湖南省永州市新田县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖南省永州市新田县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题（原卷版+解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：伍雪辉（瑞华学校） 审题人：尹成平（县教研室）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 在0，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A. 0B. C. D.
2. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列命题中，是假命题的是（ ）
A. 两点之间，线段最短B. 对顶角相等
C. 直角的补角仍然是直角D. 同旁内角互补
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A B. C. D. 0.13133
6. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
7. 用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（ ）
A. 9B. 7C. 2D. 1
8. 下面是“作一个角使其等于”尺规作图方法.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A. 三边分别相等的两个三角形全等
B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
9. 下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
10. 已知如图，等腰，，，于点.点是延长线上一点，点是线段上一点，下面的结论：①；②；③是等边三角形④.其中正确的是（）
A. ①③④B. ①②③C. ①③D. ①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 要使分式有意义，则应满足的条件是________．
12. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD周长是 _____ ．
13. 在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：．已知关于的不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是______．

14. 已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____．
15 若，则________．
16. 若整数使关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为______．
三、解答题（本大题共9个小题，第17，18，19题，每题6分，第20，~21题，每题8分，第22，23题，每题9分，第24，~25题，每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣．
18. 先化简，再求值： ，其中
19. 解分式方程：．
20. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．

21. 陈同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：．
（2）求两堵木墙之间的距离．
22. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少?
23. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式
子的平方，如
善于思考的小明进行了以下探索：
设其中a、b、m、n均为整数，
则有．
∴，．
这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______；______．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数填空：______+______（______+______）．
（3）若，a、m、n均为正整数，求a的值．
24. 【定义】
若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”． 例如：不等式的解都不是不等式 的解， 则 是 的“相斥不等式”．
【应用】
（1）在不等式①，②， ③这三个一元一次不等式中， 是的“相斥不等式”的有 （填序号）；
（2）若关于的不等式是的“相斥不等式”，同时也是 的“相斥不等式”， 求的取值范围；
（3）若是关于的不等式是非零常数）的“相斥不等式”，求的取值范围．
25. 如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形？
（3）当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
湖南省永州市新田县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题
满分：120分 考试时量：120分钟
命题人：伍雪辉（瑞华学校） 审题人：尹成平（县教研室）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 在0，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数的比较大小，熟练掌握实数比较大小的规则即可．根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，判断即可．
【详解】解：因为和大于0，小于0，
所以最小，
故选：C．
2. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可．
【详解】解：．
故选：B．
3. 下列命题中，是假命题的是（ ）
A. 两点之间，线段最短B. 对顶角相等
C. 直角的补角仍然是直角D. 同旁内角互补
【答案】D
【解析】
【分析】根据线段、对顶角、补角、平行线的性质判断即可．
【详解】解：A、两点之间，线段最短，是真命题；
B、对顶角相等，是真命题；
C、直角的补角仍然是直角，是真命题；
D、如果两直线不平行，同旁内角不互补，所以同旁内角互补，是假命题；
故选：D．
【点睛】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根的运算，熟练掌握二次根四则运算法则是解题的关键．
根据二次根四则运算法则计算并判定即可．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意；
B、，计算错误，故选项不符合题意；
C、，计算错误，故选项不符合题意；
D、，计算正确，故选项符合题意．
故选：D．
5. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D. 0.13133
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数结合立方根的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、是无理数，符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是有理数，不符合题意；
D、0.13133是有理数，不符合题意；
故选A．
6. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答．
【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意．
故选：A．
7. 用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（ ）
A. 9B. 7C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边关系，解题关键是明确三角形三边关系，求出第三边的取值范围；
先求出第三边的取值范围，再找到符合题意的选项即可．
【详解】解：一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，
则这根小木棒的长度范围是大于2，小于8，符合题意的只有B选项，
故选：B
8. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A. 三边分别相等的两个三角形全等
B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
【解析】
【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.
本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.
【详解】解：根据上述基本作图，可得，
故可得判定三角形全等的依据是边边边，
故选A.
9. 下列数中，能使不等式成立x的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到，以此判断即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴符合题意的是A
故选A．
10. 已知如图，等腰，，，于点.点是延长线上一点，点是线段上一点，下面的结论：①；②；③是等边三角形④.其中正确的是（）
A. ①③④B. ①②③C. ①③D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；
②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；
③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；
④首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP．
【详解】解：①如图，连接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°−∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正确；
②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；
③∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，
∴∠APC＋∠DCP＝150°，
∵∠APO＋∠DCO＝30°，
∴∠OPC＋∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°−（∠OPC＋∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形；故③正确；
④如图，在AC上截取AE＝PA，连接PB，
∵∠PAE＝180°−∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO＋∠OPE＝60°，
∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP；故④正确；
本题正确结论有：①③④，
故选A.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 要使分式有意义，则应满足的条件是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于列式计算即可得解．
【详解】由题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查分式有意义的条件，解题的关键是理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．
12. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 _____ ．
【答案】12．
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵直线DE垂直平分BC，
∴，
∴△ABD的周长，
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13. 在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：．已知关于的不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是______．

【答案】
【解析】
【分析】根据题中新运算规则列出关于x的不等式，然后解不等式，由数轴得到不等式的解集，进而得到关于k的方程求解即可．
【详解】解：由得，则，
由数轴得不等式的解集为，
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式、解一元一次方程、数轴，理解题中新定义运算规则，能从数轴上得到不等式的解集是解答的关键．
14. 已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____．
【答案】40°或100°
【解析】
【分析】分∠A为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：当∠A为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40°；
当∠A为三角形底角时，则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°；
故答案为：40°或100°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．
15. 若，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
16. 若整数使关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为______．
【答案】
【解析】
【分析】先化分式方程为整式方程并求解，再进行讨论求得所有a的值，最后将所有符合条件a的值相加即可．
【详解】解：两边都乘以，得
，
解得，且，即
∵整数使关于的分式方程的解为整数，
∴或，即或或，
当时，；
当时，；
当时，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程求解的能力，关键是能准确运用数形结合思想和数学讨论思想进行求解．
三、解答题（本大题共9个小题，第17，18，19题，每题6分，第20，~21题，每题8分，第22，23题，每题9分，第24，~25题，每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣．
【答案】2-
【解析】
【分析】分别根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣
=1+-1+2-2
=2-．
【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则是解答此题的关键．
18. 先化简，再求值： ，其中
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
=
=
=，
当时，原式=．
19. 解分式方程：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
分式方程变形后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
20. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．

【答案】不等式组的解集为：．画图见解析
【解析】
【分析】先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，从而可得答案．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴，
在数轴上表示其解集如下：

∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，掌握不等式组的解法与步骤是解本题的关键．
21. 陈同学用10块高度都是相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：．
（2）求两堵木墙之间的距离．
【答案】（1）见解析 （2）两堵木墙之间的距离为
【解析】
【分析】此题主要考查了全等三角形判定与性质的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
（1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可；
（2）利用全等三角形的性质进行解答．
【小问1详解】
解：由题意得：，
，
，
，
在和中，

【小问2详解】
解：由（1）知，
，，
又根据题意由图可得：，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
22. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少?
【答案】（1）购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；（2）购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；购进甲种农机具7件，乙种农机具3件；（3）购进甲种农机具5件，乙种农机具5件所需资金最少，最少资金为10万元．
【解析】
【分析】（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，然后根据题意可得，进而求解即可；
（2）由（1）及题意可得购进乙种农机具为（10-m）件，则可列不等式组为，然后求解即可；
（3）设购买农机具所需资金为w万元，则由（2）可得，然后结合一次函数的性质及（2）可直接进行求解．
【详解】解：（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，由题意得：
，
解得：，
答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元．
（2）由题意得：购进乙种农机具为（10-m）件，
∴，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的值为5、6、7，
∴共有三种购买方案：
购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；购进甲种农机具7件，乙种农机具3件；．
（3）设购买农机具所需资金为w万元，则由（2）可得，
∵1＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=5时，w的值最小，最小值为w=5+5=10，
答：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件所需资金最少，最少资金为10万元．
【点睛】本题主要考查一次函数、二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，熟练掌握一次函数、二元一次方程组及一元一次不等式组的应用是解题的关键．
23. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式
子的平方，如
善于思考的小明进行了以下探索：
设其中a、b、m、n均为整数，
则有．
∴，．
这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n式子分别表示a、b，得：______；______．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数填空：______+______（______+______）．
（3）若，a、m、n均为正整数，求a的值．
【答案】（1），
（2）4，2，1，1（答案不唯一）
（3）a的值为7或13
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，
（1）根据上面的例子，将，按完全平方展开，可得出答案；
（2）由（1）可写出一组答案，不唯一；
（3）将展开得出，由题意得，，再由a、m、n均为正整数，可得出答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，；
故答案为：，．
【小问2详解】
解：由（1）可得，，，；
故答案为：4，2，1，1（答案不唯一）．
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，，
∵a、m、n均为正整数，
∴，，或，，；
∴a的值为7或13．
24. 【定义】
若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”． 例如：不等式的解都不是不等式 的解， 则 是 的“相斥不等式”．
【应用】
（1）在不等式①，②， ③这三个一元一次不等式中， 是的“相斥不等式”的有 （填序号）；
（2）若关于的不等式是的“相斥不等式”，同时也是 的“相斥不等式”， 求的取值范围；
（3）若是关于的不等式是非零常数）的“相斥不等式”，求的取值范围．
【答案】（1）①③ （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的技能和“相斥不等式”的定义是解题的关键．
（1）根据“相斥不等式”的定义即可求解；
（2）根据“相斥不等式”的定义可得，，解不等式组即可求解；
（3）先“相斥不等式”的定义可得，然后求出不等式的解集为，然后得到，解关于k的不等式即可．
【小问1详解】
解：∵的解都不是的解，
∴是的“相斥不等式”；
∵的解有可能是的解，
∴不是的“相斥不等式”；
∵的解都不是的解，
∴是的“相斥不等式”；
故选①③；
【小问2详解】
解：解不等式得，
解不等式得，
解不等式得，
根据“相斥不等式”的定义得，
解得：；
【小问3详解】
解：∵是关于的不等式的“相斥不等式”，
∴，
解不等式得，
∴，
解得：．
25. 如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形？
（3）当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
【答案】（1）
（2）点M、N运动4秒时，可得到等边；
（3）当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时M、N运动的时间为16秒．
【解析】
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键．
（1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边，然后表示出，长，由于等于，所以只要，就是等边三角形；
（3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值．
【小问1详解】
解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，
得方程，
解得,
答：点M、N运动12秒时，M、N两点重合；
【小问2详解】
解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①，
，，
是等边三角形，
，
解得，
∴点M、N运动4秒时，可得到等边．
【小问3详解】
解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，
情况一：
设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，
，
解得：；
即12秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形；
情况2：
如图②，假设是等腰三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形，
，，，
即，
解得：．
综上所述，故假设成立．
∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，
此时M、N运动的时间为16秒．
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
（2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；
（3）过点作射线，则.

（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
（2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；
（3）过点作射线，则.