新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第18讲 导数与函数的极值、最值（2份，原卷版+解析版）

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1．函数的极值与导数
[提醒] (1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．
(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
考点1 利用导数解决函数的极值问题
[名师点睛]
1.由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点．
2.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值．
[典例]
1．（2022·浙江·高三专题练习）如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（ ）
A．在上是增函数B．当时，取得最小值
C．当时，取得极大值D．在上是增函数，在上是减函数
【答案】D
【解析】根据图象知：
当，时，函数单调递减；
当，时，函数单调递增.
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故选项A不正确，选项D正确；
故当时，取得极小值，选项C不正确；
当时，不是取得最小值，选项B不正确；
故选：D.
2．（2022·江苏江苏·高三期末）已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为（ ）
A．1B．C．D．－1
【答案】A
【解析】由由题意得 ,
故，则 ，
所以，令，
则，，
当或时，；当时，，
故函数在时取得极大值为，
故选：A.
3．（2022·河北·衡水市冀州区第一中学高三期末）已知函数的极小值为a，则a的值为______.
【答案】e
【解析】，
若，则当时，，单调递增，
此时不存在极值，不符合题意，
所以，易知在上单调递增，且当时，，
当时，，所以存在唯一的，使得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以的极小值，
因为，
所以，即，
设，因为，
所以在上单调递减，又，
所以，从而.
故答案为：
4．（2021·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)设函数，讨论在区间上的极值点的个数．
【解】(1)当时，，，
令，解得；令，解得或；
故在单调递减，在单调递增，在单调递减，
故的极小值为，极大值为．
(2)由题可知：，
则
．
要讨论的极值点的个数，令，
先讨论的零点个数，
令，
则，故，
令则.
故在上单调递增，又，
故时，，此时，
则在上单调递减，
又，
，
①当时，无实数解，
在没有实根，
故当时，，当时，
故在上单调递减，在上单调递增，只有一个极值点；
②当时，且时，
此时的实数解为2，且
在单调递增，无极值点；
③当且时，与有一个交点，
有一个实数解，且，
此时有两个不等的实根．
若在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，
此时有2个极值点；
若，则在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，
在上有2个极值点．
综上：当时，在上只有个极值点；
当时，在上没有极值点；
当且时，在上有2个极值点．
[举一反三]
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【解析】由导函数在区间内的图象可知，
函数在内的图象与轴有四个公共点，
在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，
在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，
所以函数在开区间内的极小值点有个，
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．没有极大值
C．时，有极大值D．时，有极小值
【答案】D
【解析】解：如图所示，设函数的图象在原点与之间的交点为．
由图象可知：.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增．
可得：是函数的极小值点，是函数的极大值点，是函数的极小值点．
不是函数的极值点，不一定成立．且由图知，有极大值.
故选：D．
3．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（ ）
A．-1B．2C．-3D．4
【答案】B
【解析】解：，所以
因为函数在处取极小值，所以，所以，，，
令，得或，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以在处有极大值为，解得，所以.
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上无极值，则的取值范围是（ ）
A．（0，5]B．（0，5）
C．（0，）D．（0，]
【答案】A
【解析】由已知条件得，
∵函数在区间上无极值，
∴函数在区间上单调，
∴或在区间上恒成立，
当时，，
∵，∴，在此范围内不成立；
当时，，
∵，∴，即，解得，
则的取值范围是，
故选：.
5．（2021·江苏苏州·高三阶段练习）若函数在区间[0，π)内有且只有两个极值点，则正数ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为在有2个极值点，也即在区间取得一次最大值，一次最小值；
又，则当，，
要使得满足题意，只需，解得.
故选：C.
6．（多选）（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．为函数的单调递增区间B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极小值D．函数在处取得极大值
【答案】ABC
【解析】由题意，函数的导函数的图象可知：
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以函数f(x)单调递减区间为：，，递增区间为，，
且函数在和取得极小值，在取得极大值.
故选：ABC．
7．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的（ ）
A．在时取极小值B．在时取极大值
C．是极小值点D．是极小值点
【答案】AC
【解析】解：由导函数的图像可得，
当时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以在时取极小值，所以A正确，
当时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以是极小值点，所以C正确，
而和，左右两边的导数值同号，所以和不是函数的极值点，所以BD错误，
故选：AC
8．（2022·全国·模拟预测）请写出函数的一个极大值：__________．
【答案】形如即可（答案不唯一）
【解析】解：因为定义域为，且，
令即，解得，
令即，解得
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以在处取得极大值，
所以，，
故答案为：，（答案不唯一）
9．（2022·山东烟台·高三期末）若是函数的极值点，则的极大值为______．
【答案】
【解析】由，得，
因为是函数的极值点，
所以，即，解得，
所以，，
令，则，得，
，和变化情况如下表：
所以当时，函数取得极大值，
故答案为：
10．（2022·天津河西·二模）若函数在处取得极值，则____________．
【答案】
【解析】解：，
因为函数在处取得极值，
所以，，解得，
此时，，
故当时，，单调递减；
当和时，，单调递增；
所以，函数在处取得极小值，满足题意，
所以，
所以
故答案为：
11．（2022·重庆·三模）已知函数在区间内有唯一的极值点，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】函数，由于，
所以，
根据正弦函数的图象，以及在区间内有且只有一个极值点，
所以且，所以．
故的取值范围是.
故答案为：.
12．（2022·湖南常德·一模）设函数的两个极值点为，若，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】解：，
，
因为函数的两个极值点为，
所以为函数的两零点，
恒成立，
，
，
因为，所以，
则或，
解得或，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
13．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，当时，讨论函数在区间上的极值.
【解】当时, ，，的两个零点为0，；
当，即时，在上恒成立，所以无极值；
当，即时，在上，在上，所以在上有极小值为，无极大值；
当，即时，在上恒成立，所以无极值；
综上：当时，在无极值；
当时，在上有极小值为,无极大值.
14．（2022·北京房山·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若在区间（0，e]存在极小值，求a的取值范围.
【解析】(1)当时，，
则，
所以，，
所以曲线在处的切线方程为；
(2)，
令，，
则，
解，得，
与的变化情况如下：
所以函数在区间（0，e]上的最小值为，
方法1：
①当时，.所以恒成立，即恒成立，
所以函数在区间（0，e]上是增函数，无极值，不符合要求，
②当时，因为，，
所以存在，使得
所以函数在区间（1，e）上存在极小值，符合要求，
③当时，因为
所以函数在区间（1，e）上无极值.
取，则
所以存在，使得
易知，为函数在区间（0，1）上的极大值点.
所以函数在区间（0，e）上有极大值，无极小值，不符合要求
综上，实数a的取值范围是.
方法2：
“在区间（0，e]上存在极小值”，当且仅当，解得.
证明如下：
当时，
因为，所以存在，使得
所以函数在区间（1，e）上存在极小值.
所以实数a的取值范围是.
考点2 利用导数求函数的最值
[名师点睛]
求函数f(x)在[a，b]上最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
[典例]
1．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数满足：对，都有，则函数的最小值为（ ）
A．-20B．-16C．-15D．0
【答案】B
【解析】解：因为函数满足：对，都有，
所以，即，
解得，
所以，
则，
，
，
当或时，，
当时，，
所以的最小值为，
故选：B
2．（2022·福建莆田·三模）已知函数的最小值是4．则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】由题，，，所以单调递增，
又，所以，，
故为最小值点，即，解得，
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)讨论函数的极值；
(2)若函数在上的最小值是，求实数的值.
【解】(1)解：由题意，函数的定义域为，可得，
当时，可得，单调递增，此时函数的无极值；
当时，令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值.
综上所述，当时，函数无极值；
当时，函数的极小值为，无极大值.
(2)由（1）知，当时，单调递增，可得，即（舍去）；
当时，函数在上单调递减，上单调递增，
若时，即时，函数在上单调递增，
所以，解得（舍去）
若时，即时，函数在上单调递减，
可得，解得（舍去），
若时，即时，在上单调递减，在上单调递增，
可得，即，解得，
综上可得，实数的值为.
[举一反三]
1．（2022·广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知函数在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-e，2)B．(-e，1-e)C．(1，2)D．
【答案】A
【解析】在区间上单调递增，由题意只需
，
这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也即是最小值．
所以的取值范围是.
故选：A
2．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知函数，，若函数在上的最小值为，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，又，
在上单调递增，
在上存在最小值，，使得，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
…①，
由得：…②，
②①得：，
，，；
①②得：；
又，.
故选：B.
3．（2022·辽宁丹东·一模）设，若函数的最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】若，当时，为增函数，且，不符合题意.
若，最小值为.
若，当时，的最小值为.
当时，，若，则，若，则，在在，在上递增，故的最小值为.
由，
，，设，它在上是增函数，且，
所以的解是．
可得
综上，常数的取值范围为.
故选：B．
4（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（ ）
A．是函数的极值点
B．是函数的最小值点
C．在区间上单调递增
D．在处切线的斜率小于零
【答案】AC
【解析】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞,﹣3）时，，在时，，
∴函数y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上单调递减，在上单调递增，故C正确；
则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故A正确；
∵在上单调递增，∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；
∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确；
故选：AC
5．（2022·浙江·高三专题练习）设，函数若函数的最小值为0，则的取值范围是___________；若函数有4个零点，则的值是___________.
【答案】 ； .
【解析】（1）当时，函数单调递减，所以有，
因此要使的最小值为0，则当时，有解，
即有解，，
所以.
（2）当时，的解为；
当时，有三个解.
若，则至多只有两个解，不符合题意，所以.
所以有，解得.
故答案为：；.
6．（2022·江苏·南京市第一中学三模）已知函数，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】解：因为，令，即，所以，
所以当时，则，
令，则，即在上单调递增，
又，
所以，即在上单调递减；
当时，则，所以在上单调递增，
综上可得在上单调递减，在上单调递增，所以，
故答案为：
7．（2022·湖北·二模）已知函数，若，则的最大值为_________．
【答案】
【解析】由题意，，得，
所以，即，
又，得，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，则，
所以，
令，
则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
故答案为：
8．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）设函数已知，且，若的最小值为，则的值为__________．
【答案】
【解析】解：令，由图象如图所示可知．
因为，则，，得，，所以．
令，则，单调递增，
当时，即时，，在上单调递减，
所以，解得，舍去
当时，即时，单调递增，且，在上单调递减，
在上单调递增，所以，解得．
综上可得．
故答案为：
9．（2022·浙江湖州·高三期末）若函数存在最小值，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为函数，所以，
当时，， ，又，
所以，所以函数在上单调递增，此时无最小值；
当时，则有两个不等实根，
设两个不等实根，
则，
所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减；
所以是函数的极小值点，
又时，，所以，
所以要使得函数存在最小值，则函数的最小值只能为，且，
即，所以，
即，解得，所以.
故答案为：.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；
（2）求函数在区间上的最小值.
【解】（1）∵曲线在点处的切线垂直于直线，
又直线的斜率为1，函数的导数为，
∴，
∴.
（2）∵，
①当时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，
则函数在区间上的最小值为.
②当即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，
则函数在区间上的最小值为.
③当，即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，在区间上，此时函数在区间上单调递增，
则函数在区间上的最小值为.
④当，即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，
则函数在区间上的最小值为.
综上所述，当时，函数在区间上的最小值为，当时，函数在区间上的最小值为.
条件
f′(x0)＝0
x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)