新高考数学一轮复习题型归纳与强化测试专题59 二项式定理（2份，原卷版+解析版）

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【考纲要求】
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
【考点预测】
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
2.二项式系数的性质
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
【常用结论】
(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式系数从Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，一直到Ceq \\al(n－1,n)，Ceq \\al(n,n).
【方法技巧】
1.求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.
2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.
3.对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.
4.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.
5.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f（1）＋f（－1）,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f（1）－f（－1）,2).
6.二项式系数最大项的确定方法：
当n为偶数时，展开式中第eq \f(n,2)＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第eq \f(n＋1,2)项和第eq \f(n＋3,2)项的二项式系数最大，最大值为或.
二、【题型归类】
【题型一】二项展开式的应用
【典例1】（多选）（2024上·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知的展开式中含有常数项，则的可能取值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【典例2】（多选）（2023·全国·模拟预测）已知正整数，，，2，…，，则对任意的，都有（ ）
A． B．C． D．
【典例3】（多选）（2023·福建宁德·校考模拟预测）若，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型二】二项展开式的第k项
【典例1】（多选）（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在的展开式中，各项系数的和为1，则（ ）
A．B．展开式中的常数项为
C．展开式中的系数为160D．展开式中无理项的系数之和为
【典例2】（多选）（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知展开式中的第三项的系数为45，则（ ）
A．B．展开式中所有系数和为
C．二项式系数最大的项为中间项D．含的项是第7项
【典例3】（多选）（2023·湖南·校联考二模）以下说法正确的是（ ）
A．78，82，83，85，86，87，89，89的第75百分位数为88
B．相关系数r的绝对值接近于0，两个随机变量没有相关性
C．的展开式中常数项为15
D．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立
【题型三】多项式的展开式
【典例1】（2022·浙江金华·浙江省义乌中学校联考模拟预测）若二项式的展开式中含有常数项，则可以取（ ）
A．5B．6C．7D．8
【典例2】（2021·广西·统考一模）的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为（ ）
A．0B．C．D．
【典例3】（2021·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）将多项式分解因式得，则（ ）
A．16B．14C．D．
【题型四】二项式系数
【典例1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（ ）
A．―4B．84C．―280D．560
【典例2】（2023·四川绵阳·统考二模）展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【典例3】（2023·全国·模拟预测）若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（ ）
A．6B．8C．28D．56
【题型五】项的系数
【典例1】（2023·河北邯郸·统考模拟预测）在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【典例2】（2023·北京通州·统考三模）若，则（ ）
A．64B．33C．32D．31
【典例3】（2023·安徽蚌埠·统考三模）的展开式中各项系数之和为，则该展开式中常数项为（ ）
A．B．C．D．
【题型六】二项式定理的应用
【典例1】（2023·湖南·校联考模拟预测）已知（，2，⋯，95），则数列中整数项的个数为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【典例2】（2023·北京西城·统考二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】（2023·全国·模拟预测）下列说法中，不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型七】杨辉三角
【典例1】（2023·河北邯郸·统考三模）如图，在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，，则此数列的前项的和为（ ）
A．680B．679C．816D．815
【典例2】（2023·甘肃·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ）
A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数
B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等
C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则
D．第34行中第15个数与第16个数之比为
【典例3】（2023·辽宁·哈尔滨三中校联考一模）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等.
我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.
；
若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列，则关于数列叙述正确的是（ ）
A．B．
C．数列的前n项和为D．数列的前n项和为
三、【培优训练】
【训练一】（2023·浙江·二模）正数列通过以下过程确定：是的最小值，其中.则当时，满足（ ）
A．B．C．D．
【训练二】（多选）（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）已知当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【训练三】（2020下·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期中）设n∈N*，an为(x＋4)n－(x＋1)n的展开式的各项系数之和，（[x]表示不超过实数x的最大整数），则 (t∈R )的最小值为 .
【训练四】（2023下·山东滨州·高二统考期中）若，则 ．
【训练五】（2023·广东湛江·统考一模）已知函数，记为函数的2次迭代函数，为函数的3次迭代函数，…，依次类推，为函数的n次迭代函数，则 ；除以17的余数是 ．
【训练六】（2022·江苏泰州·统考模拟预测）设是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为，其中，令，称是二维离散型随机变量的联合分布列．与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：
现有个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落下第1号盒子中的球的个数为X，落入第2号盒子中的球的个数为Y．
(1)当n＝2时，求的联合分布列；
(2)设且计算．
四、【强化测试】
【单选题】
1. （2023·陕西西安·西安市长安区第二中学校联考模拟预测）设的小数部分为x，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2. （2023·西藏拉萨·统考一模）二项式的展开式中的第3项为（ ）
A．160B．C．D．
3. （2023·河南郑州·统考模拟预测）的展开式中的常数项与展开式中的常数项相等，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
4. （2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）展开式中的系数为（ ）
A．270B．240C．210D．180
5. （2023·广东惠州·统考一模）已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（ ）
A．B．C．D．
6. （2023·陕西安康·统考三模）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为1B．第4项和第5项的二项式系数最大
C．所有项的系数和为128D．第4项的系数最大
7. （2023·全国·校联考模拟预测）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．21C．189D．
8. （2023·全国·校联考模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【多选题】
9. （2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）在的展开式中，则（ ）
A．二项式系数最大的项为第3项和第4项
B．所有项的系数和为0
C．常数项为
D．所有项的二项式系数和为64
10. （2023·全国·模拟预测）若的二项展开式的第一项为，最后一项为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．展开式的第四项的二项式系数等于
C．展开式中不含常数项D．展开式中所有项的系数之和等于32
11. （2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知多项式，则（ ）
A．B．
C．D．
12. （2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）若，则（ ）
A．可以被整除
B．可以被整除
C．被27除的余数为6
D．的个位数为6
【填空题】
13. （2023·全国·模拟预测）的展开式中，有理项是第 项．
14. （2023·全国·模拟预测）若的展开式的二项式系数之和为16，则的展开式中的系数为 .
15. （2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）已知（a为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中的系数为 （用数字作答）
16. （2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为 （用最简分数表示）.
【解答题】
17. （2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和.
18. （2021·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）已知数列的前n项积为，且满足a1＝1，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，证明：＝.
19. （2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知数列的前项和为，满足，等差数列中.
(1)求和的通项公式；
(2)数列与的共同项由小到大排列组成新数列，求数列的前20的积.
20. （2022·湖北·校联考模拟预测）已知数列前项和，的前项之积.
(1)求与的通项公式.
(2)把数列和的公共项由小到大排成的数列为，求的值.
21. （2022·江西九江·校考模拟预测）已知的展开式中所有项的系数和是243．
(1)求n的值，并求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求值．
22. （2022·青海·校联考模拟预测）已知正项数列的前n项和为满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，记为数列的前n项和，表示x除以3的余数，求．
专题59 二项式定理
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：二项展开式的应用
题型二：二项展开式的第k项
题型三：多项式的展开式
题型四：二项式系数
题型五：项的系数
题型六：二项式定理的应用
题型七：杨辉三角
培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)
增减性
二项式系数Ceq \\al(k,n)
当k＜eq \f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递增的
当k＞eq \f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递减的
二项式
系数最大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值
…
…
…
·
…
…
…
…
…
…