新高考数学一轮复习题型归纳与强化测试专题60 随机事件、频率与概率（2份，原卷版+解析版）

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【考纲要求】
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.
2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
【考点预测】
1.概率与频率
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
2.事件的运算
3.事件的关系
【常用结论】
1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A的对立事件eq \(A,\s\up6(－))所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
2.概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
【方法技巧】
1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.
2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
3.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
4.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.
5.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法比较简便.
二、【题型归类】
【题型一】随机事件
【典例1】（多选）（2021·广东·广东实验中学校考模拟预测）以下四个命题中真命题是（ ）
A．为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40
B．线性回归直线恒过样本点的中心
C．随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为0.1，则在内的概率为0.4
D．概率值为零的事件是不可能事件
【解析】【答案】BC
【分析】根据概率统计相关概念和性质，逐项分析判断即可得解.
【详解】对A，由，所以分段间隔为20，故A错误；
对B，根据线性回归方程的性质可知回归直线恒过样本点的中心，
故B正确度 ；
对C，由正态分布的性质可得正态分布密度曲线关于对称，
故在内取值的概率为，由在内取值的概率为0.1，
所以在内的概率为，由对称性可得故在内的概率为0.4，故C正确；
对D，对于连续型随机变量的情况下，某特定点被取到的概率为零，但是可能发生，
并不是不可能事件，故D错误.
故选：BC.
【典例2】（多选）（2021下·湖南长沙·高一统考期末）下列说法正确的有（ ）
A．对任意的事件A，都有P（A）>0
B．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
C．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0
D．若事件事件B，则
【解析】【答案】BCD
【分析】根据题意，由概率的定义依次分析选项，即可得答案．
【详解】解：对任意的事件A，都有，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故A错误，C正确；
对于，随机事件发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，正确，
对于D，若事件事件B，则，故D正确；
故选：BCD
【典例3】（多选）（2023·浙江·二模）已知为实验的样本空间，随机事件，则（ ）
A．为必然事件，且B．为不可能事件，且
C．若，则为必然事件D．若，则不一定为不可能事件
【解析】【答案】ABD
【分析】根据必然事件和不可能事件的定义，再结合样本空间为有限和无限的情况，判断选项.
【详解】A.当为必然事件，且，故A正确；
B. 为不可能事件，且，故B正确；
C. 若，则不一定为必然事件，若样本空间是区间，但质点落在区间的概率也是1，此时不是必然事件，故C错误；
D. 若，则不一定为不可能事件，若样本空间是区间，但质点落在处的概率为0，但此时不是不可能事件，故D正确.
故选：ABD
【题型二】频率与概率
【典例1】（多选）（2023·河北·统考模拟预测）在新冠疫情防控常态化的背景下，为提高疫情防控意识，某学校举办了一次疫情防控知识竞赛（满分100分），并规定成绩不低于90分为优秀．现该校从高一、高二两个年级分别随机抽取了10名参赛学生的成绩（单位：分），如下表所示：
则下列说法正确的是（ ）
A．高一年级所抽取参赛学生成绩的中位数为91分
B．高二年级所抽取参赛学生成绩的众数为94分
C．两个年级所抽取参赛学生的优秀率相同
D．两个年级所抽取参赛学生的平均成绩相同
【解析】【答案】ABC
【分析】根据中位数、众数和平均数的概念及计算公式，以及频率的计算公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由数据的中位数的概念及计算，可得高一年级所抽取参赛学生成绩的中位数为分，所以A正确；
对于B中，由数据的众数的概念，可得高二年级所抽取参赛学生的成绩中，94出现了2次，其他成绩均只出现1次，所以众数为94分，所以B正确；
对于C中，由表格中的数据，可得高一、高二年级参赛学生中成绩不低于90分的各5人，故他们的优秀率都为，所以C正确；
对于D中，由表格中的数据，可得高一年级所抽取参赛学生的平均成绩为：
分，
高二年级所抽取参赛学生的平均成绩为：
分，所以D错误.
故选：ABC．
【典例2】（多选）（2023·高二课时练习）某中学为了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，从本校所有学生中随机调查了50名男生和50名女生，得到如下列联表：
经计算，则可以推断出（ ）
A．该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为
B．该学校男生比女生更经常锻炼
C．有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
D．有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
【解析】【答案】BC
【分析】根据列联表判断概率估值，判断AB，以及和参考临界值比较，判断CD.
【详解】对选项A：该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为，故A错误；
对选项B：经常体育锻炼的概率的估计值男生为，女生为，故B正确；
对选项C：，故有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，故C正确；
对选项D：,故没有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，故D错误.
故选：BC
【典例3】（多选）（2022·广东·统考三模）一部机器有甲乙丙三个易损零件，在一个生产周期内，每个零件至多会出故障一次，工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如下柱状图，由频率估计概率，在一个生产周期内，以下说法正确的是（ ）
A．至少有一个零件发生故障的概率为0.8
B．有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大
C．乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大
D．已知甲零件发生了故障，此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大
【解析】【答案】AD
【分析】由统计图表得出各概率比较可判断各选项．
【详解】由图可得，在一个生产周期内，机器正常的概率为，则至少有一个零件发生故障的概率为0.8，A正确；
有两个零件发生故障的概率为，只有一个零件发生故障的概率为，则有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更小，B错误；
乙零件发生故障的概率为，甲零件发生故障的概率为，则乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更小，C错误；
由图可知，丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率大，D正确.
故选：AD．
【题型三】生活中的概率
【典例1】（2023·广西柳州·二模）下列说法正确的是（ ）
A．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
B．某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学
C．数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半
D．在回归直线方程，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位
【解析】【答案】D
【分析】由残差图与模拟效果的关系判断A；由大概率事件也不一定发生判断B；第二组数据是由第一组乘以2得到的，可由方差的关系判断C；由回归分析模型的性质以及回归方程b的含义判断D．
【详解】对于A选项：在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故A选项错误；
对于B选项：概率只说明事件发生的可能性，事件不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故B选项错误；
对于C选项：根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，故C选项错误；
对于D选项：在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位，故D选项正确．
故选：D．
【典例2】（2021·湖南湘潭·统考一模）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题：
问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？
问题二：你是否经常吸烟？
调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天计算，且最后盒子中有60个小石子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为（ ）
A．7%B．8%C．9%D．30%
【解析】【答案】C
【分析】根据摸到白球和红球的概率都为，一年365天中，阳历为奇数的有186天，即可估计对应人数
【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中，随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为，因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人，而一年365天中，阳历为奇数的有186天，所以对第一个问题回答“是”的概率为，所以这100个回答第一个问题的学生中，约有51人回答了“是”，从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有9人回答了“是”，所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为9%．
故选：C
【典例3】（2021·全国·模拟预测）甲、乙两人玩掷骰子游戏，规定：甲、乙两人同时掷骰子，若甲掷两次骰子的点数之和小于，则甲得一分；若乙掷两次骰子的点数之和大于，则乙得一分，最先得到10分者获胜.为确保游戏的公平性，正整数的值应为（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】C
【分析】根据对称性可知当乙得一分时的点数之和为时，与甲得一分的概率相等，由此确定.
【详解】对于甲，掷两次骰子的点数之和为时，甲能够得一分，
则由对称性可知，掷两次的骰子的点数之和为分别与掷两次骰子的点数之和为对应的概率相等，
为确保游戏的公平性，需，此时甲乙得分概率相等.
故选：C.
【题型四】事件的关系与运算
【典例1】（2023·广东佛山·统考一模）已知事件A，B，C的概率均不为0，则的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】【答案】D
【分析】根据和事件的概率公式判断A、C，根据积事件的概率公式判断D，根据相互独立事件的概率公式判断B.
【详解】对于A，因为，由，
只能得到，并不能得到，故A错误；
对于B，由于不能确定，，是否相互独立，
若，，相互独立，则，，
则由可得，
故由无法确定，故B错误；
对于C，因为，
，
由，只能得到，
由于不能确定，，是否相互独立，故无法确定，故C错误；
对于D，因为，，
又，所以，故D正确；
故选：D.
【典例2】（2023·上海长宁·统考一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（ ）
A．两个点数都是偶数B．至多有一个点数是偶数
C．两个点数都是奇数D．至多有一个点数是奇数
【解析】【答案】D
【分析】由题意，根据交事件的运算，结合概率与事件的关系，可得答案.
【详解】由题意，事件为：两个点数都为奇数，
由概率指的是事件的对立事件的概率，
则事件的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数.
故选：D.
【典例3】（2022·广西·校联考模拟预测）甲､乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲､乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如下：
则甲､乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（ ）
A．0.44B．0.40C．0.36D．0.32
【解析】【答案】D
【分析】先求出甲购买A种医用口罩和乙购买B种医用口罩的概率，然后利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式求解即可.
【详解】由表可知，甲购买A种医用口罩的概率为0.4，乙购买B种医用口罩的概率为0.4，
所以甲，乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为
.
故选：D.
【题型五】互斥事件
【典例1】（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红､黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
【解析】【答案】C
【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答.
【详解】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是；
对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是；
对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是；
对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是.
故选：C
【典例2】（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知事件满足，，则（ ）
A．若，则
B．若与互斥，则
C．若与相互独立，则
D．若，则与不相互独立
【解析】【答案】B
【分析】根据事件的包含关系，互斥事件的概率加法，以及独立事件的概念及判定，以及概率乘法公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，若，则，所以A错误；
对于B，若与互斥，则，所以B正确；
对于C，若与相互独立，可得与相互独立，
所以，所以C错误；
对于D，由，可得，
所以，所以，所以与相互独立，所以D错误.
故选：B.
【典例3】（2023上·湖南·高三邵阳市第二中学校联考阶段练习）为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】B
【分析】利用事件的相互独立性求解.法一，所求事件转化为互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用对立事件的概率和为，间接法可得.
【详解】设事件“甲猜对”，“乙猜对”，“几何队至少猜对一个成语”，
所以，则.
由题意知，事件相互独立，则与，与，与也相互独立，
法一：，且两两互互斥，
则
.
法二：事件的对立事件“几何队一个成语也没有猜对”，即，
则.
故选：B.
【题型六】对立事件
【典例1】（2023·四川·校联考模拟预测）抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，将向上的点数分别记为，则（ ）
A．的概率为B．能被5整除的概率为
C．为偶数的概率为D．的概率为
【解析】【答案】B
【分析】根据古典概型公式分别计算可以判断A,B选项，结合对立事件的概率公式可以判断C,D选项.
【详解】试验的样本点总数，
对于A，“”包含的样本点有：，共5个，所以，故A错误；
对于B，“能被5整除”包含的样本点有：共7个，所以（能被5整除），故B正确；
对于C，“为偶数”的对立事件为：“为奇数”，“为奇数”等价于“和均为奇数”，所以（为奇数），故（为偶数），故C错误；
对于D，“”的对立事件为“”，事件“”包含“”和“”，易知，又，所以，所以，故D错误.
故选:B.
【典例2】（2023·河南·校联考二模）某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为，乙通过每个阶段比赛的概率均为，丙通过每个阶段比赛的概率均为，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】B
【分析】根据题意可得这支队伍通过每个阶段比赛的概率为，利用相互独立事件的概率计算可得出结果.
【详解】“至少有一人通过”的对立事件为“三人全部未通过”，
则这支队伍通过每个阶段比赛的概率为，
所以他们连续通过初赛和复赛的概率为，即进入决赛的概率为.
故选：B
【典例3】（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测），两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市互不影响，若去甲城市的概率为，去甲城市的概率为，则，不去同一城市上大学的概率为（ ）
A．0.3B．0.56C．0.54D．0.7
【解析】【答案】B
【分析】根据条件得到，分别去乙城市的概率，从而求得，去同一城市上大学的概率，即可得到，不去同一城市上大学的概率.
【详解】由题意知：去甲城市的概率为，去甲城市的概率为，
即去乙城市的概率为0.4，去乙城市的概率为0.8，
所以，去同一城市上大学的概率，
所以则，不去同一城市上大学的概率，
故选：B.
三、【培优训练】
【训练一】（2022下·山西·高一校联考阶段练习）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（ ）
A．A与B不互斥B．A与D互斥但不对立
C．C与D互斥D．A与C相互独立
【解析】【答案】D
【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据的关系判断事件是否独立.
【详解】由，，，即，故A、B互斥，A错误；
由，A、D互斥且对立，B错误；
又，，则，C与D不互斥，C错误；
由，，，
所以，即A与C相互独立，D正确.
故选：D
【训练二】（多选）（2023·全国·模拟预测）已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，则
D．若，则
【解析】【答案】BD
【分析】对于A，由得；对于B，根据互斥事件的概率加法公式即可判断；对于C，根据相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式即可判断；对于D，根据条件概率以及全概率公式即可判断．
【详解】选项A：因为，所以，选项A不正确；
选项B：若，则A，B互斥， 由，
得，选项B正确；
选项C：由得事件A，B相互独立，所以事件也相互独立，所以，
则，选项C不正确；
选项D：由，得，
，所以，
解得，选项D正确．
故选：BD.
【点睛】方法点睛：
条件概率中复杂事件的求解，可以灵活运用条件概率的相关性质，转化为彼此互斥的事件或对立的事件的概率求解．
①已知事件A，B，C，如果B和C是两个互斥事件，则；
②已知事件A，B，则；
③事件A与B相互独立时，有．
【训练三】（多选）（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）已知是两个事件，且，则事件相互独立的充分条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】【答案】BCD
【分析】利用条件概率公式，互斥的性质，相互独立的判断，逐个选项分析.
【详解】若，
则事件没有共同部分，即互斥，
得不出事件相互独立，A错；
由，
得
，
则，
得，
即，
则事件相互独立，B正确；
由，
即，
得，
即，
则事件相互独立，C正确；
由，①
且，②
②式两边平方，并利用①式可得，
，③
结合①③，可得，
，
则，
所以，
,
所以，
即事件相互独立，D正确
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题考查互斥的应用，考查条件概率的性质，考查学生推理能力和运算能力，属于中档题.
【训练四】（多选）（2023·江苏·统考三模）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】【答案】BCD
【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得.
【详解】对于A：，，
所以，故A错误；
对于B：，，∴，
，故B正确；
对于C：，，∴，故C正确.
对于D：，
，∴，∴，
∴，所以D正确.
故选：BCD.
【训练五】（多选）（2022上·湖北荆州·高二校联考期末）疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（ ）
A．B．事件与互斥
C．D．事件与对立
【解析】【答案】BC
【分析】根据有放回的随机取两次结果36种逐个分析判断即可解决.
【详解】由题知，从中有放回的随机取两次，结果有（记为）：
共36种，
若，此时取或
所以，故A错误；
若，则恒成立，
所以与互斥，故B正确；
，故C正确；
当时，，此时事件与均未发生，
所以事件与不对立，故D错误.
故选：BC
【训练六】（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知函数．
(1)若，求a的值；
(2)已知某班共有n人，记这n人生日至少有两人相同的概率为，，将一年看作365天．
（ⅰ）求的表达式；
（ⅱ）估计的近似值（精确到0.01）．
参考数值：，，，．
【解析】【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）求得函数的定义域，判断是的极小值点，求出，继而利用导数知识证明当时，．
（2）求出n人生日都不相同的概率可得n人生日至少有两人相同的概率，利用（1）的结论结合题中所给数据，近似计算，可得答案.
【详解】（1）由题意得，当时，的定义域为；当时，的定义域为，
又，且，所以是的极小值点，故．
而，于是，解得．
下面证明当时，．
当时，，，，
所以当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
所以，即符合题意．
综上，．
（2）（ⅰ）由于n人生日都不相同的概率为，
故n人生日至少有两人相同的概率为．
（ⅱ）由（1）可得当时，，即，当且仅当时取等号，
由（ⅰ）得
．
记，
则
，
即，由参考数值得，
于是，故．
【点睛】难点点睛：解答第二问时，利用对立事件的概率可求得n人生日至少有两人相同的概率为，求其近似值时，难点在于要利用（1）的结论，得到，从而再利用已知数据计算，解决问题.
四、【强化测试】
【单选题】
1. （2021·河南·校联考三模）下列事件中，是随机事件的是（ ）
①明天本市会下雨
②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14
③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上
④13个人中至少有2个人的生日在同一个月
A．①③B．③④C．①④D．②③
【解析】【答案】A
【分析】由随机事件，不可能事件和必然事件的定义判断.
【详解】由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件；
②不可能发生，是不可能事件；
④一定发生，是必然事件.
故选：A
2. （2023·甘肃定西·统考模拟预测）某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级共有600名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加合唱社团的同学有75名，参加脱口秀社团的有125名，则该年级（ ）

A．参加社团的同学的总人数为600
B．参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的15%
C．参加朗诵社团的人数比参加太极拳社团的多120人
D．从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.35
【解析】【答案】D
【分析】A选项，根据参加合唱社团的同学有75名求出参加社团总人数；B选项，先计算出参加脱口秀社团的人数占比，进而得到舞蹈社团的人数占比；C选项，计算出参加两个社团的人数，作差求出答案；D选项，利用，求出答案.
【详解】A选项，，故参加社团的同学的总人数为500，A错误；
B选项，参加脱口秀社团的有125名，故参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，
所以参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的，B错误；
C选项，参加朗诵社团的人数为，参加太极拳社团的人数为，故参加朗诵社团的人数比参加太极拳社团的多人，C错误；
D选项，从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为，即0.35，D正确.
故选：D
3. （2020·河南·统考二模）三国时期，诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，并在大雾的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹.诸葛亮应用的是（ ）
A．动力学方程的知识B．概率与统计的知识
C．气象预报模型的知识D．迷信求助于神灵
【解析】【答案】B
【解析】应用丰富的气象观测经验，预报天气，属于经验预报法，可知诸葛亮应用的是概率与统计的知识.
【详解】诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，
属于气象业务实践中的经验预报法，利用的是概率与统计的知识.
并未应用到动力学方程的知识和气象预报模型的知识.
故选：B.
【点睛】本题考查了天气预报中的概率解释，属于基础题.
4. （2023·河南·校联考二模）设，是两个随机事件，且发生必定发生，，，给出下列各式，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】【答案】C
【分析】由题设知，即，，结合条件概率公式判断各项正误.
【详解】由，是两个随机事件，且发生必定发生，知：，即，，
所以，，，A、B、D错，C对；
故选：C
5. （2023·全国·模拟预测）某中学运动会上有一个项目的比赛规则是：比赛分两个阶段，第一阶段，比赛双方各出5人，一对一进行比赛，共进行5局比赛，每局比赛获胜的一方得1分，负方得0分；第二阶段，比赛双方各出4人，二对二进行比赛，共进行2局比赛，每局比赛获胜的一方得2分，负方得0分．先得到5分及以上的一方裁定为本次比赛的获胜方，比赛结束．若甲、乙两个班进行比赛，在第一阶段比赛中，每局比赛双方获胜的概率都是，在第二阶段比赛中，每局比赛甲班获胜的概率都是，每局比赛的结果互不影响，则甲班经过7局比赛获胜的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】A
【分析】可分类分别求出甲班在第一阶段获胜的局数对应的概率，最后各种情况概率相加即可求解.
【详解】按照甲班在第一阶段获胜的局数，分类讨论如下：
（1）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．
（2）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．
（3）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．
（4）若甲班在第一阶段获胜的局数为，则甲班经过局比赛获胜的概率．
所以所求概率，故A项正确.
故选：A.
6. （2023·江西鹰潭·统考一模）斐波那契数列因数学家莱昂纳多•斐波那契（LenarddaFibnaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.因n趋向于无穷大时，无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，，若从该数列前10项中随机抽取2项，则抽取的2项至少有1项是奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】D
【分析】利用列举法，结合古典概型的概率公式以及对立事件的概率关系及组合数公式求解即可.
【详解】依题意可知，数列的前10项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
其中偶数有3个，
所以从该数列前10项中随机抽取2项，则抽取的2项都是偶数的概率为，
所以至少有1项是奇数的概率为.
故选：D.
7. （2023·全国·校联考模拟预测）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】C
【分析】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则A，B，C两两互斥，，再根据对立事件及互斥事件概率公式，即可求解.
【详解】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，
则，，且.
因为A，B，C两两互斥，
所以.
故选：C.
8. （2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲、乙两人安排在不同舱内的概率为（ ）

A．B．C．D．
【解析】【答案】B
【分析】分别求出所有的安排情况，再求甲乙两人安排在同一个舱内的情况，最后用古典概率公式可求解甲、乙两人安排在不同舱内的概率.
【详解】从甲，乙，丙，丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能，
要使得甲乙在同一个舱内，由题意，甲乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能.
所以甲乙两人安排在同一个舱内的概率.
甲、乙两人安排在不同舱内的概率.
故选：B.
【多选题】
9. （2023·山东淄博·统考三模）某种子站培育出A、B两类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图：

用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（ ）
A．若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内的发芽率来看，B类种子更适合种植
B．若种下12粒A类种子，则有9粒种子5天内发芽的概率最大
C．从样本A、B两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145
D．若种下10粒B类种子，5至8天发芽的种子数记为X，则
【解析】【答案】CD
【分析】根据图形和概率的概念可判断A选项；
由题意可知发芽数X服从二项分布，，
再由，且，可求k的最大值；
由概率的根据对立事件的性质和相互独立事件的概率公式，可计算选项C;
由题意可知X服从二项分布，,可判断D选项.
【详解】从5天内的发芽率来看，A类种子为，B类种子为，故A选项错；
若种下12粒A类种子，由题意可知发芽数X服从二项分布，，
，
则，且，
可得，且，
所以，即，即有10粒种子5天内发芽的概率最大，故B选项错；
记事件A: 样本A种子中随机取一粒8天内发芽；
事件B: 样本B种子中随机取一粒8天内发芽；
根据对立事件的性质，这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率：
，故C选项正确；
由题意可知X服从二项分布，，
所以，故D选项正确；
故选：CD
10. （2020上·山东临沂·高三统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样
B．某地气象局预报：5月9日本地降水概率为，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学
C．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好
D．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位
【解析】【答案】CD
【解析】对A,根据分层抽样的意义辨析即可.
对B,根据概率的含义辨析即可.
对C,根据回归模型的性质辨析即可.
对D,根据线性回归方程的实际意义分析即可.
【详解】对A,分层抽样为根据样本特征按比例抽取,从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测不满足.故A错误.
对B, 降水概率为,但仍然有的概率不下雨,故B错误.
对C, 在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好正确.
对D, 回归直线方程中的系数为0.1,故当解释变量每增加1个单位时,预报变量增加0.1个单位正确.
故选：CD
【点睛】本题主要考查了概率统计中分层抽样、概率与回归直线的基本概念与性质.属于基础题.
11. （2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事件“第一次取出的是红球”，事件“第二次取出的是红球”，事件“取出的两球同色”，事件“取出的两球不同色”，则（ ）
A．与互斥B．与互为对立事件
C．与相互独立D．
【解析】【答案】BC
【分析】首先将所有的基本事件，以及事件所包含的基本事件一一列举出来，根据互斥事件、对立事件的概念，独立事件的定义以及条件概率的计算方法验证即可.
【详解】基本事件有12，13，14，23，24，34，21，31，41，32，42，43，共12种，
事件“12，13，14，21，23，24”；事件“12，21，31，41，32，42”；
事件“12，21，34，43”；事件“13，14，23，24，31，41，32，42”．
∵，∴与不是互斥事件，故A错误；
，，∴与互为对立事件，故B正确；
事件“12，21”，∴，，，，∴与相互独立，故C正确；
事件“31，41，32，42”，，，∴，故D错误．
故选：BC.
12. （2023·全国·模拟预测）某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则王同学（ ）
A．第二天去甲游乐场的概率为0.54
B．第二天去乙游乐场的概率为0.44
C．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为
D．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为
【解析】【答案】AC
【分析】利用条件概率公式、全概率公式以及对立事件的概率计算公式一一代入计算即可.
【详解】设事件：小王同学第一天去甲游乐场，事件：小王同学第二天去甲游乐场，
事件：小王同学第一天去乙游乐场，事件：小王同学第二天去乙游乐场，
则，，，，
所以，
故选项A正确；
，故选项B不正确；
因为，，
所以，，
所以，故选项C正确；
，
故选项D不正确，
故选:AC．
【填空题】
13. （2023·全国·模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的个黑球和个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．则问题二“考试是否做过弊”回答“是”的百分比为（以人的频率估计概率） ．
【解析】【答案】/
【分析】计算出摸到黑球且回答“是”的人数，可求得摸到白球且回答“是”的人数，即可求得结果.
【详解】由题意可知，每名调查者从袋子中抽到个白球或黑球的概率均为，
所以，人中回答第一个问题的人数为，则另外人回答了第二个问题，
在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率为，即摸到黑球且回答“是”的人数为，
则摸到白球且回答“是”的人数为，
所以，问题二“考试是否做过弊”且回答“是”的百分比为.
故答案为：.
14. （2022·江苏南京·统考三模）19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，在某项大量经济数据（十进制）中，以6开头的数出现的概率为 ；若,，则k的值为 ．
【解析】【答案】 5
【分析】第一空，将 代入即可求得答案；第二空，根据得到的表达式，结合的值可得方程，解得答案.
【详解】由题意可得：
（1）
（2），而，故，则．
故答案为：
15. （2023·安徽·校联考一模）为备战巴黎奥运会，某运动项目进行队内大比武，王燕、张策两位选手进行三轮两胜的比拼，若王燕获胜的概率为，且每轮比赛都分出胜负，则最终张策获胜的概率为 ．
【解析】【答案】/0.15625
【分析】分两局结束比赛和三局结束比赛，分别算出张策获胜的概率，相加即为答案.
【详解】张策获胜可以分为：
①第一局王燕胜，第二局张策胜，第三局张策胜，②第一局张策胜，第二局王燕胜，第三局张策胜，③第一局，第二局张策2胜，三种情况.
∴比赛结束时张策获胜的概率.
故答案为：.
16. （2023·山西临汾·校考模拟预测）航天（Spaceflight）又称空间飞行，太空飞行，宇宙航行或航天飞行，是指进入、探索、开发和利用太空（即地球大气层以外的宇宙空间，又称外层空间）以及地球以外天体各种活动的总称．航天活动包括航天技术（又称空间技术），空间应用和空间科学三大部分．为了激发学生对航天的兴趣，某校举行了航天知识竞赛．小张，小胡、小郭三位同学同时回答一道有关航天知识的问题．已知小张同学答对的概率是，小张、小胡两位同学都答错的概率是，小胡、小郭两位同学都答对的概率是．若各同学答题正确与否互不影响，则小张、小胡、小郭三位同学中至少两位同学答对这道题的概率为 ．
【解析】【答案】
【分析】利用独立事件与对立事件的概率公式求得各位学生答对这道题的概率，进而得解.
【详解】设小张同学答对的事件为A，答错的事件为，
小胡同学答对的事件为B，答错的事件为，
小郭同学答对的事件为C，答错的事件为，
因为小张同学答对的概率是，小张、小胡两位同学都答错的概率是，小胡、小郭两位同学都答对的概率是，
所以，则，
而 ，即，则，即，
而 ，即，则，即
所以小张、小胡、小郭三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为:
，
，
故答案为：
【解答题】
17. （2021·安徽蚌埠·统考二模）市教育局计划举办某知识竞赛，先在，，，四个赛区举办预赛，每位参赛选手先参加“赛区预赛”，预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛．赛区预赛的具体规则如下：每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题．方式一：每轮必答2个问题，共回答6轮，每轮答题只要不是2题都错，则该轮次中参赛选手得20分，否则得0分，各轮答题的得分之和即为预赛得分；方式二：每轮必答3个问题，共回答4轮，在每一轮答题中，若答对不少于2题，则该轮次中参赛选手得30分，如果仅答对1题，则得20分，否则得0分．各轮答题的得分之和即为预赛得分．记某选手每个问题答对的概率均为．
（1）若，求该选手选择方式二答题晋级的概率；
（2）证明：该选手选择两种方式答题的得分期望相等．
【解析】【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）先求该选手选择方式二答题，记每轮得分的可能及其概率，记预赛得分为，根据晋级所需分数求出即可得解；
（2）分别求出该选手选择两种方式答题的得分期望，直接进行判断即可得解.
【详解】（1）该选手选择方式二答题，记每轮得分为，
则可取值为0，20，30，
且，，
记预赛得分为，
∴该选手所以选择方式二答题晋级的概率为．
（2）该选手选择方式一答题：
设每轮得分为，则可取值为0，20，
且，
∴，
设预赛得分为，则，
．
该选手选择方式二答题：
设每轮得分为，则可取值为0，20，30，且
，
，
，
∴．
设预赛得分为，则
，
因为，所以该选手选择两种方式答题的得分期望相等．
【点睛】本题考查了随机事件的概率，考查了离散型变量的期望，计算量较大，属于中档题.
本题的关键点有：
（1）理解题目所给情形，并能转化成概率模型；
（2）根据情形，精确求随机事件的概率.
18. （2023·全国·模拟预测）鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）：
甲款鲁班锁玩具
乙款鲁班锁玩具
(1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率；
(2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润．
【解析】【答案】(1)
(2)甲鲁班锁玩具所获得的利润1400元；乙鲁班锁玩具所获得的利润1200元
【分析】（1）用频率估计概率,利用频率公式即可求；
（2）分别求出甲、乙两种鲁班锁一等品、二等品、三等品的利润，进而得到两款鲁班锁玩具所获得的利润.
【详解】（1）用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，该产品是一等品的概率为．
（2）甲款鲁班锁玩具一等品的利润为（元），
二等品的利润为（元），
三等品的利润为（元），
故100件甲款鲁班锁玩具的利润为（元）．
乙款鲁班锁玩具一等品的利润为（元），
二等品的利润为（元），
三等品的利润为（元），
故100件乙款鲁班锁玩具的利润为（元）．
19. （2021·陕西咸阳·统考二模）2021年元月10日，河北省石家庄某医院为确诊新型冠状病毒肺炎患者，需要检测核酸是否为阳性，现有n份（）核酸样本，有以下两种检测方式：（1）逐份核酸检测n次；（2）混合检测，将其中份核酸样本分别取样混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸样本全部为阴性，因而这k份核酸样本只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，说明这k份核酸样本中存在阳性，为了弄清这k份核酸样本中，哪些是阳性，就要对这k份核酸样本逐份检测，此时这k份核酸样本检测总次数为k+1次．假设在接受检测的核酸样本中每份样本检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的．假设有5份核酸样本，已知其中只有2份为阳性．
(1)若采用两种核酸检测方式检测，问最多经过几次检测就可以找到全部的阳性样本？
(2)从这5份核酸样本中随机抽取2份，求至少抽取到一份为阳性样本的概率．
【解析】【答案】(1)5次
(2)
【分析】（1）根据题意，直接分析求解即可；
（2）根据古典概率模型列举基本事件，根据公式求解即可；
【详解】（1）解：有5份核酸样本，若采用逐份检测，最多经过4次可找到全部2份阳性核酸样本；
若采用第二种检测方法，根据题意，最多经过5次可找到全部2份阳性核酸样本，
综上知，最多经过5次可找到全部2份阳性核酸样本．
（2）解：分别用A，B，C表示阴性样本，D，E表示阳性样本，
基本事件为：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种
至少抽取到一份为阳性样本的基本事件有AD，AE，BD，BE，CD，CE，DE，共7种
所以，所求概率为．
20. （2022·陕西西安·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）2021年12月，新冠疫情的严重反弹，扰乱了西安市民乃至陕西全省人民正常的生活秩序，各行各业的正常生产、运营受到严重影响，相关部门，为了尽快杜绝疫情的扩散，果断实施了小区封控、西安市区封城、市民足不出户等有效措施.2022年1月下旬小区相继解封.某销售商场为尽快弥补疫情带来的损失，推行高档电器“大屏幕电视机、冰箱和洗衣机”三种商品的抢购优惠促销活动.活动规则是：人人都可以参加三种商品的抢购，但每种商品只能抢购一次一件；优惠标准是：抢购成功者，大屏幕电视机优惠800元；冰箱优惠500元；洗衣机优惠300元，张某参加了这次抢购且三种商品都抢购，假设抢购成功与否相互独立，抢购三种商品成功的概率顺次为、、，已知这三种商品都能抢购成功的概率为，至少一种商品能抢购成功的概率为.
(1)①求、的值；
②求张某恰好抢购成功两种商品的概率.
(2)求张某抢购成功获得的优惠总金额的分布列和数学期望.
【解析】【答案】(1)①；②
(2)分布列见解析，数学期望为元
【分析】（1）①根据题目条件列出方程组，求出，②设出事件，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件加法公式计算出概率；（2）求出的可能取值及对应的概率，得到分布列，计算出数学期望.
【详解】（1）①由题意得
即
解得：
②设“张某恰好抢购到两种商品”为事件.则抢购到大屏幕电视机和冰箱且没有抢购到洗衣机，或抢购到冰箱和洗衣机且没有抢购到大屏幕电视机，或抢购到大屏幕电视机和洗衣机且没有抢购到冰箱.
∴.
即张某抢购成功两种商品的概率为
（2）的可能取值为0，300，500，800，1100，1300，1600
，
，
，
，
，
，
∴张某抢购成功获得的优惠总金额的分布列为
张某抢购成功获得的优惠总金额的数学期望为
（元）
21. （2021下·广东·高二阶段练习）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响．
(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．
【解析】【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得；
（2）根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式计算可得.
【详解】（1）记表示该选手能正确回答第个问题，则
．
该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功，
各轮问题能否回答正确互不影响，
所以所求概率是.
（2）该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰，
可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的，
所以所求概率为
．
22. （2023·全国·模拟预测）某中学为了响应国家双减政策，开展了校园娱乐活动．在一次五子棋比赛活动中，甲、乙两位同学每赛一局，胜者得1分，对方得0分，没有平局．规定当一人比另一人多得5分或进行完10局比赛时，活动结束．假设甲、乙两位同学获胜的概率都为，且两人各局胜负分别相互独立．已知现在已经进行了3局比赛，甲得2分，乙得1分，在此基础上继续比赛．
(1)只有当一人比另一人多得5分时，得分高者才能获得比赛奖品，求甲获得比赛奖品的概率；
(2)设X表示该活动结束时所进行的比赛的总轮数，求X的分布列及数学期望．
【解析】【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由题知甲或获胜时，能获得比赛奖品，结合题意可求其概率；
（2）根据题意求出X的所有可能取值和相应的概率，列出分布列，求得数学期望.
【详解】（1）由题意可知甲或获胜时，能获得比赛奖品，此时概率．
（2）的所有可能取值为7，9，10．
，
，
．
所以的分布列为
则．
【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的期望的一般步骤：
（1）判断取值，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
（2）探求概率，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式、对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；
（3）写分布列，即按规范形式写出分布列，并注意检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
（4）求期望值，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值．
专题60 随机事件、频率与概率
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：随机事件
题型二：频率与概率
题型三：生活中的概率
题型四：事件的关系与运算
题型五：互斥事件
题型六：对立事件
培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
定义
表示法
图示
并事件
事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
定义
表示法
图示
包含关系
若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
互斥事件
如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容)
若A∩B＝∅，则A与B互斥
对立事件
如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq \(A,\s\up6(－))
若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立
参赛学生分数
高一
74
78
84
89
89
93
95
97
99
100
高二
77
78
84
87
88
91
94
94
95
96
经常锻炼
不经常锻炼
男
40
10
女
30
20
a
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
购买A种医用口罩
购买B种医用口罩
购买C种医用口罩
甲
0.2
0.4
乙
0.3
0.3
一等品
二等品
三等品
单件成本利润率
10%
8%
4%
频数
10
60
30
一等品
二等品
三等品
单件成本利润率
7.5%
5.5%
3%
频数
50
30
20
0
300
500
800
1100
1300
1600
7
9
10