，分值12-17分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，
选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻辑推理能力与运算求解能力.
考点一 数列的定义与分类
1.数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
考点二 数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.
考点三 数列的通项公式与递推公式
1.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
2.数列的递推公式
如果已知数列的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
考点四 常用结论
1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.
3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.
高频考点一 由数列的递推关系求通项
角度1 累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an
【例1】在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A．659B．661C．663D．665
【答案】D
【分析】由累加法和等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和可求出 SKIPIF 1 < 0 ，代入化简即可求出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D.
角度2 累乘法——形如eq \f(an＋1,an)＝f(n)，求an
【例2】已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则满足 SKIPIF 1 < 0 的n的最大值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】B
【分析】根据数列的递推关系式，运用累乘法计算出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，再根据不等式求解n的最大值.
【详解】根据题意， SKIPIF 1 < 0
化简得， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
运用累乘法计算得 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 符合该式，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以满足条件的n的最大值为5.故选：B.
角度3 构造法——形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求an
【例3】已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，2为公比的等比数列，再根据 SKIPIF 1 < 0 的值求出 SKIPIF 1 < 0 可得答案.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，2为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【方法技巧】
1.由数列的递推关系求通项公式的常用方法
(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.
(2)已知a1(a1≠0)，且eq \f(an,an－1)＝f(n)，可用“累乘法”求an.
2.已知a1且an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0).把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝eq \f(q,1－p)，再利用换元法转化为等比数列求解.
【跟踪训练】
1．已知 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】先由题设求出 SKIPIF 1 < 0 ，再通过构造得 SKIPIF 1 < 0 ，由等比数列的通项公式即可求解.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，2为公比的等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，对任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】利用累加法可求得 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 即可求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，
各式作和得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．504B．1008C．2016D．4032
【答案】D
【分析】根据数列的递推式，变形为 SKIPIF 1 < 0 ，采用累乘法，求得答案.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D.
4．某校为推广篮球运动，成立了篮球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练，从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ＝（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】要想第n次触球者是甲，则第（n-1）次触球的人不能是甲，且第（n-1）次触球的人有 SKIPIF 1 < 0 的概率将球传给甲，有 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，可求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而有 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得 SKIPIF 1 < 0 ，代入可求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】解：要想第n次触球者是甲，则第（n-1）次触球的人不能是甲，且第（n-1）次触球的人有 SKIPIF 1 < 0 的概率将球传给甲，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C.
5．数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】分析可知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，然后分析数列 SKIPIF 1 < 0 的单调性，可得结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，等式两边同时乘以 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且首项和公差都为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 从第二项开始单调递减，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
高频考点二 由an与Sn的关系求通项
【例4】(1)已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据递推公式，结合前n项和与通项的关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，再求解 SKIPIF 1 < 0 即可
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为常数列，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 也成立，故 SKIPIF 1 < 0 .故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
故选：C
(2)已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1023B．1535C．1538D．2047
【答案】B
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 的关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 从第二项起，成等比数列，公比为2，根据等比数列公式即可求解.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 从第二项起，成等比数列，公比为2，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
【方法技巧】
1.由Sn求an的步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.
(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.
2.Sn与an关系问题的解题思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化，
(1)由an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式求解；(2)转化为只含an，an－1(n≥2)的关系式.
【变式训练】
1．在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，则a的值为（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】B
【分析】利用 SKIPIF 1 < 0 成等比数列列方程，化简求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
2．若数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据已知条件，利用 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，利用等比数列前 SKIPIF 1 < 0 项和公式求解即可.
【详解】解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为-2的等比数列，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
高频考点三 数列的性质
【例5】 (1)(2022·成都诊断)设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)(n∈N*).则数列{an}前2 021项的乘积a1a2a3a4…a2 021＝________.
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，则nSn的最小值为( )
A.－3 B.－5
C.－6 D.－9
【答案】(1)2 (2)D
【解析】(1)由a1＝2得a2＝－3，a3＝－eq \f(1,2)，a4＝eq \f(1,3)，a5＝2，…，
显然该数列中的数从a5开始循环，周期是4.
因此a1a2a3a4＝1，且a2 021＝a1＝2.
故a1a2a3a4…a2 020a2 021＝(a1a2a3a4)505·a2 021＝2.
(2)由Sm－1＝－2，Sm＝0，
Sm＋1＝3(m≥2)可知am＝2，am＋1＝3，
设等差数列{an}的公差为d，则d＝1，
因为Sm＝0，所以a1＝－am＝－2，
则an＝n－3，Sn＝eq \f(n（n－5）,2)，nSn＝eq \f(n2（n－5）,2).
设f(x)＝eq \f(x2（x－5）,2)，x>0，f′(x)＝eq \f(3,2)x2－5x，x>0，
所以f(x)的极小值点为x＝eq \f(10,3)，
因为n∈N*，且f(3)＝－9，f(4)＝－8，
所以f(n)min＝－9.即nSn的最小值为－9.
【方法技巧】
1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性.
2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定an与an＋1的大小，常用作差或作商法进行判断.
【变式训练】
1．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是严格增数列，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .则n的最大值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】C
【分析】欲使得n尽可能大，则 SKIPIF 1 < 0 的各项应尽可能小，据此即可求出n的最大值.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，并且 SKIPIF 1 < 0 是严格增数列， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即n的最大值为12；故选：C.
2．在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为______．记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 得对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则正整数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 5
【分析】利用等差数列性质计算出公差，求出通项公式；设 SKIPIF 1 < 0 ，再利用放缩法得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值，列出不等式，求出正整数 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【详解】由题设，得等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴正整数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为5．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ，5
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项
间的大
小关系
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列