江苏无锡市东林中学2024-2025学年七下数学第4周阶段性训练【含答案】

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A．55种B．45种C．40种D．30种
2．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H；下列结论中正确的结论有（ ）
①∠DBE＝∠F；
②∠F＝（∠BAC﹣∠C）；
③2∠BEF＝∠BAF+∠C；
④∠BGH＝∠ABE+∠C．
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
3．现有长度分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12的木棒各一根，从中选出若干根，首尾顺次连接构成一个等边三角形．等边三角形的边长为a，则a的所有可能的值有（ ）种．
A．21B．22C．25D．26
4．如图所示，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则（ ）
A．∠A＝∠1+∠2B．∠A＝（∠1+∠2）
C．∠A＝（∠1+∠2）D．∠A＝（∠1+∠2）
5．三个内角的度数都是质数的三角形的种数（三个内角的度数对应相等的两个三角形视为一种）是（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．7条长度均为整数的线段a1，a2，…，a7满足a1＜a2＜…＜a7，且这7条线段中的任意三条线段都不能构成三角形，若a1＝1，a7＝21，则a6＝（ ）
A．18B．13C．8D．5
7．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝60°，∠D＝20°，则∠P的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
8．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．其中正确的结论是（ ）
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③
二．填空题（共7小题）
9．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P．设∠CAD、∠CBD、∠C、∠D的度数依次为a、b、c、d，用仅含其中2个字母的代数式来表示∠P的度数： ．
10．在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是 cm．
11．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，有以下三个结论：
①以，，为边长的三角形一定存在；
②以a2，b2，c2为边长的三角形一定存在；
③以|a﹣b|+1，|b﹣c|+1，|c﹣a|+1为边长的三角形一定存在．
其中正确结论的序号为 ．
12．将长度为25cm的细铁丝折成边长都是质数（单位：cm）的三角形，若这样的三角形的三边的长分别是a，b，c，且满足a≤b≤c，则（a，b，c）有 组解，所构成的三角形都是 三角形．
13．已知如图，∠3+∠5+∠7＝200°，则∠1+∠2+∠4+∠6+∠8＝ ．
14．已知△ABC的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 ．
15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD+∠ACD＝ °．
三．解答题（共5小题）
16．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？
17．（1）如图①，凹四边形ABDC形似圆规，这样的凹四边形称为“规形”，易证∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
（2）如图②，在凹四边形ABDC中，已知∠ABD与∠ACD的平分线交于点E．求证：∠E＝.
18．小明把一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，求∠α+∠β的度数．
19．平面内，四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，∠ABC＝24°，∠ADC＝42°．
（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小；
（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD的平分线交于点N（如图2），则∠ANC＝ ．
20．给定n（n＞4）条线段，已知用其中任意的n﹣1条线段均可作成一个n﹣1边形．求证：可用其中的某三条线段为边作成一个三角形．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：当2边长分别为10，10时，第3边可取1，2，3，4，5…9，10，这样的三角形有10种；
当2边长为10，9时，第3边可取2，3，4，5，…9，这样的三角形有8种；
当2边长为10，8时，第3边可取3，4，5，6，7，8，这样的三角形有6种；
当2边长为10，7时，第3边可取4，5，6，7，这样的三角形有4种；
当2边长为10，6时，第3边可取5，6，这样的三角形有2种；
这样的三角形共有10+8+6+4+2＝30（组）．
故选：D．
2．【解答】解：∵BD⊥AC，FH⊥BE，
∴∠FEB+∠F＝90°，∠FEB+∠DBE＝90°，
∴∠DBE＝∠F，故①正确；
∵∠C+∠ABC+∠BAC＝180°，
∴∠C+2∠ABE+∠BAC＝180°，
∴∠C+2∠DBE+2∠ABD+∠BAC＝180°，
∴∠C+2∠F+180°﹣2∠BAC+∠BAC＝180°，
∴∠F＝（∠BAC﹣∠C），故②正确；
③∵∠BAF＝∠C+∠ABC，
∴∠BAF＝∠C+2∠EBC，
∴∠BAF+∠C＝2∠C+2∠EBC，
∵∠C+∠EBC＝∠BEF，
∴∠BAF+∠C＝2∠BEF；故③正确；
④∠BGH＝∠FGD＝90°﹣∠F＝∠BEF＝∠C+∠EBC＝∠C+∠ABE，故④正确；
故选：D．
3．【解答】解：木棒总长度为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12＝78，
∵78÷3＝26，
∴最大只能组成边长为26的等边三角形，
∵1+2+3+4+5＝15，15÷3＝5，
∴最小只能组成边长为5的等边三角形，
∴等边三角形的边长为a的所有可能的值有22种，
故选：B．
4．【解答】解：根据折叠及邻补角的性质，得
∠1＝180°﹣2∠ADE，∠2＝180°﹣2∠AED，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠ADE+∠AED），
∴∠ADE+∠AED＝[360°﹣（∠1+∠2）]＝180°﹣（∠1+∠2），
∴在△ADE中，由内角和定理，得
∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣180°+（∠1+∠2）＝（∠1+∠2）．
故选：B．
5．【解答】解：∵三个内角的和是180°，是一个偶数，
∴三个内角中必要一个内角是偶数，
又∵三角形三个内角的度数都是质数，既是偶数又是质数的只有2，
∴这三个内角中必定有一个内角等于2°，
∴共有以下7种情况：
①2°，5°，173°；
②2°，11°，167°；
③2°，29°，149°；
④2°，41°，137°；
⑤2°，47°，131°；
⑥2°，71°，107°；
⑦2°，89°，89°．
故选：A．
6．【解答】解：不能构成三角形，那么前两个数之和小于或等于第三个数字，
最小的a1是1，情况如下：
1，2，3，5，8，13，21，34满足条件
若a1＝1，a7＝21，
则a6＝13．
故选：B．
7．【解答】解：延长AC交BD于点E，
设∠ABP＝α，
∵BP平分∠ABD，
∴∠ABE＝2α，
∴∠AED＝∠ABE+∠A＝2α+60°，
∴∠ACD＝∠AED+∠D＝2α+80°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠ACD＝α+40°，
∵∠AFP＝∠ABP+∠A＝α+60°，
∠AFP＝∠P+∠ACP
∴α+60°＝∠P+α+40°，
∴∠P＝20°，
故选：B．
8．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝∠C，故①正确；
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，
∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），
∴∠AEF＝∠AFE，故②正确；
∵∠ABE＝∠CBE，
∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误；
∵∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：C．
二．填空题（共7小题）
9．【解答】解：∵∠BFA＝∠PAC+∠P，∠BFA＝∠PBC+∠C，
∴∠PAC+∠P＝∠PBC+∠C．
∵∠CAD、∠CBD、∠C、∠D的度数依次为a、b、c、d．
∴a+∠P＝b+c ①．
同理：b+∠P＝a+d ②．①式+②式，得.2∠P＝c+d，∴∠P＝．
故答案为：．
10．【解答】解：∵在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20cm，
∴设AB＝AC＝x cm，则BC＝（20﹣2x）cm，
∴，
解得5cm＜x＜10cm，
故答案为：5＜x＜10
11．【解答】解：不妨设a≤b≤c，则必有a+b＞c，
①+＞＞，此结论正确；
②设a＝3，b＝4，c＝5，则a2，b2，c2构不成三角形，此结论不正确；
③|a﹣b|+1+|b﹣c|+1≥|a﹣c|+2＞|c﹣a|+1，∴以|a﹣b|+1，|b﹣c|+1，|c﹣a|+1为边长的三角形一定存在，此结论正确．
故其中正确结论的是①③两个．
故答案为：①③．
12．【解答】解：∵a+b+c＝25，a+b＞c，
∴c＜12.5．
∵a≤b≤c，a+b+c＝25，
∴c≥
∴≤c＜12.5．
∵c为质数，
∴c为11．
∵a，b，c均为质数，a≤b≤c．
∴a、b的值可能为2，3，5，7，11中的一个，
①当c＝11，a＝2时，b＝12不符合条件；
②当c＝11，a＝3时，b＝11符合条件；
③当c＝11，a＝5时，b＝9不符合条件；
④当c＝11，a＝7时，b＝7符合条件；
所以满足条件的三角形共有2个，边长分别为：3，11，11或7，7，11，都是等腰三角形．
故答案为：2，等腰．
13．【解答】解：如图，连接AB、BC、CD．
∵（∠3+∠9+∠10）+（∠5+∠11+∠12）+（∠7+∠13+∠14）＝180°×3＝540°，
∴（∠3+∠5+∠7）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14）＝540°，
∵∠3+∠5+∠7＝200°，
∴∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14＝540°﹣200°＝340°．
∵五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴540°＝∠1+∠2+∠9+∠10+∠4+∠11+∠12+∠6+∠13+∠14+∠8
＝（∠1+∠2+∠4+∠6+∠8）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14）
＝（∠1+∠2+∠4+∠6+∠8）+340°，
∴∠1+∠2+∠4+∠6+∠8＝540°﹣340°＝200°．
故答案为200°
14．【解答】解：设△ABC的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为 ，，，
根据题意得+＞且+＞，
解得4＜h＜，
而h为整数，
所以h的最大值为6．
故答案为6．
15．【解答】解：∵∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝20°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝×50°＝25°，
∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°，
∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°．
故答案为：75．
三．解答题（共5小题）
16．【解答】解：设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c．
∵a+b+c＝30，a+b＞c
∴10＜c＜15
∵c为整数
∴c为11，12，13，14
∵①当c为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10，6；14，9，7；
②当c为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9，8；
③当c为12时，有2个三角形，分别是：12，11，7；12，10，8；
④当c为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9；
∴各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个．
17．【解答】证明：（1）延长BD交AC于点H，如图：
∵∠BDC为△CDH的一个外角，
∴∠BDC＝∠DHC+∠C，
又∵∠DHC为△ABH的一个外角，
∴∠DHC＝∠A+∠B，
∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
（2）∵∠ABE＝∠DBE＝x，∠ACE＝∠DCE＝y，
∴∠ABD＝∠ABE+∠DBE＝2x，∠ACD＝∠ACE+∠DCE＝2y，
由（1）可知：∠D＝∠A+∠ABD+∠ACD，∠E＝∠A+∠ABE+∠ACE，
即：∠D＝∠A+2（x+y），∠E＝∠A+x+y，
∴2∠E＝2∠A+2（x+y），
∴2∠E﹣∠D＝∠A，
∴∠E＝．
18．【解答】解：如图，
∵∠α＝∠1+∠D，∠β＝∠4+∠F，
∴∠α+∠β＝∠1+∠D+∠4+∠F，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，
∴∠α+∠β
＝∠2+∠D+∠3+∠F
＝∠2+∠3+30°+90°
＝90°+30°+90°
＝210°．
19．【解答】解：（1）法一：如图1，设AD与BC交于点F，BC与AM交于P，AD与CM交于Q，设∠CFD＝x°，则∠AFB＝∠CFD＝x度，
△CFD中∠BCD＝180°﹣∠ADC﹣∠CFD＝180°﹣42°﹣x＝138°﹣x，
∵CM平分∠BCD得到：
∠BCM＝∠BCD＝69°﹣x，
同理：∠BAM＝∠MAD＝78°﹣x，
在△ABP中利用三角形内角和定理得到：
∠APB＝180°﹣24°﹣（78°﹣x）＝78°+x，
则∠CPM＝∠APB＝180°﹣24°﹣（78°﹣x）＝78°+x，
在△CPM中三内角的和是180°，
即：（69°﹣x）+（78°+x）+∠AMC＝180°，
则∠AMC＝33°；
法二：由外角定理知∠AFC＝∠B+∠BAD＝24°+∠BAD，∠AFC＝∠D+∠FCD＝42°+∠FCD，
∴∠BAD＝∠AFC﹣24°，∠FCD＝∠AFC﹣42°，由燕尾模型可知，∠AFC＝∠MAF+∠MCF+∠M．
∴∠M＝∠AFC﹣∠MAF﹣∠MCF＝∠AFC﹣∠BAD﹣∠FCD＝∠AFC﹣（∠AFC﹣24°）﹣（∠AFC﹣42°）＝33°
（2）设AD、BC交于点F，设∠AFB＝x°，设AN与BC交于点R，（见图2）
∠EAD＝∠B+∠AFB＝24°+x，则∠RAD＝∠EAN＝12°+x，
∵∠AFB＝∠ARF+∠RAD，
∴∠ARB＝∠CRN＝∠EAN﹣∠B＝x﹣12°，
又∵由（1）可知∠BCN＝69°﹣x，
在△CNR中利用三角形内角和定理：
（x﹣12°）+（69°﹣x）+∠ANC＝180°，
解得∠ANC＝123°．
法二：因为∠DAE的平分线和∠BCD的平分线交于点N，
∴∠DAN＝∠DAE＝（180°﹣∠BAD）＝90°﹣∠BAD，
∠NCD＝∠BCD＝（∠B+∠BAD﹣∠D）＝（24°+∠CFD﹣42°）＝∠BAD﹣9°，
根据燕尾模型，∠ANC＝∠DAN+∠NCD+∠D＝90°﹣∠BAD+∠BAD﹣9°+42°＝123°
20．【解答】证明：设a1，a2，a3，a4，…，an﹣2，an﹣1，an表示题设的n条线段，
不妨假设：a1＜a2＜a3＜a4＜…＜an﹣2＜an﹣1＜an，
假设所给的n条线段中任意三条均不能构成三角形，则有：
a3≥a1+a3，a4≥a2+a3，a5≥a3+a4，…，an≥an﹣2+an﹣1，
将上面的不等式相加得：a3+a4+a5+…+an≥a1+a3+a2+a3+a3+a4+…+an﹣2+an﹣1，
即：an≥a1+a2+a3+a4+…+an﹣2+an﹣1，
∴an≥a1+a2+a3+a4+…+an﹣2，
∴an，a1，a2，a3，a4，…，an﹣2这n﹣1条线段为边不能构成一个n﹣1边形，则与已知相矛盾，
∴假设所给的n条线段中任意三条均不能构成三角形是错误的．
因此：可用其中的某三条线段为边作成一个三角形．