新高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题7.5 数列的综合应用（真题测试）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2021·山西·高二阶段练习）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积木”就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为an，则a22=（ ）
A．275B．277C．279D．281
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得到，再由累加法的到数列的通项公式，进而得到结果.
【详解】
因为，，，…，，
由累加法的到：，所以.
故选：A.
2．（2022·全国·高二课时练习）某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律，6小时后细胞存活个数是（ ）
A．33B．64C．65D．127
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得，构造等比数列可求出，从而可求出结果
【详解】
将开始时的细胞个数记为，1小时后的细胞个数记为，2小时后的细胞个数记为，3小时后的细胞个数记为，……，
由题意可得，当时，，则
，所以
数列是以2为公比，1为首项的等比数列，
所以，
所以，
所以6小时后细胞存活个数为，
故选：C
3.（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）设表示落在区间内的偶数个数.在等比数列中，，，则（ ）
A．21B．20C．41D．40
【答案】C
【解析】
【分析】
设的公比为q，根据和求出，从而得和，再根据的定义可求出结果.
【详解】
设的公比为q，则，
所以，则，
所以.
所以落在区间内的偶数共有41个，故.
故选：C
4．（2022·四川省高县中学校高一阶段练习（文））已知数列满足，，令，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意整理可得，即，利用累加法可得，结合题意可得，即，运算求解．
【详解】
∵，则
∴
又∵
∴
由题意可得：，则
∴
故选：D．
5．（2022·青海·模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为，满足，，若数列满足，则m＝（ ）
A．9B．10C．19D．20
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用等差数列的前n项和结合等差数列性质，求出异号的相邻两项即可作答.
【详解】
等差数列的前n项和为，则，有，
，有，显然数列是递减的，且，
因，所以.
故选：B
6．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（文））斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理､准晶体结构､化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的前2022项和为（ ）
A．2698B．2697C．2696D．2695
【答案】C
【解析】
【分析】
根据, 递推得到数列,然后再得到数列是以6为周期的周期数列求解.
【详解】
因为
所以数列为
此数列各项除以 4 的余数依次构成的数列为:
是以 6 为周期的周期数列,
所以.
故选：C.
7．（2016·浙江·高考真题（文））如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，.（）
若
A．是等差数列
B．是等差数列
C．是等差数列
D．是等差数列
【答案】A
【解析】
【详解】
表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度的一半，
即，由题目中条件可知的长度为定值，
那么我们需要知道的关系式，
由于和两个垂足构成了直角梯形，
那么，
其中为两条线的夹角，即为定值，
那么，
，
作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．
8．（2018·浙江·高考真题）已知成等比数列，且．若，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.
【详解】
令则，令得，所以当时，，当时，，因此，
若公比，则，不合题意；
若公比，则
但，
即，不合题意；
因此，
，选B.
二、多选题
9．（2022·湖北·武汉市第一中学高二期中）数学上有很多著名的猜想，“角谷猜想”（又称“冰雹猜想”）就是其中之一，它是指任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．记正整数按照上述规则实施第次运算的结果为，若，则可能为（ ）．
A．64B．16C．8D．1
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据题意，利用利用带入检验法对四个选项一一验证即可.
【详解】
利用带入检验法：
所以为64、8、1都符合题意，为16不符合题意.
故选：ACD
10．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）记数列是等差数列，下列结论中不恒成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据等差数列通项公式及等差中项，结合基本不等式即可求解.
【详解】
设等差数列的首项为，公差为，则
对于A，由数列是等差数列及，所以可取，所以不成立，故A正确；
对于B，由数列是等差数列，所以，所以恒成立，故B不正确；
对于C, 由数列是等差数列，可取，所以不成立，故C正确；
对于D，由数列是等差数列，得，无论为何值，均有所以若，则恒不成立，故D正确.
故选：ACD.
11．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）对于数列，定义：，称数列是的“倒差数列”.下列叙述正确的有（ ）
A．若数列单调递增，则数列单调递增
B．若，，则数列是周期数列
C．若，则数列没有最小值
D．若，则数列有最大值
【答案】BD
【解析】
【分析】
可通过的单调性或反例说明错误；令，可推导得到，由此整理得，知正确；分别在为偶数和为奇数两种情况下，根据的单调性可确定的单调性和正负，由此确定最大值和最小值，知的正误.
【详解】
对于，函数在和上单调递增，但在整个定义域上不是单调递增，可知数列单调递增，数列不是单调递增（如，则，），错误；
对于，是常数列，可设，则，
，
不是常数列，，，整理得：，
，数列是以为周期的周期数列，正确；
对于，若，则，
①当为偶数时，且单调递增，，
且单调递增，此时；
②当为奇数时，且单调递减，，
且单调递减，此时；
综上所述：既有最大值，又有最小值，错误；正确.
故选：BD.
12．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，，，数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．数列为单调递增的等差数列
D．满足不等式的正整数n的最小值为63
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由和递推公式→→，→A选项正确，B选项正确；
→→为单调递增的等差数列→C选项不正确；
→→→D选项正确
【详解】
因为，所以，所以，
则，解得，
，所以，，所以A选项正确，B选项正确；
因为，所以，
所以，又，
所以，
所以为单调递增的等差数列，
则数列不是单调递增的等差数列，所以C选项不正确；
，
则，
，
解得，又，
所以正整数n的最小值为63，所以D选项正确．
故选：ABD．
三、填空题
13．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）若函数，其中n是正整数，则的最小值是______．
【答案】100
【解析】
【分析】
去绝对值，由等差数列求和公式化简可解.
【详解】
易知，要使取得最小值，正整数n必然在区间上，
则
∵，∴或时有最小值100．
故答案为：100
14．（2022·全国·高三专题练习）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿着纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸，对折1次可以得到和两种规格的图形，它们的周长之和为，对折2次可以得到，，三种规格的图形，它们的周长之和为，以此类推，则对折5次后能得到的所有不同规格图形的种数为__________；如果对折次后，那么能得到的所有不同规格图形的周长之和_____．
【答案】
【解析】
【分析】
设沿着长方形纸长边折叠k（且）次，则要沿着长方形纸片短边折叠次，出现的规格情况有次，且周长为，利用等比数列求和公式进行求解.
【详解】
设沿着长方形纸长边折叠k（且）次，则要沿着长方形纸片短边折叠次，故折叠5次后共出现的规格情况为，，即有，，，，，，共6种规格；
同理，对折次共有种规格，，，……，．
故答案为：，
15．（2022·全国·模拟预测）已知为R上单调递增的奇函数，在数列中，，对任意正整数n，，则数列的前n项和的最大值为___________.
【答案】77
【解析】
【分析】
先由题给条件判定数列为等差数列，进而求得数列的通项公式，利用数列的单调性即可求得其前n项和的最大值.
【详解】
因为，且为R上的奇函数，所以.
又在R上单调递增，所以，即，
所以为等差数列，且公差为，首项为20，
所以，所以，
所以最大，且
故答案为77.
16．（2022·湖北·一模）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程
若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为___________；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由图形之间的边长的关系，得到周长是等比数列，再按照等比数列通项公式可得解；
由图形之间的面积关系及累加法，结合等比数列求和可得解.
【详解】
记第个图形为，三角形边长为，边数，周长为，面积为
有条边，边长；有条边，边长；有条边，边长；
分析可知，即；，即
当第1个图中的三角形的周长为1时，即，
所以
由图形可知是在每条边上生成一个小三角形，即
即，，，
利用累加法可得
数列是以为公比的等比数列，数列是以为公比的等比数列，故是以为公比的等比数列，
当第1个图中的三角形的面积为1时，，即，此时，，有条边，
则
所以， 所以
故答案为：，
四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：，，，，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：，，，，….
记第行第个数为.
（Ⅰ）若，写出，，的表达式，并归纳出的表达式；
（Ⅱ）求第行所有数的和.
【答案】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（I）由数阵写出，，，由此可归纳出.
（II），利用错位相减法求得结果.
【详解】
（Ⅰ）由数阵可知：
，，，
由此可归纳出.
（Ⅱ）
，
所以，
错位相减得.
18．（2016·四川·高考真题（理））已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n项和，，其中q>0，.
（Ⅰ）若成等差数列，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线的离心率为，且，证明：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和等基础知识，考查学生的分析问题和解决问题的能力、计算能力.第（Ⅰ）问，利用得到数列为等比数列，再结合2a2，a3，a2+2成等差数列求出的公比q，从而利用等比数列的通项公式求解；第（Ⅱ）问，先利用双曲线的离心率得到的表达式，再解出的公比q的值，最后利用等比数列的求和公式计算证明.
试题解析：（Ⅰ）由已知， 两式相减得到.
又由得到，故对所有都成立.
所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.
从而.
由成等差数列，可得，即，则，
由已知,，故.
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.
所以双曲线的离心率.
由解得.
因为，所以.
于是，
故.
19．（2020·浙江·高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
【答案】（I）；（II）证明见解析.
【解析】
【分析】
（I）根据，求得，进而求得数列的通项公式，利用累加法求得数列的通项公式.
（II）利用累乘法求得数列的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.
【详解】
（I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以.
所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
所以（）.
所以，又，符合，
故.
（II）依题意设，由于，
所以，
故
.
又，而，
故
所以
.
由于，所以，所以.
即， .
20．（2020·全国·高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1），，，证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．
【详解】
（1）
［方法一］【最优解】：通性通法
由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即．
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
［方法二］：构造法
由题意可得，．由得．，则，两式相减得．令，且，所以，两边同时减去2，得，且，所以，即，又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以．
［方法三］：累加法
由题意可得，．
由得，即，，……．以上各式等号两边相加得，所以．所以．当时也符合上式．综上所述，．
［方法四］：构造法
，猜想．由于，所以可设，其中为常数．整理得．故，解得．所以．又，所以是各项均为0的常数列，故，即．
（2）由（1）可知，
［方法一］：错位相减法
，①
，②
由①②得：
，
即.
［方法二］【最优解】：裂项相消法
，所以．
［方法三］：构造法
当时，，设，即，则，解得．
所以，即为常数列，而，所以．
故．
［方法四］：
因为，令，则
，
，
所以．
故．
【整体点评】
（1）方法一：通过递推式求出数列的部分项从而归纳得出数列的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；
方法二：根据递推式，代换得，两式相减得，设，从而简化递推式，再根据构造法即可求出，从而得出数列的通项公式；
方法三：由化简得，根据累加法即可求出数列的通项公式；
方法四：通过递推式求出数列的部分项，归纳得出数列的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成，求出，从而可得构造数列为常数列，即得数列的通项公式．
（2）
方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；
方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；
方法三：由时，，构造得到数列为常数列，从而求出；
方法四：将通项公式分解成，利用分组求和法分别求出数列的前项和即可，其中数列的前项和借助于函数的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算．
21．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）数列的前n项和为，数列满足，且数列的前n项和为．
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)抽去数列中点第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)，，
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由得出，再由前项和与通项的关系得出数列的通项公式；
（2）分类讨论，两种情况，由分组求和法得出，再由的单调性得出证明.
(1)
由题意得，①
当时，；当时，；
当时，，②
①②得，，
当时，，也适合上式，所以，所以，
两式相减得，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．
(2)
数列为：，所以奇数项是以4为首项，8为公比的等比数列，偶数项是以8为首项，8为公比的等比数列．
所以当时，
所以，
所以，显然是关于k的减函数，所以；
所以当时，
所以，
所以，显然是关于k的减函数，所以；
综上所述，．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为，，数列{bn}满足b1＝1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2＝0上．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和Tn；
(3)若，求对所有的正整数n都有成立的k的取值范围．
【答案】(1)，bn＝2n﹣1
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由题意得当n≥2时，，与原式相减，结合等比数列的定义，即可求得数列{an}的通项公式；将点P坐标代入直线方程，可得bn+1﹣bn＝2，结合等差数列的定义，即可得数列{bn}的通项公式.
（2）由（1）可得，利用错位相减求和法，即可得答案.
（3）由（1）得，利用作差法可得数列的单调性，即可得的最大值为1，所求为恒成立，即恒成立，利用基本不等式求得的最小值，分析即可得答案.
(1)
因为①，
当n＝1时，解得．
当n≥2时，②，
①﹣②得，
整理得，即，
所以数列{an}是以为首项，2为公比的等比数列；
所以．
数列{bn}满足b1＝1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2＝0上．
所以bn+1﹣bn＝2（常数），
所以数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以bn＝2n﹣1．
(2)
由（1）得
则①，
②，
①﹣②得，
整理得．
(3)
由（1）得，
所以，
所以数列为单调递减数列，
所以，即的最大值为1，
因为对所有的正整数n都有都成立，
所以，可得，
所以恒成立，只需满足即可，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
故k＜2，则k的取值范围为．
选项A
64
32
16
8
4
2
1
选项B
16
8
4
2
1
4
2
选项C
8
4
2
1
4
2
1
选项D
1
4
2
1
4
2
1