山东省临沂第三中学2024-2025学年高一下学期2月底验收考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省临沂第三中学2024-2025学年高一下学期2月底验收考试数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了 已知集合，则， 已知命题， 设，若，则， 已知，且，则的最小值为， 设函数，的零点分别为，则等内容，欢迎下载使用。
数学
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知命题：“，则的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3. 设，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. 6D. 8
5. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直径为的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”.若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为（ ）
A. B. C. D. .
7. 设函数，的零点分别为，则
A. B. C. D.
8. 已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知某扇形纸片的周长和圆心角分别为44和2，则（ ）
A. 该扇形纸片的半径为12B. 该扇形纸片的半径为11
C. 该扇形纸片面积为121D. 该扇形纸片的面积为125
10. 设x>0，y>0，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数f（x）=3x+3﹣x的最小值为2
B 不等式恒成立
C. 函数的最小值
D. 若，则x+2y的最小值是
11. 函数，下列四个选项正确的是（ ）
A. 是以为周期的函数B. 的图象关于直线对称
C. 在区间，上单调递减D. 的值域为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是第二象限内的角，，则__________.
13. 若幂函数在上单调递减，则实数________．
14. 若则函数的最小值为________．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 设命题：实数满足，其中，命题：实数满足.
（1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
16. 计算以下的值：
（1）；
（2）；
（3）化简：已知，求.
17. 已知函数，函数.
（1）求函数解析式；
（2）试判断函数在区间上的单调性，并证明；
（3）求函数的值域.
18. 已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有．
（1）求，；
（2）判断并证明在上的单调性；
（3）解不等式．
19. 已知函数．
（1）若为偶函数，求实数的值；
（2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
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2024—2025学年下期高一2月份月底验收考试
数学
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得集合，再根据集合交集的概念及运算即可求解.
【详解】，.
故选：C.
2. 已知命题：“，则的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】的否定是“”.
故选：.
3. 设，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分和两种情况解方程即可求解.
【详解】由题意可知，
当时，，所以由得；
当时，，所以由得，无解.
综上，.
故选：C.
4. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当时，的最小值为8.
【详解】由可得：
；
当且仅当，即当时，等号成立.
即的最小值为8.
故选：D.
5. 在平面直角坐标系中，若角终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值得到，从而利用诱导公式和三角函数定义求出答案.
【详解】因为，故角的终边经过点，
所以.
故选：D.
6. 如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直径为的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”.若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为（ ）
A. B. C. D. .
【答案】C
【解析】
【分析】利用扇形面积公式即可求得每个扇环形小拼盘的面积.
【详解】如图，
设小圆的圆心为，则，
设，每个扇环形小拼盘对应的圆心角为，
则的长为，解得，
所以每个扇环形小拼盘的面积为
.
故选：C
7. 设函数，的零点分别为，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在同一坐标系中作出、、的图像，即可得，于是有，由对数的运算及对数函数的性质即可求得答案.
【详解】解：由题意可得是函数的图像和的图像的交点的横坐标，是的图像和函数的图像的交点的横坐标，且都是正实数，如图所示：
故有，故，
∴，
∴，∴.
故选：B．
8. 已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数单调性求函数值域，利用对应关系可得有两个不相等的正实数根，结合判别式和韦达定理可得结果.
【详解】因为在上为增函数，在上为减函数，
所以在为增函数，
所以函数在区间上的值域为，
所以，整理得，
所以为方程的两根，即有两个不相等的正实数根，
所以，解得且，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题考查函数与方程综合问题，具体思路如下：
（1）分析函数的单调性，可得在为增函数，函数在区间上的值域为.
（2）根据值域的对应关系可得为方程的两根，即一元二次方程有两个不相等的正实数根，利用判别式和韦达定理可求得实数的取值范围.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知某扇形纸片周长和圆心角分别为44和2，则（ ）
A. 该扇形纸片的半径为12B. 该扇形纸片的半径为11
C. 该扇形纸片的面积为121D. 该扇形纸片的面积为125
【答案】BC
【解析】
【分析】设该扇形的半径为，弧长为，根据题意列式求，进而可得面积.
【详解】设该扇形半径为，弧长为，
则，解得，
所以该扇形的面积.
结合选项可知AD错误，BC正确.
故选：BC.
10. 设x>0，y>0，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数f（x）=3x+3﹣x的最小值为2
B. 不等式恒成立
C. 函数的最小值
D. 若，则x+2y的最小值是
【答案】BD
【解析】
【分析】利用基本不等式求解最小值，判断命题的真假即可.
【详解】解：函数f（x）=3x+3﹣x≥2，当且仅当x=0时，取等号，所以表达式没有最小值，所以A不正确；
不等式≥4=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以命题是真命题，所以B正确.
函数=≤，所以当x=1时，函数取得最大值，所以C不正确；
若，则x+2y=（x+1+2y+2）（+）﹣3= ≥2，当且仅当y=3﹣2，x=4时，表达式的最小值是，所以D正确.
故选：BD.
11. 函数，下列四个选项正确的是（ ）
A. 是以为周期的函数B. 的图象关于直线对称
C. 在区间，上单调递减D. 的值域为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知解析式得，，特殊值法判断是否相等判断A；根据所得解析式判断关系判断B；根据正余弦函数的性质判断C、D.
【详解】由解析式得，，（注意函数是连续的），
显然，显然不是的周期，A错；
当时，，。
所以，结合上述解析式知，
当时，，。
所以，结合上述解析式知，
所以的图象关于直线对称，B对；
由，，
又在上单调递减，C对；
当，时，，
当，时，，
所以的值域为，D对.
故选：BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是第二象限内的角，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出、，再由两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为是第二象限内的角，，
所以，则，
则.
故答案为：
13. 若幂函数在上单调递减，则实数________．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的性质及区间单调性列方程、不等式求参数值.
【详解】由题意.
故答案为：
14. 若则函数的最小值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】结合图象可得答案.
【详解】
如图，函数在同一坐标系中，
且，所以在时有最小值，即.
故答案为：1.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 设命题：实数满足，其中，命题：实数满足.
（1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把代入，求出命题为真命题范围，再求出公共部分即得.
（2）求出命题为真命题的范围，再充分不必要条件的意义列式求解即得.
【小问1详解】
当时，不等式为，解得，即，
由，得，即，
由和都是真命题，得，
所以实数的取值范围是.
【小问2详解】
由，，得，即命题，由（1）知命题，
因为是的充分不必要条件，因此或，解得或，即，
所以实数的取值范围是.
16. 计算以下的值：
（1）；
（2）；
（3）化简：已知，求
【答案】（1）
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）利用指数运算法则计算可得结果；
（2）根据对数运算法则直接计算即可；
（3）利用诱导公式化简可得，再将其代入计算可得结果.
【小问1详解】
原式
.
【小问2详解】
原式.
【小问3详解】
由，得，
即，
所以.
17. 已知函数，函数.
（1）求函数的解析式；
（2）试判断函数在区间上的单调性，并证明；
（3）求函数的值域.
【答案】（1）
（2）在区间上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）用换元法先求出，再代入已知求出的解析式即可.
（2）用函数单调性的定义证明即可，设，作差通分计算即可.
（3）分和时用基本不等式求出结果即可，注意取等号的条件.
【小问1详解】
令，则，
，
，即，
.
【小问2详解】
函数在区间上单调递增.
证明：任取，
则，
又，
，即，
函数在区间上是增函数.
【小问3详解】
当时，，
当且仅当时，等号成立.
当时，，
当且仅当时，等号成立.
的值域为.
18. 已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有．
（1）求，；
（2）判断并证明在上的单调性；
（3）解不等式．
【答案】（1），
（2）在上单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）令，可得出的值，令可得出的值；
（2）判断出函数为上的减函数，利用函数单调性的定义可证得函数为上的减函数；
（3）分析可得出，将所求不等式变形为，解得，计算得出，则，再利用函数的单调性可得出关于实数的不等式（组），即得出原不等式的解集.
【小问1详解】
因为函数满足对一切实数、都有成立，
令可得，可得，
令可得.
【小问2详解】
函数在上单调递减，证明如下：
设，则，又，
所以，可得，
所以当时，，
任取、且，则，，
则
，即，
因此，函数在上单调递减.
【小问3详解】
由（2）可知，函数在上为单调递减函数，
令，可得，所以，
因为，
令，
由
得，即，解得，
可得，
因为，，
所以不等式等价于，
因为函数在上单调递减，则，
对于不等式，即显然成立，
对于不等式，即，解得，
因此，原不等式的解集为.
【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性化归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
19. 已知函数．
（1）若为偶函数，求实数的值；
（2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数得，解得，再用定义法进行证明；
（2）记，判断出在上单调递增，列不等式组求出实数a的取值范围；
（3）先判断出在上单调递增且，令，把问题转化为问题转化为在上有两不同实数根，令，利用图象有两个交点，列不等式求出实数m的取值范围．
【小问1详解】
定义域为，
因为为偶函数，所以，
即，
即，解得：，
此时，定义域为R，
且，
所以为偶函数，符合题意，
所以；
【小问2详解】
当时，，
不等式，即，
可化为：，
即对任意恒成立，
记，只需，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，所以，
所以，解得：，
即实数的取值范围为；
【小问3详解】
当时，在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，且，
则可化为，
又因为在上单调递增，所以，
换底得：，
即，
令，则，
问题转化为在上有两不同实数根，
即有两不同实数根，
令，
分别作出图象如图所示：
故在上有两根，只需，解得：，
即实数的取值范围为．