山东省临沂第三中学2024-2025学年高二下学期3月份月考 数学试题【含答案】

这是一份山东省临沂第三中学2024-2025学年高二下学期3月份月考 数学试题【含答案】，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知n!(n−2)!=Cn3，则n的值为( ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
2.曲线fx=x6+3x−1在0,−1处的切线与坐标轴围成的面积为( )
A. 16B. 32C. 12D. 36
3.函数y=x4−4x+3在区间[−2,3]上的最小值为( )
A. 72B. 36C. 12D. 0
4.函数fx=ex2x2的图象大致为( )
A. B. C. D.
5.同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有( )
A. 32种B. 128种C. 64种D. 256种
6.已知a∈R，设函数fx=x2−2ax+2a x⩽1x−alnx x>1若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（） A. 0,1 B. 0,2 C. 0,e D. 1,e
7.12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )
A. C 82A 32B. C 62A 66C. C 82A 52D. C 82A 62
8.若关于x的不等式sinx−x≥ax，对x∈0,π恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. −∞,−1B. −∞,1C. −∞,−4πD. −∞,4π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. −3是函数y=f(x)的极值点
B. −1是函数y=f(x)的最小值点
C. y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增
D. y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零
10.下列判断正确的为( )
A. 从4名男同学和3名女同学中选出2人，则至少有1名女同学的选法有12种
B. 如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1>a2，且a20，则下列说法正确的是( )
A. ef(1)f(0)C. 2f(ln2)ef(1)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.C22+C32+C42+…+C112= .(用数字作答)
13.若函数fx=ax2+x−lnx存在增区间，则实数a的取值范围为 ．
14.在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好8个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去A，B，C三个不同的新节目，且插进来的三个新节目按A，B，C顺序出场，那么共有 种不同的插入方法.(用数字作答)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设函数fx=x3−3x2−9x+8．
求f(x)在x=1处的切线方程；
(2)求f(x)在[−2,4]上的最大值和最小值．
16.(本小题15分)
已知7A6x=20A7x−1，x∈N+．
(1)求x的值；
(2)求C2020−x+C17+xx−1的值．
17.(本小题15分)
某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课
(1)如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？
(2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？
(3)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？
18.(本小题17分)
设函数f(x)=x22−klnx，k>0．
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1, e]上仅有一个零点．
19.(本小题17分)
设f(x)=(k−1)ex−x−k+1．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当x>0时，f(x)>0恒成立，求k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了组合数，属于基础题．
利用组合数公式计算即可．
【解答】
解：由已知得nn−1n−2!n−2!=nn−1n−23!，
化简整理得n−2=6，即n=8．
故选B．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查求曲线上一点的切线方程，属于中档题．
运用导数求得切线方程，再求得切线与两坐标轴的交点，进而可求得三角形面积．
【解答】
解：由fx=x6+3x−1，
则f′x=6x5+3，
∴f′0=3，
所以fx在0,−1处切线的方程为y=3x−1，
令x=0，得y=−1，
令y=0，得x=13，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为12×1×13=16．
故选：A．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，属于基础题．
求导并判断函数的单调性，即可得出结论．
【解答】
解：因为y′=4x3−4，令y′=0即4x3−4=0，解得x=1，
当x0，
所以函数在[−2,1]上单调递减，在(1,3]上单调递增，
所以函数的极小值为y|x=1=0，
所以ymin=0．
故选D．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，涉及函数的奇偶性，利用导数研究该函数的单调性，属于中档题．
根据奇偶函数的定义，判断函数奇偶性，利用导数研究该函数的单调性，可得答案．
【解答】
解：f(x)=e|x|2x2，则函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
因为f(−x)=e|−x|2(−x)2=e|x|2x2=f(x)，
故函数fx为偶函数，图象关于y轴对称，排除C，D；
f(x)=e|x|2x2=ex2x2,x>0e−x2x2,x0e−x−x−22x3,x0恒成立；
当x0，f(x)=x2−2ax+2a≥0⇔2a≥x2x−1恒成立，
令g(x)=x2x−1=−x21−x=−(1−x−1)21−x=−(1−x)2−2(1−x)+11−x=−(1−x+11−x−2)≤−(2 (1−x)⋅11−x−2)=0，
当且仅当x=0时取等号，
∴2a≥g(x)max=0，∴a≥0．
当x>1时，f(x)=x−alnx≥0⇔a≤xlnx恒成立，
令ℎ(x)=xlnx，则ℎ′(x)=lnx−x⋅1x(lnx)2=lnx−1(lnx)2，
当x>e时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增，
当11x2−1x，
当x>0时，1x2−1x=(1x−12)2−14⩾−14，
所以2a>−14，
因此实数a的取值范围是．
故答案为：．
14.【答案】165
【解析】【分析】
本题考查组合问题，分类加法计数原理，属于中档题．
【解答】
解：8个不同节目产生9个空． ①选出1个空排列A，B，C，有C91=9种方法; ②选出2个空排列A，B，C，有C92× 2=72种方法; ③选出3个空排列A，B，C，有C93=84种方法.综上，共有9+72+84=165种不同的插入方法．
15.【答案】解：(1)由题意知，f(1)=−3，即切点为(1,−3)，
又f′(x)=3x2−6x−9，所以f′(1)=−12，
所以f(x)在x=1处的切线方程为：y+3=−12(x−1)，即12x+y−9=0;
(2)f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)，
令f′(x)e时，f(x)在区间(0, e)上单调递减，且f(1)=12>0，f( e)=e−k21时，由f′(x)=(k−1)ex−1=0，解得x=ln1k−1，
当x0，
∴f(x)在(−∞,ln1k−1)单调递减，在(ln1k−1,+∞)上单调递增，
综上，k≤1时，函数在R上是减函数，无单调增区间；
k>1时，函数在(−∞,ln1k−1)单调递减，在(ln1k−1,+∞)上单调递增；
(2)由(1)知，若k≤1时，f(x)在x∈(0,+∞)无最小值，所以f(x)>0不恒成立；若k>1时，①当k≥2时，ln1k−1≤0，
所以函数f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)=0，
即当x>0时，f(x)>0恒成立；
②当10恒成立，必须且只需2−k+ln(k−1)>0即可，
令g(x)=2−x+ln(x−1)，10时，根据ln 1k−1与0的大小关系再进行分类讨论，当k≥2时，ln1k−1≤0，利用函数的的单调性，结合f(0)=0可知符合题意.当1