新高考数学一轮复习题型归纳与强化测试专题40 数列的综合应用（2份，原卷版+解析版）

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【考纲要求】
1.了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题.
2.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题．
【方法技巧】
1.数列应用问题常见模型
(1)等差模型：后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值．
(2)等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数．
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应考虑an与an＋1(或者相邻三项)之间的递推关系，或者Sn与Sn＋1(或者相邻三项)之间的递推关系．
2.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系．数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用b1＝1，d>0证明不等式成立．另外本题在探求{an}与{cn}的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法．
3.数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明．
二、【题型归类】
【题型一】数学文化与数列的实际应用
【典例1】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
【典例2】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×
6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么eq \i\su(k＝1,n,S)k＝_______ dm2.
【典例3】《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日为春分时节，其日影长为( )
A．4.5尺 B．3.5尺
C．2.5尺 D．1.5尺
【题型二】等差、等比数列的综合
【典例1】设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.
【典例2】设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝3，an＋1＝2an＋1.
(1)证明：{an＋1}为等比数列；
(2)求{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？说明理由．
【典例3】已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝2，b2＝4，an＝2lg2bn，n∈N*.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S100.
【题型三】数列与其他知识的交汇
【典例1】已知数列{an}是公比不等于1的正项等比数列，且lg a1＋lg a2 021＝0，若函数f(x)＝eq \f(2,1＋x2)，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 021)＝( )
A．2 020 B．4 040
C．2 021 D．4 042
【典例2】已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，且∀n∈N*，2Sn＝(n＋1)an，bn＝Sneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(anπ,2)＋sin \f(anπ,2)))，则数列{bn}的前2 020项之和T2 020＝________．
【典例3】设数列{an}的通项公式为an＝2n－1，记数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,anan＋1)))的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2－a恒成立，则实数a的取值范围为________．
三、【培优训练】
【训练一】已知数列{an}满足an＋am＝am＋n(m，n∈N*)且a1＝1，若[x]表示不超过x的最大整数，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a2n＋3,5)))))的前10项和为( )
A．12 B.eq \f(113,5)
C．24 D．40
【训练二】(多选)已知在△ABC中，A1，B1分别是边BA，CB的中点，A2，B2分别是线段A1A，B1B的中点，…，An，Bn分别是线段An－1A，Bn－1B(n∈N*，n＞1)的中点，设数列{an}，{bn}满足eq \(BnAn,\s\up6(→))＝aneq \(CA,\s\up6(→))＋bneq \(CB,\s\up6(→))(n∈N*)，给出下列四个结论，其中正确的是( )
A．数列{an}是递增数列，数列{bn}是递减数列
B．数列{an＋bn}是等比数列
C．数列{eq \f(an,bn)}(n∈N*，n＞1)既有最小值，又有最大值
D．若在△ABC中，C＝90°，CA＝CB，则|eq \(BnAn,\s\up6(→))|最小时，an＋bn＝eq \f(1,2)
【训练三】某地区2018年人口总数为45万．实施“二孩”政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：从2019年开始到2028年，每年人口总数比上一年增加0.5万人，从2029年开始到2038年，每年人口总数为上一年的99%.
(1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式(注：2019年为第一年)；
(2)若“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2038年结束后是否需要调整政策？(参考数据：0.9910≈0.9)
【训练四】已知在等差数列{an}中，a2＝5，a4＋a6＝22，在数列{bn}中，b1＝3，bn＝2bn－1＋1(n≥2)．
(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)定义x＝[x]＋(x)，[x]是x的整数部分，(x)是x的小数部分，且0≤(x)＜1.记数列{cn}满足cn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn＋1)))，求数列{cn}的前n项和．
【训练五】由整数构成的等差数列{an}满足a3＝5，a1a2＝2a4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}的通项公式为bn＝2n，将数列{an}，{bn}的所有项按照“当n为奇数时，bn放在前面；当n为偶数时，an放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{cn}，b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，求数列{cn}的前(4n＋3)项和T4n＋3.
【训练六】已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(－1)n－1eq \f(4n,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 等比数列{an}中，a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则a3·a9等于( )
A．－3 B．3 C．－4 D．4
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，则S10的值为( )
A．－110 B．－90 C．90 D．110
3. 若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a3，a7成等比数列，则eq \f(a2,a1)等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,2) D．2
4. 某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1 700万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要( )
A．3 233万元 B．4 706万元
C．4 709万元 D．4 808万元
5. 某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，则从( )年开始这家加工厂年获利超过60万元，已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1( )
A．2024年 B．2025年
C．2026年 D．2027年
6. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 019项的和为( )
A．672 B．673
C．1 346 D．2 019
7. 已知等差数列{an}的公差为－2，前n项和为Sn.若a2，a3，a4为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，则Sn的最大值为( )
A．5 B．11
C．20 D．25
8. 定义：若数列{an}对任意的正整数n，都有|an＋1|＋|an|＝d(d为常数)，则称|an|为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”．已知“绝对和数列”{an}中，a1＝2，绝对公和为3，则其前2 019项的和S2 019的最小值为( )
A．－2 019 B．－3 010
C．－3 025 D．－3 027
【多选题】
9. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列{an}，则( )
A．a4＝12
B．an＋1＝an＋n＋1
C．a100＝5 050
D．2an＋1＝an·an＋2
10. 已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有( )
A．a10＝0 B．S10最小
C．S7＝S12 D．S20＝0
11. 若数列{an}满足：对任意的n∈N*且n≥3，总存在i，j∈N*，使得an＝ai＋aj(i≠j，i＜n，j＜n)，则称数列{an}是“T数列”．则下列数列是“T数列”的为( )
A．{2n} B．{n2}
C．{3n} D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(5),2)))\s\up12(n－1)))
12. 一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来的高度的eq \f(2,3)再落下．设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2时，下面说法正确的是( )
A．Sn＜500 B．Sn≤500
C．Sn的最小值为eq \f(700,3) D．Sn的最大值为400
【填空题】
13. 若数列{an}满足eq \f(1,an＋1)－eq \f(2,an)＝0，则称{an}为“梦想数列”．已知正项数列{eq \f(1,bn)}为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝________．
14. 已知在数列{an}中，an＋1＝2an－1，a1＝2，设其前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，(Sn＋1－n)k≥2n－3恒成立，则k的最小值为________
15. 若数列{an}满足a2－eq \f(1,2)a1