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专题12 导数中的“距离”问题-2023年新高考数学大 二轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）
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题型一：曲线与直线的距离
题型二：曲线与点的距离
题型三：曲线与圆的距离
题型四：曲线与抛物线的距离
题型五：曲线与曲线的距离
题型六：横向距离
题型七：纵向距离
【典例例题】
题型一：曲线与直线的距离
例1．已知函数，若存在，使得，则实数的值是 ．
例2．已知函数，若存在，使得，则实数的值为 ．
例3．若实数，，，满足，则的最小值为 ．
例4．设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值是 ．
例5．已知函数的最小值是，则的值是
例6．设函数，其中，．若存在正数，使得成立，则实数的值是
A．B．C．D．1
例7．设函数 ，其中，，存在使得成立，则实数的最小值为
A．B．C．D．1
例8．已知函数，若对任意的正实数，在上都是增函数，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
例9．已知实数，，，满足，则的最小值为
A．B．8C．4D．16
题型二：曲线与点的距离
例10．若点与曲线上点距离最小值为，则实数为
A．B．C．D．
例11．若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为
A．B．C．D．
题型三：曲线与圆的距离
例12．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆任意一点，则线段的长度的最小值为
A．B．C．D．
例13．已知点为函数图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为
A．B．
C．D．
例14．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为
A．B．C．D．
例15．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为
A．B．1C．D．
题型四：曲线与抛物线的距离
例16．设，，当，变化时的最小值为 ．
例17．设．，则的最小值为
A．B．1C．D．2
题型五：曲线与曲线的距离
例18．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A． 2B． C． 2D．
例19．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A．B．C．D．
例20．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A．B．C．D．
例21．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为
A．B．C．D．
例22．设满足方程的点，的运动轨迹分别为曲线，，若在区间，内，曲线，有两个交点（其中是自然对数的底数），则实数的最大值为
A．4B．C．D．
题型六：横向距离
例23．已知直线与函数和分别交于，两点，若的最小值为2，则 ．
例24．已知直线与函数和的图象分别交于、两点，若的最小值为3，则 ．
例25．设直线与函数，的图象分别交于，两点，则的最小值为
A．B．C．D．
例26．已知函数，的图象分别与直线交于，两点，则的最小值为
A．1B．C．D．
题型七：纵向距离
例27．直线分别与直线，曲线交于、两点，则最小值为 ．
例28．直线分别与曲线，交于、两点，则的最小值为
A．3B．2C．D．
例29．直线分别与曲线，相交于，两点，则的最小值为
A．1B．2C．D．
【过关测试】
一、单选题
1．若x、a、b为任意实数，若，则最小值为( )
A．B．9C．D．
2．已知实数满足，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
3．设直线与函数的图像分别交于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，，若成立，则的最小值是
A．B．C．D．
5．设.，则的最小值为
A．B．1C．D．2
6．已知直线分别与直线和曲线相交于点，，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，，对任意，存在，使得，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
8．已知曲线上一点，曲线上一点，当时，对任意，，都有恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，，若成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
11．设动直线x=t与曲线以及曲线分别交于P，Q两点，表示的最小值，则下列描述正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．设，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
13．已知函数，若成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
14．直线分别与曲线交于点，则的最小值为
A．B．C．D．
二、填空题
15．若，则的最小值是_______．
16．已知实数满足，则对任意的正实数，的最小值为_______.
17．设，则的最小值为______________．
18．已知点在圆上，点在曲线上，则线段的长度的最小值为____________．
19．设，当a，b变化时，的最小值为_______.
20．已知分别为函数，上两点，则两点的距离的最小值是__________．
21．设点分别是曲线和直线上的动点, 则两点间的距离的最小值是________．
题型一：曲线与直线的距离
题型二：曲线与点的距离
题型三：曲线与圆的距离
题型四：曲线与抛物线的距离
题型五：曲线与曲线的距离
题型六：横向距离
题型七：纵向距离
【典例例题】
题型一：曲线与直线的距离
例1．已知函数，若存在，使得，则实数的值是 ．
例2．已知函数，若存在，使得，则实数的值为 ．
例3．若实数，，，满足，则的最小值为 ．
例4．设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值是 ．
例5．已知函数的最小值是，则的值是
例6．设函数，其中，．若存在正数，使得成立，则实数的值是
A．B．C．D．1
例7．设函数 ，其中，，存在使得成立，则实数的最小值为
A．B．C．D．1
例8．已知函数，若对任意的正实数，在上都是增函数，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
例9．已知实数，，，满足，则的最小值为
A．B．8C．4D．16
题型二：曲线与点的距离
例10．若点与曲线上点距离最小值为，则实数为
A．B．C．D．
例11．若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为
A．B．C．D．
题型三：曲线与圆的距离
例12．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆任意一点，则线段的长度的最小值为
A．B．C．D．
例13．已知点为函数图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为
A．B．
C．D．
例14．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为
A．B．C．D．
例15．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为
A．B．1C．D．
题型四：曲线与抛物线的距离
例16．设，，当，变化时的最小值为 ．
例17．设．，则的最小值为
A．B．1C．D．2
题型五：曲线与曲线的距离
例18．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A． 2B． C． 2D．
例19．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A．B．C．D．
例20．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A．B．C．D．
例21．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为
A．B．C．D．
例22．设满足方程的点，的运动轨迹分别为曲线，，若在区间，内，曲线，有两个交点（其中是自然对数的底数），则实数的最大值为
A．4B．C．D．
题型六：横向距离
例23．已知直线与函数和分别交于，两点，若的最小值为2，则 ．
例24．已知直线与函数和的图象分别交于、两点，若的最小值为3，则 ．
例25．设直线与函数，的图象分别交于，两点，则的最小值为
A．B．C．D．
例26．已知函数，的图象分别与直线交于，两点，则的最小值为
A．1B．C．D．
题型七：纵向距离
例27．直线分别与直线，曲线交于、两点，则最小值为 ．
例28．直线分别与曲线，交于、两点，则的最小值为
A．3B．2C．D．
例29．直线分别与曲线，相交于，两点，则的最小值为
A．1B．2C．D．
【过关测试】
一、单选题
1．若x、a、b为任意实数，若，则最小值为( )
A．B．9C．D．
2．已知实数满足，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
3．设直线与函数的图像分别交于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，，若成立，则的最小值是
A．B．C．D．
5．设.，则的最小值为
A．B．1C．D．2
6．已知直线分别与直线和曲线相交于点，，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，，对任意，存在，使得，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
8．已知曲线上一点，曲线上一点，当时，对任意，，都有恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，，若成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
11．设动直线x=t与曲线以及曲线分别交于P，Q两点，表示的最小值，则下列描述正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．设，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
13．已知函数，若成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
14．直线分别与曲线交于点，则的最小值为
A．B．C．D．
二、填空题
15．若，则的最小值是_______．
16．已知实数满足，则对任意的正实数，的最小值为_______.
17．设，则的最小值为______________．
18．已知点在圆上，点在曲线上，则线段的长度的最小值为____________．
19．设，当a，b变化时，的最小值为_______.
20．已知分别为函数，上两点，则两点的距离的最小值是__________．
21．设点分别是曲线和直线上的动点, 则两点间的距离的最小值是________．
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