新高考数学一轮复习题型归纳与强化测试专题62 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（2份，原卷版+解析版）

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【考纲要求】
1.了解两个事件相互独立的含义.
2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.
【考点预测】
1.相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq \(B,\s\up6(－))__，eq \(A,\s\up6(－))与B，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))也都相互独立.
2.条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
(2)两个公式
①利用古典概型，P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
3.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq \a\vs4\al(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))P（Ai）P（B|Ai）)，我们称上面的公式为全概率公式.
【常用结论】
1.计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.
2.全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
【方法技巧】
1.求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
2.求条件概率的常用方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）).
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）).
3.利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式计算.
二、【题型归类】
【题型一】相互独立事件与互斥事件
【典例1】（2023·全国·模拟预测）、为两个事件，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，，，则、为独立事件
C．若，，，则、为互斥事件
D．，，则
【解析】【答案】BCD
【分析】利用条件概率公式可判断A选项；利用利用独立事件的概率公式可判断B选项；利用互斥事件的定义可判断C选项；利用条件概率公式可得，可设，则，再利用条件概率公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，由条件概率公式可得，则，A错；
对于B选项，，
所以，、相互独立，故、相互独立，B对；
对于C选项，因为
则，故、为互斥事件，C对；
对于D选项，因为，则，
设，则，所以，．
又因为，所以，，D对，
故选：BCD．
【典例2】（2023·重庆·统考模拟预测）已知事件A，B满足，，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则B．若A与B互斥，则
C．若A与B相互独立，则D．若，则A与B相互独立
【解析】【答案】BD
【分析】对A根据，则；对B，根据互斥事件的性质得，对C，根据独立事件的特点则可计算出，对D，根据条件概率公式计算出，再利用相互独立事件的定义即可判断.
【详解】对于A,因为,所以；故A错误,
对于B,因为与互斥,所以,B正确,
对于C,因为与相互独立,所以,故C错误;
对于D,因为,即,所以,
又因为,所以,所以与相互独立，故D正确.
故选：BD.
【典例3】（2023·湖南常德·统考一模）以下说法正确的是（ ）
A．89，90，91，92，93，94，95，96，97的第75百分位数为95
B．具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点
C．相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强
D．已知随机事件A，B满足，，且，则事件A与B不互斥
【解析】【答案】ACD
【分析】对于A选项：结合百分位数的定义即可求解；
对于B选项：结合经验回归方程的性质即可求解；
对于C选项：根据相关系数的性质即可判断；
对于D选项：根据互斥事件的定义和事件的相互独立性即可求解.
【详解】对于A选项：从小到大排列共有9个数据，则不是整数，则第75百分位数为从小到大排列的第7个数据，即第75百分位数为95，所以A选项正确；
对于B选项：线性回归方程不一定经过点，，，中的任何一个点，但一定经过样本的中心点即，所以B选项错误；
对于C选项：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于，所以C选项正确；
对于D选项：因为，则，
则事件与相互独立，所以事件A与B不互斥，所以D选项正确；
故选：ACD.
【题型二】独立事件的乘法公式
【典例1】（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）下列说法正确的是（ ）
A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8
B．对于随机事件与，若，，则事件与独立
C．若随机变量，，若最大，则
D．设随机变量服从正态分布，若，则
【解析】【答案】BCD
【分析】对于A，利用百分位数的定义判断即可；对于B，利用对立事件和条件概率的公式，结合独立事件的定义判断即可；对于C，根据随机变量的均值与方差公式，结合二项分布的概率公式求解即可；对于D，利用正态曲线的特点判断即可.
【详解】对于A，把数据从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，因为，
则这组数据的第百分位数为，故A错误；
对于B，，又，所以，即事件与相互独立，故B正确；
对于C，因为随机变量，所以，故，又，当最大时，；又，
此时，故C正确；
对于D，因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称，又因为，所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
【典例2】（2023·吉林·统考一模）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ）
A．B．与互斥
C．与相互独立D．与互为对立
【解析】【答案】ACD
【分析】利用古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率即可判断A，根据互斥事件的概率即可判断B，根据相互独立事件的定义判断C，根据对立事件的概率即可判断D．
【详解】设2个白球为，2个黑球为，
则样本空间为：，共12个基本事件.
事件，共4个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共8个基本事件，
对于A，由，故A正确；
对于B，因为，所以事件B与C不互斥，故B错误；
对于C，因为，，，
则，故事件A与B相互独立，故C正确；
对于D，因为，，所以事件A与D互为对立，故D正确．
故选：ACD．
【典例3】（2023·全国·模拟预测）为了响应国家出台的节能减排号召，节能灯应运而生．现在有两箱同种型号的节能灯用两种装箱包装，第一箱有10个节能灯，其中有2个次品，第二箱有12个节能灯，其中有3个次品．下列说法正确的是（ ）
A．若从第一箱中任取1个节能灯，则该节能灯为次品的概率为
B．若从第一箱中任取2个节能灯，则至少有1个节能灯为次品的概率为
C．若从两箱中各取出1个节能灯，则恰有一个是次品的概率为
D．若从两箱中随机取出1箱，再从该箱中随机取出1个节能灯，则该节能灯为次品的概率为
【解析】【答案】BCD
【分析】利用独立事件的概率公式和古典概率的公式逐项计算即可.
【详解】对于A，若从第一箱中任取1个节能灯，则该节能灯为次品的概率为，故A错误；
对于B，若从第一箱中任取2个节能灯，则至少有1个节能灯为次品的概率为，故B正确；
对于，若从两箱中各取出1个节能灯，则恰有一个是次品的概率为故C正确；
对于D，若从两箱中随机取出1箱，再从该箱中随机取出1个节能灯，则该节能灯为次品的概率为，故正确．
故选：BCD．
【题型三】计算条件概率
【典例1】（2023·四川甘孜·统考一模）某工厂生产了一批产品，需等待检测后才能销售.检测人员从这批产品中随机抽取了5件产品来检测，现已知这5件产品中有3件正品，2件次品，从中不放回地取出产品，每次1件，共取两次.已知第一次取得次品，则第二次取得正品的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】C
【分析】利用条件概率的定义解题即可.
【详解】设事件A=“第一次取得次品”，事件B=“第二次取得次品”，
则，，故.
故选：C
【典例2】（2023·全国·模拟预测）连续抛掷一枚质地均匀的骰子3次，观察向上的点数．在第1次出现奇数的条件下，3次出现的点数之积为偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】C
【分析】设第一次出现奇数为事件，3次出现的点数之积为偶数为事件，结合条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】设第一次出现奇数为事件，3次出现的点数之积为偶数为事件，
则，，
所以.
故选：C.
【典例3】（2023·全国·模拟预测）某罐中装有大小和质地相同的个红球和个绿球，每次不放回地随机摸出个球．记“第一次摸球时换到红球”，“第一次摸球时摸到绿球”，“第二次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到绿球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】【答案】C
【分析】根据题意得，可对A项判断；由，可对B项判断；
由，且可对C项判断；由，可对D项判断.
【详解】对于A项：由题意知，故A错误．
对于B项：因为，，不相互独立，所以，故B错误．
对于C项：因为，所以，故C正确．
对于D项：，，
则，故D错误．
故选：C.
【题型四】条件概率性质的应用
【典例1】（2023·新疆·校联考二模）下列有关事件的说法正确的是（ ）
A．若，则事件A，B为对立事件
B．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
C．若A，B为互斥事件，则
D．若事件A，B，C满足条件，和为互斥事件，则
【解析】【答案】C
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义，条件概率的定义判断．
【详解】对于A，若在不同试验下，虽然有，但事件和不对立．若在同一试验下，说明事件和对立．所以A错误；
对于B，若事件和都为不可能事件，则B错误；
对于C，互斥，若对立，则，若不对立，则，C正确；
对于D，若事件A，B，C满足条件，和为互斥事件，则，则D错误，
故选：C．
【典例2】（2023·云南昆明·统考模拟预测）随机化回答技术是为调查敏感性问题特别设计的问卷调查技术，其基本特征是被调查者对所调查的问题采取随机回答的方式，避免在没有任何保护的情况下直接回答敏感性问题，从而既对被调查者的隐私和秘密加以保护，又能获得所需要的真实信息．某公司为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：所有员工每人抛掷一枚质地均匀的硬币两次，约定“若结果为一次正面朝上一次反面朝上，则按①回答问卷，否则按②回答问卷”．
①：若第一次抛掷硬币出现正面朝上，则在问卷中画“√”，否则画“×”；
②：若你对新考勤管理方案满意，则在问卷中画“√”，否则画“×”．
当所有员工完成问卷调查后，统计画√，画×的比例为3∶2，用频率估计概率，则该公司员工对考勤管理方案的满意率为（ ）
A．50%B．60%C．70%D．80%
【解析】【答案】C
【分析】计算出回答①对于画√号的贡献率，进而得到回答②对于画√号的贡献率，由贝叶斯概率公式进行求解.
【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币两次，共出现以下情况，（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种情况，
其中结果为一次正面朝上一次反面朝上为事件，则共有2种情况满足要求，
则，，
设回答①且画√号为事件，则，则，
设回答②且画√号为事件，
则，
所以该公司员工对考勤管理方案的满意率为.
故选：C
【典例3】（2023·福建泉州·统考模拟预测）目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】D
【分析】先求出任选一名员工为肥胖者的概率和肥胖者员工为男性的概率，再根据条件概率计算即可.
【详解】设公司男、女员工的人数分别为和，
则男员工中，肥胖者有人，
女员工中，肥胖者有人，
设任选一名员工为肥胖者为事件，肥胖者为男性为事件，
则，，
则.
故选：D.
【题型五】利用全概率公式求概率
【典例1】（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）中国农业大学被网评为“京城高校第一食堂”，“食堂届的天花板”仅东区食堂就有六个，大一新生每天在“公寓食堂”、“风味餐厅”、“清真食堂”三个方向艰难选择，某同学决定从“公寓食堂”开始就餐，下一次就餐再等可能地随机选择另外2个食堂中的1个，如此不停地品尝各个食堂的美食，记第次就餐去“公寓食堂”的概率为，第次就餐去“风味餐厅”的概率为，显然，．下列判断正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
【解析】【答案】C
【分析】根据全概率公式列出关于和之间的关系式，再利用基本不等式求解即可.
【详解】第次就餐去“公寓食堂”的概率为，第次就餐去“风味餐厅”的概率为，
第次就餐去“清真食堂”的概率为，
由全概率公式得，
，即，
当且仅当时等号成立.
故选：C．
【典例2】（2023·云南大理·统考模拟预测）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】D
【分析】设出事件，利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解.
【详解】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”，
则，，，，
则，
，
故，
故.
故选：D
【典例3】（2023·广东深圳·校考二模）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，设事件为第一次取出的球为i号，事件为第二次取出的球为i号，则下列说法错误的是（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】C
【分析】利用条件概率及全概率公式即可对每个选项进行分析
【详解】由题意可得，故B正确；
对于A，表示在第一次取出的球为3号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以，故A正确；
对于C，表示在第一次取出的球为1号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以
表示在第一次取出的球为2号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以，
应用全概率公式,有，故C错误；
对于D，利用条件概率可得，解得，故D正确
故选：C
【题型六】利用贝叶斯公式求概率
【典例1】（2023·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．事件与事件B相互独立
C．D．
【解析】【答案】D
【分析】A选项，根据题意求出，判断A选项；
B选项，利用全概率公式求出，得到，判断事件事件与事件B不相互独立，得到D选项正确；
C选项，利用条件概率公式求解即可.
【详解】由题意得，所以A错误；
因为，
，所以，即，
故事件事件与事件B不相互独立，所以B错误，D正确；
，所以C错误；
故选：D
【典例2】（2023·广东·统考模拟预测）一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】A
【分析】记事件放入水果分选机的苹果为大果，事件放入水果分选机的苹果为小果，记事件水果分选机筛选的苹果为“大果”，利用全概率公式计算出的值，再利用贝叶斯公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件放入水果分选机的苹果为大果，事件放入水果分选机的苹果为小果，
记事件水果分选机筛选的苹果为“大果”，
则，，，，
由全概率公式可得，
，
因此，.
故选：A.
【典例3】（2021·全国·校联考三模）英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件，，（的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】A
【分析】根据贝叶斯概率公式计算即可.
【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件，
则，，，，
故所求概率．
故选：A.
三、【培优训练】
【训练一】（2023·山西临汾·校考模拟预测）魔方，又叫鲁比可方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一．通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方．三阶魔方形状通常是正方体，由有弹性的硬塑料制成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．广义的魔方，指各类可以通过转动打乱和复原的几何体．魔方与华容道、法国的单身贵族（独立钻石棋）并称为智力游戏界的三大不可思议．在2018WCA世界魔方芜湖公开赛上，杜宇生以3.47秒的成绩打破了三阶魔方复原的世界纪录，勇夺世界魔方运动的冠军，并成为世界上第一个三阶魔方速拧进入4秒的选手．
(1)小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为，若采用三局两胜制，两人共进行了局比赛，求的分布列和数学期望；
(2)小王和小吴同学比赛四阶魔方，首局比赛小吴获胜的概率为0.5，若小王本局胜利，则他赢得下一局比赛的概率为0.6，若小王本局失败，则他赢得下一局比赛的概率为0.5，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？
【解析】【答案】(1)分布列见解析；
(2)小王应选择“五局三胜制”
【分析】（1）依题意得到的可能取值，再利用独立事件与互斥事件的概率公式求得其对应的概率，从而得解；
（2）分类讨论小王不同选择下对应的获胜概率，从而得解.
【详解】（1）因为采用三局两胜制，所以的可能取值为，
表示小王或小吴连胜两局；表示小王与小吴前两局一胜一负；
所以，，
所以的分布列为：
则的数学期望为.
（2）若小王选择“三局两胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜；胜负胜；负胜胜；
则小王获胜的概率为；
若小王选择“五局三胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜胜；胜胜负胜；胜负胜胜；负胜胜胜；胜胜负负胜；胜负胜负胜；胜负负胜胜；负负胜胜胜；负胜负胜胜；负胜胜负胜；
则小王获胜的概率为
，
因为，
所以小王应选择“五局三胜制”.
【训练二】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第次传球传给甲运动员的概率为.
(1)求，；
(2)求的表达式；
(3)设，证明：.
【解析】【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，结合互斥事件和独立事件概率公式进行求解即可；
（2）根据互斥事件和独立事件概率公式，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可；
（3）利用构造函数法，结合导数与函数单调性的关系、等比数列的前项和公式进行证明即可.
【详解】（1），，；
（2）由已知，∴，即，
∴是以为公比的等比数列，
∴，∴.
（3）.
设，，∴，∴在上单调递增，
显然，则，
∴，则，
即，
∴.
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据题意利用独立事件概率公式得到递推关系式.
【训练三】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.
(1)记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为.
①直接写出，，的值；
②求与的关系式，并求出.
【解析】【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)①，，；②，
【分析】1）由离散型随机变量的分布列可解；
（2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求，再由数列知识，由递推公式求得通项公式.
【详解】（1）的所有可能取值为1，2，3.则
；；.
所以随机变量的分布列为：
数学期望.
（2）若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且次传球后球在甲手中的概率为.
则有.
记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”.
所以
.
即.
所以，且.
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列.
所以，.
即次传球后球在甲手中的概率是.
【训练四】（2023下·湖南怀化·高二统考期末）新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得5分. 对而不全得2分，选项中有错误得0分. 设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）. 在一次模拟考试中：
(1)小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得5分的概率为，求；
(2)小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择. 小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个. 若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？
【解析】【答案】(1)
(2)①
【分析】(1) 根据条件概率事件求解即可；
(2) 分别分析方案①，方案②，方案③的得分或者得分期望值，然后根据得分情况选择方案；
【详解】（1）记一道多选题“有2个选项正确”为事件，“有3个选项正确”为事件，“小明该题得5分”为事件B，
则，求得.
（2）若小明选择方案①，则小强的得分为2分.
若小明选择方案②，记小强该题得分为X，则，
且，
，
，
所以，，
若小明选择方案③，记小强该题得分为Y，则，且
，
，
所以，,
因为，所以小明应选择方案①.
【训练五】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这4个选项，4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为，并且规定若第题正确选项为两个，则第题正确选项为两个的概率为；第题正确选项为三个，则第题正确选项为三个的概率为.
(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；
(2)求第n题正确选项为两个的概率；
(3)若第n题只选择B、C两个选项，设Y表示第n题得分，求证：.
【解析】【答案】(1)分布列见解析；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设事件表示正确选项为个，事件表示正确选项为个，表示第题正确选项为个的概率，表示第题正确选项为个的概率.由全概率公式可求出，继而可求，再由全概率公式计算第二题得分分布列的各种情况，并根据公式计算期望；
（2）根据（1）中由第一题到第二题正确选项数概率的计算理解，由全概率公式可以得出一般性的结论化简可得，可知为等比数列,求通项可得；
（3）根据（2）求出的可得，在利用全概率公式即可求得的分布列，计算出,则结论可证.
【详解】（1）设事件表示正确选项为个，事件表示正确选项为个，
表示第题正确选项为个的概率，表示第题正确选项为个的概率.
设事件表示选项“C”为第二题的一个正确选项，用随机变量表示第二题得分.
依题得，可能取值为.
因为，，
所以
所以的分布列为:
所以.
（2）依题得，，
所以，
又因为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列.
所以，.
（3）由（2）可知，，.
依题得，可能取值为.
，
，
所以.
【点睛】方法点睛：高中阶段的马尔科夫链类型的概率问题解决关键是利用全概率公式找到概率的递推式，然后用数列手段去处理求解.
【训练六】（2023·湖南郴州·统考一模）随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为.
(1)求同学甲第二天选择套餐的概率；
(2)证明：数列为等比数列；
(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去A餐厅就餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择去A餐厅就餐的概率，求取最大值时对应的的值.
【解析】【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)33
【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解；
（2）根据题意结合全概率公式可得，结合等比数列的定义分析证明；
（3）根据题意分析可得，结合二项分布的概率公式列式求解.
【详解】（1）设“第1天选择B套餐”，“第2天选择B套餐”，
则“第1天不选择B套餐”.
根据题意可知：.
由全概率公式可得.
（2）设“第天选择B套餐”，则，
根据题意.
由全概率公式可得
，
整理得，且，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（3）第二天选择A类套餐的概率
由题意可得：同学甲第二天选择A类套餐的概率为，则不选择A类套餐的概率为，
所以，则，
当取最大值时，则，
即，解得，
且，所以.
四、【强化测试】
【单选题】
1. （2023·江西抚州·高三校联考阶段练习）一袋中有大小相同的个白球和个红球，现从中任意取出个球，记事件“个球中至少有一个白球”，事件“个球中至少有一个红球”，事件“个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（ ）
A．事件与事件不为互斥事件B．事件与事件不是相互独立事件
C．D．
【解析】【答案】D
【分析】根据题意，取出的个球的可能情况为：个红球；个红球个白球；个红球个白球；个白球，进而依次分析事件、事件、事件，及其概率，再讨论各选项即可得答案.
【详解】根据题意，取出的个球的可能情况为：个红球；个红球个白球；个红球个白球；个白球.
故事件包含：个红球个白球；个红球个白球；个白球，且；
事件包含：个红球个白球；个红球个白球；个红球，且；
事件包含：个红球个白球；个红球个白球，且.
所以，，，
因为，则事件与事件不为互斥事件，A选项正确；
，故事件与事件不是相互独立事件，B正确；
，故D错误；
，故C正确；
故选：D.
2. （2023上·上海·高三校考期中）“”是“事件A与事件互相独立”（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】【答案】C
【分析】根据事件互斥，对立，独立的关系得出即可.
【详解】因为对于任意两个事件，如果，则事件与事件相互独立，若事件与事件相互独立，则事件A与事件也互相独立，所以充分性成立；
若事件A与事件互相独立，则事件与事件也相互独立，则成立，所以必要性成立；
故选：C
3. （2021·山东泰安·校联考模拟预测）在17世纪，有两个赌徒向法国数学家布莱尔帕斯卡提出了这样一个问题：他们二人赌博，采用五局三胜制，赌资为400法郎．赌了三局后，甲赢了2局，乙赢了1局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了，但是他们期望获得部分赌资，数学期望这个词由此而生．假设每局两赌徒获胜的概率相等，每局输赢相互独立，那么这400法郎比较合理的分配方案是（ ）
A．甲200法郎，乙200法郎B．甲300法郎，乙100法郎
C．甲250法郎，乙150法郎D．甲350法郎，乙50法郎
【解析】【答案】B
【分析】分别求甲、乙获胜的概率，根据概率计算两人赌资的分配方法.
【详解】若继续赌下去，甲赢的概率为，乙赢得概率为，所以甲300法郎，乙100法郎．
故选：B
4. （2023·湖南郴州·统考一模）湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】B
【分析】利用古典概率求出事件的概率，再利用条件概率公式计算即得.
【详解】依题意，甲，乙随机选择一条线路去研学的试验有个基本事件，
事件A含有的基本事件数是，则，
事件含有的基本事件数为，则,
所以.
故选：B
5. （2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】A
【分析】根据条件概率的公式，以及概率的加法公式，可得答案.
【详解】由题意，，由，是互斥事件知，，
所以，
故选：A．
6. （2023·四川雅安·统考一模）甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择①，则等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】B
【分析】先利用排列组合及计数原理，求出和，再利用条件概率公式即可求出结果.
【详解】由题意知，，，
所以，
故选：B.
7. （2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）已知有两箱书，第一箱中有3本故事书，2本科技书；第二箱中有2本故事书，3本科技书．随机选取一箱，再从该箱中随机取书两次，每次任取一本，做不放回抽样，则在第一次取到科技书的条件下，第二次取到的也是科技书的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】C
【分析】记事件“第一箱中取书”，事件“从第二箱中取书”．事件“第次从箱中取到的书是科技书”，，然后根据题意求出，,的值，再根据全概率公式和条件概率公式求解即可.
【详解】记事件“第一箱中取书”，事件“从第二箱中取书”．事件“第次从箱中取到的书是科技书”，,
则由题意知，，,
,
所以
故选：C
8. （2023·湖北武汉·湖北省武昌实验中学校考模拟预测）设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（ ）
A．0.8B．0.6C．0.5D．0.3
【解析】【答案】A
【分析】设表示该汽车是货车，表示该汽车是客车，即得，，设表示货车中途停车修理，表示客车中途停车修理，则，，利用条件概率计算公式能求出今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率．
【详解】设表示该汽车是货车，表示该汽车是客车，则，，
设表示货车中途停车修理，表示客车中途停车修理，则，，
表示一辆汽车中途停车修理，则，
今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为：
．
故选：A
【多选题】
9. （2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y，设事件“”，事件“”，事件“为奇数”，则（ ）
A．B．
C．与相互独立D．与相互独立
【解析】【答案】ACD
【分析】根据古典概型概率公式计算概率判断AB，根据相互独立事件的定义结合概率的求法判断CD.
【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y，
则基本事件总数为，，
，，
，，共36种情形，
满足事件的有，共4种情形，其概率，故A正确；
满足事件的有，共2种情形，其概率，B不正确；
满足事件的有，
，，共18种情形，
其概率，
满足事件的有共2种情形，所以，
则，所以与相互独立，C正确；
满足事件的只有一种情形，所以，
因为，所以与相互独立，D正确.
故选：ACD.
10. （2023·全国·模拟预测）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，一个绿球；绿色盒子内装有三个红球，两个黄球．小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球．记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到红球的概率是
B．第二次抽到红球的概率是
C．如果第二次抽到红球，那么它来自红色盒子的概率最大
D．小明获得4块月饼的概率是
【解析】【答案】AC
【分析】A选项，设出事件，根据题意求出概率；B选项，由全概率公式求出答案；C选项，由贝叶斯公式求出答案；D选项，小明获得4块月饼可能的情况有三种，求出对应的概率，相加后得到答案.
【详解】A选项，记红球为1，黄球为2，绿球为3，
设事件，分别表示第一次、第二次取到球，．
A选项，在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到红球的概率，
故A正确．
对于B选项，依题意两两互斥，其和为，
并且，，
，，，
由全概率公式，得
，故B错误．
C选项，依题意，第二次的球来自与第一次取的球的颜色相同的盒子，
则，，
，
故在第二次抽到红球的条件下，它来自红色盒子的概率最大，故C正确．
对于D选项，小明获得4块月饼可能的情况有三种：
①第一次从红色盒子内抽到红球、第二次从红色盒子内抽到绿球，其概率为；
②第一次从红色盒子内抽到绿球、第二次从绿色盒子内抽到红球，其概率为；
③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄色盒子内抽到黄球，其概率为，
故小明获得4块月饼的概率是，故D错误．
故选：AC．
11. （2023·全国·校联考模拟预测）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】【答案】AB
【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式求解即可.
【详解】因为，，所以，.
因为与为互斥事件，所以，
所以
，
所以，
故，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，，
所以，故D错误.
故选:AB.
12. （2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）某市场供应多种品牌的N95口罩，相应的市场占有率和优质率的信息如下表：
在该市场中随机买一种品牌的口罩，记表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，记表示买到的口罩是优质品，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】【答案】AC
【分析】对于A，利用互斥事件的概率公式求解判断，对于BD，由条件概率公式计算判断，对于C，由全概率公式计算判断.
【详解】由题意得，
对于A，因为与互斥，所以，所以A正确，
对于B，，所以B错误，
对于C，
，所以C正确，
对于D，，所以D错误，
故选：AC
【填空题】
13. （2023·山西·校联考模拟预测）某产品的质量检验过程依次为进货检验（IQC）、生产过程检验（IPQC）、出货检验（OQC） 三个环节．已知某产品IQC的单独通过率为，IPQC的单独通过率为，规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一次（修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次），且各类检验间相互独立，则一件该产品能进入OQC环节的概率为 ．
【解析】【答案】/0.9
【分析】利用独立事件和互斥事件概率求解即可.
【详解】设表示第i次通过进货检验，表示第i次通过生产过程检验（），C表示该产品能进入出货检验环节，由题意得
．
故答案为：.
14. （2023·广西南宁·统考模拟预测）1886年5月1日，芝加哥的二十一万六千余名工人为争取实行八小时工作制而举行大罢工，经过艰苦的流血斗争，终于获得了胜利.为纪念这次伟大的工人运动，1889年7月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会，会议上宣布将五月一日定为国际劳动节.五一劳动节某单位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一长假期间值班2天，则甲连续值班的概率是
【解析】【答案】/
【分析】设“甲在五一假期值班两天”，“甲连续值班”，根据题目条件先分别求出，然后由条件概率公式即可求解.
【详解】设“甲在五一假期值班两天”，“甲连续值班”，
因为已知甲在五一长假期间值班2天，
所以丙和乙分别值班一天、两天或两天、一天，
所以五一假期甲乙丙三人值班方案共有种，
又因为甲在五一长假期间连续值班两天，可以是第1，2两天或第2，3两天或第3，4两天或第4，5两天，
所以甲在五一长假期间值班2天且甲连续值班的方案共有种，
所以由条件概率公式得.
故答案为：.
15. （2023·辽宁丹东·统考一模）已知，，，那么 ．
【解析】【答案】/
【分析】根据条件概率公式即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：.
16. （2024·浙江台州·统考一模）浙江省高考实行“七选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，50%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为 ．
【解析】【答案】
【分析】先求得这个学生来自每个学校并且选择了物理的概率，最后由分类加法算出总概率.
【详解】设：事件：这个学生来自甲学校；事件：这个学生来自乙学校；事件：这个学生来自丙学校；
事件：甲学校学生选了物理；事件：乙学校学生选了物理；事件：丙学校学生选了物理；
由题意知：这个学生选择是物理的概率：.
故答案为：.
【解答题】
17. （2023·上海嘉定·统考一模）某学校组织竞赛，有A，B，C三类问题可供选择，其中A问题答对可得5分，答错0分，B问题答对只可得3分，但答错只有2分，C问题答对得4分，答错0分，现小明与小红参加此竞赛，小红答对3种问题的概率均为0.5，小明答对A，B，C问题的概率分别为0.3，0.7，0.5.
(1)小红一共参与回答了3题，且该题分为为、和这类题，记X为小红的累计得分，求X的分布列；
(2)小明也参与回答了3道问题，3道问题可以是同一类，也可以不是同一类，记Y为小明的累计得分，求该如何分配问题，使得E[Y]最大.
【解析】【答案】(1)
(2)3道题均为类
【分析】（1）列出的所有可能取值，计算出各值的概率即可列出分布列；
（2）列出所有选择情况，计算比较即可；
【详解】（1）的可能取值为、、6、7、8、11、12、，
因为当有1种情况，所以，
因为当有种情况，所以，
因为当有种情况，所以，
因为当有2种情况，所以，
因为当有1种情况，所以，
因为当有1种情况，所以
因为当有种情况，所以，
所以X的分布列为：
（2）若3道题均为类，因为，
，
，
，
所以，
若3道题均为类，因为，
，
，
，
所以，
若3道题均为类，因为，
，
，
，
所以，
若3道题分别为、、，
因为，
，
，
，
，
，
所以,
若3道题分别为、、，
因为，
，
，
，
，
，
所以，
若3道题分别为、、，
因为
，
，
，
，
，
所以，
若3道题分别为、、，
因为，
，
，
，
，
，
所以，
若3道题分别为、、，
因为，
，
，
，
，
，
所以，
若3道题分别为、、，
因为，
，
，
，
，
，
所以，
若3道题分别为、、，
因为，
，
，
，
，
，
所以，
所以3道题均为类，可使得最大.
18. （2023·全国·校联考模拟预测）已知甲､乙､丙三人进行一个项目的比赛.在一轮比赛中，每两人之间均进行一场比赛，且每场比赛均无平局出现，三场比赛结束后，若有人赢得两场比赛，则该人获胜，比赛结束：若三人各赢得一场比赛，则三人继续进行下一轮比赛，以此类推，直至有人在其中一轮比赛中赢得两场比赛，该人获胜，比赛结束.已知甲胜乙､甲胜丙､乙胜丙的概率分别为
(1)求恰好在两轮比赛后比赛结束的概率；
(2)设比赛结束时，共进行了轮比赛，且当进行了四轮比赛后仍无人赢得比赛则通过抽签决出胜负，不再进行第五轮比赛，求的分布列及数学期望，
【解析】【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）求出在一轮比赛中，无人赢得两场比赛的概率，进而求出恰好在两轮比赛后比赛结束的概率；
（2）求出，并在（1）的基础上得到相应的概率，得到分布列及数学期望.
【详解】（1）设在一轮比赛中，无人赢得两场比赛为事件A，恰好在两轮比赛后比赛结束事件为，
事件A包含两种情况，一是甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲，二是乙胜甲，甲胜丙，丙胜乙，
可知，
事件B则表示第一轮比赛无人赢得两场比赛，第二轮比赛有人赢得两场比赛，
所以.
（2）易知，由（1）可知，
，
，
所以的分布列为：
所以
19. （2023·广东·统考二模）多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.
(1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；
(2)求小李同学当天穿连衣裙的概率.
【解析】【答案】(1)分布列见解析，
(2).
【分析】（1）根据超几何分布求出的概率，列出分布列，求出数学期望即可；
（2）设A表示穿红色衣物，则表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则表示穿套装.求出，结合条件概率和计算即可求解.
【详解】（1）设抽到红球的个数为X，则X的取值可能为4，3，2，
，，，
所以X的分布列为：
故.
（2）设A表示穿红色衣物，则表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则表示穿套装.
因为穿红色衣物的概率为，
则穿蓝色衣物的概率为，
穿红色连衣裙的概率为，穿蓝色连衣裙的概率为，
则当天穿连衣裙的概率为.
所以小李同学当天穿连衣裙的概率为.
20. （2023·全国·模拟预测）为了增强中学生的体质、丰富中学生的课余生活，某中学开设了篮球、足球、排球、羽毛球四种球类运动社团，要求每位学生每周必须选择参加两种运动社团．若该学期共有20周，现对甲、乙两名同学每周选择参加的运动社团组合情况及周数进行统计，结果如下表：
以样本的频率作为总体的概率，甲、乙选择运动社团时互相独立，则
(1)在甲选择排球运动社团的前提下，求甲、乙选择相同运动社团组合的概率；
(2)记甲、乙两名同学在该学期第一周合计选择的运动社团的种数为，求的分布列和数学期望．
【解析】【答案】(1)
(2)分布列见解析，．
【分析】（1）利用条件概率公式求解；
（2）确定的所有可能取值分别计算对应的概率的分布列数学期望．
【详解】（1）记事件为“甲选择排球运动社团”，事件为“甲、乙选择相同的运动社团组合”，
则
所以．
答：甲、乙选择相同运动社团组合的概率为.
（2）的所有可能取值为，
则有，
，
，
所以的分布列为
所以数学期望．
21. （2023·全国·模拟预测）2023年FIBA世界杯届时在印度尼西亚、日本以及菲律宾进行小组赛的角逐，而决赛阶段的比赛将集中在菲律宾首都马尼拉进行，这届世界杯是首次在多个国家举办的世界杯，也为我们呈现了许多扣人心弦的比赛．
(1)球员甲每次投篮，选择投两分球的概率为，命中率为；投三分球的概率为，命中率为，求球员甲每次投篮命中的概率；
(2)“大心脏”通常形容篮球员在最后时刻有良好的心理素质，以高命中率进行得分．在比赛最后几分钟内，乙有三次投篮机会，第一投篮的命中率为，从第二次开始，每次投中的命中率会发生改变，若前一次投中，则该次投中的概率比前一次成功的概率增加；若前一次未投中，则该次投中的概率比前一次成功的概率增加，求乙在第三次投中的概率．
【解析】【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据全概率公式求解所求概率即可；
（2）根据事件的独立性，结合条件概率公式、全概率公式求解即可.
【详解】（1）设事件A为“甲选择投两分球”，事件B为“甲选择投三分球”，事件C为“甲投篮命中”，
则球员甲每次投篮命中的概率
．
（2）设事件为“乙在第次投篮命中”，其中，
则，，，
所以，
，
，
，
，
故乙在第三次投中的概率为．
22. （2023·福建三明·统考三模）在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率；
(2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率.
【解析】【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设事件“种子选手第局上场”，事件“甲队最终获胜且种子选手上场”，求出、的值，利用全概率公式可求得的值；
（2）设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”，计算出、的值，利用贝叶斯公式可求得的值.
【详解】（1）解：设事件“种子选手第局上场”，
事件“甲队最终获胜且种子选手上场”.
由全概率公式知，
因为每名队员上场顺序随机，故，
，，.
所以，
所以甲队最终获胜且种子选手上场的概率为.
（2）解：设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”，
，，，
，
因为.
由（1）知，所以.
所以，已知甲队获得最终胜利，种子选手上场的概率为.
专题62 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：相互独立事件与互斥事件
题型二：独立事件的乘法公式
题型三：计算条件概率
题型四：条件概率性质的应用
题型五：利用全概率公式求概率
题型六：利用贝叶斯公式求概率
培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
1
2
3
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
优质率
2
3
6
7
8
11
12
2
3
6
7
8
11
12
1
2
3
4
X
4
3
2
P
学生
周数
12周
6周
2周
甲
篮球、足球
排球、足球
羽毛球、排球
乙
排球、足球
篮球、羽毛球
篮球、足球
2
3
4