冀教版（2024）七年级下册（2024）9.1 因式分解精品当堂达标检测题

这是一份冀教版（2024）七年级下册（2024）9.1 因式分解精品当堂达标检测题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. a2−4ab−4b2=(a−2b)2B. x2−xy2−1=xy(x−y)−1
C. (x+2y)(x−2y)=x2−4y2D. ax+ay+a=a(x+y+1)
2.下列各等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A. (x+1)(x−1)=x2−1B. 8a2b3c=2a2⋅2b3⋅2c
C. x+1=x(1+1x)D. x2+4x+4=(x+2)2
3.下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A. a(a+b)=a2+abB. (x+1)(x−1)=x2−1
C. x2−4x+4=(x−2)2D. x2−x−4=x(x−1)−4
4.下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A. (a+2b)(a−2b)=a2−4b2B. x2y−xy2−1=xy(x−y)−1
C. ax+ay+a=a(x+y)D. x2−4xy+4y2=(x−2y)2
5.若x2−ax−1可以分解为(x−2)(x+b)，那么a+b的值为( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
6.下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. (x−1)(x−2)=x2−3x+2B. x2−3x+2=(x−1)(x−2)
C. x2−2x+4=x(x−2)+4D. x2−y2−2=(x+y)(x−y)−2
7.下列从左到右的变形，是因式分解的是( )
A. 2(a−b)=2a−2bB. a2−b2+1=(a−b)(a+b)+1
C. x2−2x+4=(x−2)2D. 2x2−8y2=2(x−2y)(x+2y)
8.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. a(x−y)=ax−ayB. x2+2x+1=x(x+2)+1
C. (x+1)2=x2+2x+1D. x2−x=x(x−1)
9.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. ax+bx+c=x(a+b)+cB. 2x(x−3y)=2x2−6xy
C. 25a4b3=(5a2b)⋅(5a2b2)D. x2−4y2=(x+2y)(x−2y)
10.下列各恒等变形属于因式分解的是( )
A. x2+2x+2=x(x+2)+2B. 2xy2=2x⋅y
C. (−x−1)2=x2+2x+1D. x2−1=(x+1)(x−1)
11.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是
A. 6x+12y+3=3(2x+4y+1)B. a2−1=(a−1)2
C. x2+x+14=x+122D. 2x2−1=2(x−1)(x+1)
12.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. am+bm+c=ma+b+cB. x+2x−2=x2−4
C. x2−2x+1=(x−1)2D. 8a2b3=2a2⋅4b3
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知整式A=x(x+3)+5，整式B=ax−1.若A−B可以分解为(x−2)(x−3)，则a=_______ ．
14.若4x−3是多项式4x2+5x+a的一个因式，则a= ．
15.若多项式x2+mx+n(m,n是常数)分解因式后，有一个因式是x+1，则m−n的值为 ．
16.两名同学将一个二次三项式因式分解，一名同学看错了一次项系数，因式分解的结果为(x−6)(x+2)，另一名同学看错了常数项，因式分解的结果为(x+8)(x−4)，则这个二次三项式为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做分解因式，例如：a2−b2=(a+b)(a−b)，am+an=a(m+n)，但有些多项式我们却不太容易观察出怎么分解，例如：a2+3ab+2b2=？而“数形结合”思想一直是我们解决数学问题的一种常用方法，爱动脑筋的小明就借助一个几何图形对这个多项式进行了分解．

(1)请借助图1把多项式a2+3ab+2b2分解因式a2+3ab+2b2= ______；
(2)把图2中的四张长方形图片拼成一个大的长方形图片，并据此写出一个多项式的因式分解．
18.(本小题8分)
下面是一位同学仿解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成相应的学习任务.若(x−2)是多项式x3+3x2−8x+k的一个因式，求k的值．
解：∵(x−2)是多项式x3+3x2−8x+k的一个因式，
∴设x3+3x2−8x+k=A(x−2)(A为整式)．
当x−2=0时，则有x3+3x2−8x+k=0．
将x=2代入x3+3x2−8x+k=0，得8+12−16+k=0.解得k=−4．
学习任务：
(1)若(x+1)是多项式3x3+ax2+2的一个因式，求出多项式中二次项的系数a的值；
(2)若(x−2)和(x+3)是多项式x4+mx3−13x2+nx+24的两个因式，求出多项式中三次项和一次项的系数m，n的值．
19.(本小题8分)
定义：a，b，c为正整数，若c2=a2+b2，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”.如132=52+122，则13是“完美勾股数”，5，12是13的”伴侣勾股数”．
(1)数10 ______“完美勾股数”(填“是”或“不是”)；
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2−6a−8b−10c+50=0.求证：c是“完美勾股数”；
(3)已知m，n>0且m>n，c=2m2+2mn+2n2，a=m2+4mn+n2，b= 3(m+n)，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”.多项式x3−3x2+p有一个因式x−m+n，求该多项式的另一个因式．
20.(本小题8分)
阅读材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
例：用换元法对多项式(x2−4x+1)(x2−4x+7)−7进行因式分解．
设x2−4x=y，则原式=(y+1)(y+7)−7=y2+8y=y(y+8)=(x2−4x)(x2−4x+8)=x(x−4)(x2−4x+8)．
根据上述材料，请你用“换元法”对多项式(x2+x)(x2+x+2)+(x2+x+1)(x2+x−1)+1进行因式分解．
21.(本小题8分)
如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形.且m>n.(以上长度单位：cm)
(1)观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为______；
(2)若每块小长方块的面积为20cm2，四个正方形的面积和为162cm2.求(m−n)2的值．
22.(本小题8分)
(1)在下面的多项式中，能因式分解的是( )
A. m2+nB. m2−m−1C. m2−m+1D. m2−2m+1
(2)下列各式：①−x2−y2；②−14a2b2+1；③a2+ab+b2；④−x2+2xy−y2；⑤14−mn+m2n2.能用公式法分解因式的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
(3)多项式4x3+4x2+x因式分解为( )
A. 2x(x−1)2B. 2x(x+1)2C. x(2x−1)2D. x(2x+1)2
(4)因式分解：
①7x2−63. ②x3−6x2+9x．
③4(a−b)2−8a+8b. ④a4−8a2b2+16b4．
23.(本小题8分)
检验下列因式分解是否正确：
(1)2a2−1=2a+12a−1．
(2)x2−3x+2=x−1x−2．
24.(本小题8分)
如图所示的练习本上书写的是一个正确的因式分解，但其中部分一次式被墨水污染看不清了．
(1)求被墨水污染的一次式．
(2)若被墨水污染的一次式的值等于2，求x的值．
25.(本小题8分)
综合与实践：特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法.综合实践课上田老师展示了如下例题：
例：已知多项式2x3−2x2+m有一个因式是x+1，求m的值．
解：由题意，设2x3−2x2+m=A⋅(x+1)(A为整式)，
由于上式为恒等式，为了方便计算，取x=−1，
则2×(−1)3−2×(−1)2+m=0，解得m=■．
数学思考：(1)“■”处m的值为______；
方法应用：(2)已知多项式2x3−x2−x+b有一个因式是2x−1，求b的值；
深入探究：(3)若多项式x4+ax3+bx−3有因式(x−1)和(x+2)，求a，b的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据因式分解定义逐项分析判断如下：
A、a2−4ab−4b2=(a−2b)2，等号左右两边不相等，故不符合题意；
B、(x+2y)(x−2y)=x2−4y2，等号右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
C、x2−xy2−1=xy(x−y)−1，等号右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
D、ax+ay+a=a(x+y+1)是因式分解，符合题意，
故选：D．
判断一个式子是否是因式分解的条件是：①等式的左边是一个多项式，②等式的右边是几个整式的积，③等号左、右两边相等，根据以上条件进行判断即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、分解因式的结果是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；
B、因式分解是多项式的，不是针对单项式，不是因式分解，不符合题意；
C、因式分解是整式范围内的分解，不包括分式，不是因式分解，不符合题意；
D、满足因式分解的定义，是因式分解，符合题意．
故选：D．
根据因式分解的定义即可求出答案．
本题考查因式分解的定义，解题的关键是正确理解因式分解的定义，本题属于基础题型．
3.【答案】C
【解析】解：A中a(a+b)=a2+ab，不是因式分解，故不符合要求；
B中(x+1)(x−1)=x2−1，不是因式分解，故不符合要求；
C中x2−4x+4=(x−2)2，是因式分解，故符合要求；
D中x2−x−4=x(x−1)−4，不是因式分解，故不符合要求；
故选：C．
根据因式分解的定义进行判断作答即可．
本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：将一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，
由此可知，AB选项不符合题意．
因为ax+ay+a=a(x+y+1)，
所以C选项不符合题意．
因为x2−4xy+4y2=(x−2y)2，
所以D选项符合题意．
故选：D．
根据因式分解的定义即可解决问题．
本题主要考查了因式分解的意义，熟知因式分解的定义是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：(x−2)(x+b)=x2+(−2+b)x−2b，
∵x2−ax−1可以分解为(x−2)(x+b)，
∴−a=−2+b，−2b=−1，
∴a=32，b=12，
∴a+b=2，
故选D．
先根据多项式乘以多项式进行计算，得出方程−a=−2+b，−2b=−1，求出即可．
本题考查了因式分解的定义的应用，关键是能根据已知得出关于a、b的方程组．
6.【答案】B
【解析】解：A、(x−1)(x−2)=x2−3x+2，不符合把一个多项式整理成几个整式的乘积的形式，故该选项是错误的；
B、x2−3x+2=(x−1)(x−2)符合把一个多项式整理成几个整式的乘积的形式，故该选项是正确的；
C、x2−2x+4=x(x−2)+4不符合把一个多项式整理成几个整式的乘积的形式，故该选项是错误的；
D、x2−y2−2=(x+y)(x−y)−2不符合把一个多项式整理成几个整式的乘积的形式，故该选项是错误的；
故选：B．
把一个多项式整理成几个整式的乘积的形式，据此进行逐项分析，即可作答．
本题考查了因式分解的定义，熟练掌握定义是关键．
7.【答案】D
【解析】解：A、是整式的乘法，故选项错误；
B、结果不是整式的积的形式，故选项错误；
C、结果是整式的积的形式，但是左右不相等，故选项错误；
D、符合因式分解的定义，故选项正确．
故选：D．
因式分解就是把多项式转化成几个整式的积的形式，根据定义即可作出判断．
本题考查了因式分解的定义．熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】
解：A、是整式的乘法，不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B、不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误；
C、是整式的乘法，不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；
D、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D正确；
故选D．
9.【答案】D
【解析】解：A.ax+bx+c=x(a+b)+c，不是因式分解，故该选项不符合题意；
B.2x(x−3y)=2x2−6xy，不是因式分解，故该选项不符合题意；
C.25a4b3=(5a2b)⋅(5a2b2)，不是因式分解，故该选项不符合题意；
D.x2−4y2=(x+2y)(x−2y)，是因式分解，故该选项符合题意；
故选：D．
根据因式分解的定义，即把一个多项式分解为几个因式的积的形式叫做因式分解，即可一一判定．
本题考查了因式分解的判定，熟练掌握和运用因式分解的定义是解决本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：A、从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、从左边到右边的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可．
本题主要考查了因式分解．熟练掌握该知识点是关键．
11.【答案】C
【解析】解：A、左右两边不相等，所以A选项不正确，不符合题意；
B、(a−1)2=a2−2a+1，左右两边不相等，所以B选项不正确，不符合题意；
C、x2+x+14=(x+12)2，是因式分解，所以C选项正确，符合题意；
D、2(x−1)(x+1)=2(x2−1)=2x2−2，左右两边不相等，所以D选项不正确，不符合题意；
故选：C．
判断一个式子是否是因式分解的条件是①等式的左边是一个多项式，②等式的右边是几个整式的积，③左、右两边相等，根据以上条件进行判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：A、B中最后结果不是乘积的形式，不属于因式分解，不合题意；
C、运用完全平方公式进行的因式分解，符合题意；
D、左边不是一个多项式，不属于因式分解，不合题意．
故选：C．
根据因式分解的定义，结合因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式，逐一进行判断．
本题考查了因式分解，关键是理解因式分解的定义中，因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式．
13.【答案】8
【解析】解：∵A=x(x+3)+5=x2+3x+5．
∴A−B=x2+3x+5−(ax−1)=x2+(3−a)x+6．
∴x2+(3−a)x+6=(x−2)(x−3)．
∴x2+(3−a)x+6=x2−5x+6．
∴3−a=−5．
∴a=8．
故答案为：8．
本题主要考查整式的运算，因式分解的概念，熟练掌握因式分解的概念、整式的加减是解决本题的关键．
由A−B=x2+3x+5−(ax−1)=x2+(3−a)x+6，得x2+(3−a)x+6=(x−2)(x−3)，进而解决此题．
14.【答案】−6
【解析】略
15.【答案】1
【解析】略
16.【答案】x2+4x−12
【解析】【分析】本题主要考查了因式分解与整式的乘法，正确得出常数项和一次项系数是解题关键．
根据题意可知，如果一个二次三项式，看错了一次项系数，意思是二次项系数与常数项都没有看错；看错了常数项，意思是二次项系数和一次项系数都没有看错，据此可得到正确答案．
【解答】
解：设原多项式为ax2+bx+c(其中a、b、c均为常数，且abc≠0).
因为(x−6)(x+2)=x2−4x−12，
所以a=1，c=−12；
又因为(x+8)(x−4)=x2+4x−32，
所以b=4.
所以原多项式为x2+4x−12，
故答案为x2+4x−12．
17.【答案】(a+b)(a+2b)
【解析】解：(1)借助图1可得a2+3 a b+2 b2=(a+b)(a+2 b)，
故答案为：(a+b)(a+2b)；
(2)拼出的图形为：
∴x2+3x+2=(x+1)(x+2)．
(1)根据图形，借助矩形的面积列出等式即可；
(2)先画图形，然后列等式即可．
此题主要考查了因式分解，正确的画出图形是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)设3x3+ax2+2=M(x+1)(其中M为整式)，
令x+1=0，
即取x=−1，得−3+a+2=0；
解得a=1；
(2)设x4+mx3−13x2+nx+24=A(x−2)(x+3)(其中A为整式)，
令x−2=0或x+3=0，
当x−2=0时，即x=2时，得16+8m−52+2n+24=0，
当x+3=0时，即x=−3时，得81−27m−117−3n+24=0，
即4m+n−6=0①9m+n+4=0②，
由②−①解得m=−2，则n=14．
【解析】(1)依据题意列出式子，令x+1=0即可求解；
(2)依据题意列式，令x−2=0或x+3=0，列出二元一次方程组，即可求解．
本题考查了因式分解的应用及解二元一次方程组，熟练掌握该知识点是关键．
19.【答案】是
【解析】解：(1)∵62+82=102，
∴10是”完美勾股数“，
故答案为：是；
(2)证明：∵△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2−6a−8b−10c+50=0，
∴a2−6a+9+b2−8b+16+c2−10c+25=0，
(a−3)2+(b−4)+(c−5)2=0，
a−3=0，b−4=0，c−5=0，
a=3，b=4，c=5，
∵52=32+42，
∴5是”完美勾股数“，即c是“完美勾股数”；
(3)由题意得：c2=a2+b2，
∴(2m2+2mn+2n2)2=(m2+4mn+n2)2+3(m+n)2，
(2m2+2mn+2n2)2−(m2+4mn+n2)2=3(m+n)2，
(3m2+6mn+3n2)(m2−2mn+n2)=3(m+n)2，
3(m+n)2(m−n)2=3(m+n)2，
(m+n)2(m−n)2=(m+n)2，
(m−n)2=1，
m−n=±1，
∵m，n>0且m>n，
∴m=n+1，
∴x3−3x2+p有一个因式为：x−m+n=x−1，
∴x3−3x2+p=(x−1)(x2−2x−2)，
∴该多项式的另一个因式为x2−2x−2．
(1)根据”完美勾股数“的定义，判断10的平方是否是两个正整数的平方和，进行判断即可；
(2)先根据已知条件，利用分组分解法把a2+b2+c2−6a−8b−10c+50分解因式，根据偶次方的非负性，求出a，b，c，再进行判断即可；
(3)根据”完美勾股数“的定义进行证明，得到m与n的关系式，从而求出答案即可．
本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握利用分组分解法分解因式和勾股定理．
20.【答案】解：设x2+x=t，
将x2+x=t代入(x2+x)(x2+x+2)+(x2+x+1)(x2+x−1)+1，得：
t(t+2)+(t+1)(t−1)+1
∴原式=t2+2t+t2−1+1=2t2+2t=2t(t+1)=2(x2+x)(x2+x+1)=2x(x+1)(x2+x+1)．
【解析】利用换元法进行因式分解即可．
本题考查因式分解，掌握换元法，是解题的关键．
21.【答案】(m+2n)(2m+n)
【解析】解：(1)由图可知：2m2+5mn+2n2表示大长方形的面积，
大长方形的边长分别为：(2m+n)，(m+2n)，
∴2m2+5mn+2n2=(m+2n)(2m+n)；
故答案为：(m+2n)(2m+n)；
(2)由条件可知mn=20，m2+n2=81，
∴(m−n)2=m2+n2−2mn=81−2×20=41．
(1)利用数形结合的思想，2m2+5mn+2n2表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论；
(2)由题意，得到mn=20，2m2+2n2=162，利用完全平方公式进行求解即可．
本题考查因式分解，完全平方公式，熟练掌握以上知识点是关键．
22.【答案】【小题1】
D
【小题2】
B
【小题3】
D
【小题4】
①7x2−63=7x2−9=7x+3x−3．
②x3−6x2+9x=xx2−6x+9=x(x−3)2．
③4(a−b)2−8a+8b=4(a−b)2−8a−b=4a−ba−b−2．
④a4−8a2b2+16b4=a2−4b22=(a−2b)2(a+2b)2．

【解析】1. 略
2. 略
3. 略
4. 略
23.【答案】【小题1】
因为2a+12a−1=4a2−1≠2a2−1，所以因式分解2a2−1=2a+12a−1不正确．
【小题2】
因为x−1x−2=x2−2x−x+2=x2−3x+2，所以因式分解x2−3x+2=x−1x−2正确．

【解析】1. 略
2. 略
24.【答案】【小题1】
被墨水污染的一次式是x−22x+5−2x2+3x−6=2x2+5x−4x−10−2x2−3x+6=−2x−4．
【小题2】
根据题意得−2x−4=2，解得x=−3．

【解析】1. 略
2. 略
25.【答案】4
【解析】解：(1)由2×(−1)3−2×(−1)2+m=0，
∴m=4，
故答案为：4；
(2)多项式2x3−x2−x+b有一个因式是2x−1，
设2x3−x2−x+b=A⋅(2x−1)(A为整式)，
令2x−1=0，即x=12，代入式子，
得2×(12)3−(12)2−12+b=0，
解得b=12；
(3)设x4+ax3+bx−6=A⋅(x−1)(x+2)，
由于上式是恒等式，为方便计算，
取x=1，得14+a×13+b×1−3=0，
即a+b=2，
取x=−2，得(−2)4+a×(−2)3+b×(−2)−3=0，
即4a+b=−6，
a+b=28a+2b=13，
∴a=32b=12，
∴a=32，b=12．
(1)直接解方程可得m的值；
(2)直接把x=12代入求解b的值即可；
(3)把x=1和x=−2代入求解方程组即可．
本题考查了因式分解的应用，代数式求值及解二元一次方程组，做题的关键设出各个因式后转化为解方程即可．