人教版 (2019)必修 第二册1 圆周运动导学案

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学习目标
1.了解圆周运动、匀速圆周运动的特点。
2.理解线速度、角速度的物理意义。了解转速、周期等概念。会对它们进行定量计算。
3.知道线速度、角速度、周期之间的关系。
4.会分析常见传动装置中各物理量间的关系。
知识点一 描述圆周运动的物理量及其关系

闹钟与手表为什么会有上述快慢之争？提出你的看法，和同学进行讨论。
1.线速度
(1)定义：物体做圆周运动通过的 与所用 之比。
(2)定义式：v＝ 。
(3)标矢性：线速度是 ，其方向为物体做圆周运动时该点的 方向。
(4)物理意义：描述质点沿圆周运动 的物理量。
(5)匀速圆周运动
①定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处 的圆周运动。
②性质：线速度的方向是时刻变化的，所以匀速圆周运动是一种 运动。
2.角速度
(1)定义：如图所示，物体在Δt时间内由A运动到B。半径OA在这段时间内转过的 与所用时间 叫作角速度，用符号 表示。
(2)表达式：ω＝ 。
(3)国际单位：弧度每秒，符号 。
(4)物理意义：角速度是描述物体绕圆心转动快慢的物理量。
3.周期
(1)周期：做匀速圆周运动的物体，运动 所用的时间，用T表示，国际单位制单位为秒(s)。
(2)转速：物体转动的 与所用时间之比，叫作转速，常用符号 表示，单位为 或 。
4.线速度与角速度的关系
(1)关系式：v＝ 。
(2)两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度的大小与半径的 。
(3)推导
【思考】
1.有同学说转动快即角速度大的物体，线速度一定大，这个同学的说法对吗？
2.匀速圆周运动是线速度不变的圆周运动吗？
3.做匀速圆周运动的物体在相等的时间内位移相同吗？速度的变化量相同吗？
例1 质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是( )
A.因为v＝ωr，所以线速度大小v与轨道半径r成正比
B.因为ω＝eq \f(v,r)，所以角速度ω与轨道半径r成反比
C.因为ω＝2πn，所以角速度ω大小等于π的整数倍
D.因为ω＝eq \f(2π,T)，所以角速度ω与周期T成反比
训练1汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的车轮半径约为30cm，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120km/h”上，可估算出该车车轮的转速约为（ ）
A．1000r/s B．1000r/min
C．1000r/h D．2000r/s
训练2如图所示，地球可看成是一个质量分布均匀的球体，地球上的物体均随地球自转做匀速圆周运动。已知石家庄的纬度约为，则位于赤道和石家庄的物体P、Q随地球自转的角速度、线速度之比分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例2 (多选)甲、乙两个做圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法正确的是( )
A.它们的半径之比为2∶9
B.它们的半径之比为1∶2
C.它们的周期之比为2∶3
D.它们的周期之比为1∶3
训练1“灯光表演”中，同学们用投影仪把校徽图案投到教学楼的墙壁上。现将投影过程简化为如图所示，投影仪放置在水平地面上，与教学楼相距，此时校徽图案距离地面，正在沿竖直方向以的速度上升。此时投影仪转动的角速度约为（ ）
A．B．
C．D．
训练2如图所示为地球的理想示意图，地球环绕过南北极的轴自转，O点为地心，P、Q分别为地球表面上的点，分别位于北纬60°和北纬30°。则P、Q的线速度大小之比为 ，P、Q的转速之比为 。
例3 做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动了100 m，求该物体做圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度；
(3)周期。
(1)控制变量法是解决物理问题的一种重要研究方法，一定要注意哪些物理量是不变的。
(2)圆周运动的联系方程要熟练记忆，v＝eq \f(2πr,T)＝ωr＝2πnr。
(3)各物理量之间的关系
①当半径r一定时，由v＝ωr知线速度v与角速度ω成正比。
②当角速度ω一定时，由v＝ωr知线速度v与半径r成正比。
③当线速度v一定时，由v＝ωr知角速度ω与半径r成反比。
训练1如图所示为一同学正在荡秋千的简化示意图。O为圆周运动的圆心，绳上两点的线速度大小和角速度大小分别用和表示。在荡秋千的过程中（不包括最高点位置），下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
训练2如图所示，MN杆绕M点在竖直平面内匀速转动，并带动套在固定光滑竖直杆OQ上的小环向下运动，某一时刻小环运动到P点时速度正好为v，。已知，则MN杆的角速度大小为（ ）
A．B．
C．D．
知识点二 两类传动模型
科技馆的科普器材中常有如图所示的匀速率的传动装置，在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮。若齿轮的齿很小，大齿轮的半径(内径)是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮匀速转动时，小齿轮的角速度与大齿轮角速度的关系如何？
同轴转动和皮带传动比较
例4 (2024·安徽宿州高一期中) “共享单车”是目前中国规模最大的近距离交通代步工具，为我们提供了方便快捷、低碳环保、经济实用的交通服务。如图所示是一辆共享单车，A、B、C三点分别为单车轮胎和大、小齿轮外沿上的点，其中RA＝2RB＝5RC，下列说法中正确的是( )
A.A点与B点的线速度满足vA＝2vB
B.A点与C点的线速度满足vC＝vA
C.B点与C点的角速度满足2ωB＝5ωC
D.A点与B点的角速度满足2ωA＝5ωB
(1)在解决既有皮带传动又有同轴转动问题时，首先要明确各点的关系是同轴转动还是皮带传动，其次要明确各点的半径。
(2)利用线速度和角速度的关系写方程，联立求解。
训练1如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3。若甲轮的角速度为ω1。则丙轮的角速度为（ ）
A．B．C．D．
训练2 如图为某一皮带传动装置，主动轮M的半径为r1，从动轮N的半径为r2，已知主动轮做顺时针转动，转速为n1，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是（ ）
A．从动轮做顺时针转动B．从动轮的角速度为
C．从动轮边缘线速度大小为n1D．从动轮的转速为n1
例5 (多选)(人教版P26 T1改编)如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A.a、b两点的角速度相同
B.a、b两点的线速度相同
C.若θ＝45°，则a、b两点的线速度大小之比va∶vb＝eq \r(2)∶2
D.若θ＝45°，则a、b两点的周期之比Ta∶Tb＝eq \r(2)∶2
训练1如图所示，A为轮边缘上的一点，为半径的中点，在轮转动过程中，线速度大小之比为（ ）
A．1:2B．C．1:4D．
训练2如图所示为脚踏自行车的传动装置简化图，甲、乙两轮同轴且无相对转动，传动链条在各轮转动中不打滑，A、B、C分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，则（ ）
A．周期B．线速度
C．角速度D．向心加速度
知识点三 圆周运动的周期性和多解性
例6 (2024·浙江大学附属中学高一期中)如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O水平向右为x轴的正方向。在圆心O正上方距盘面高为h处有一个可以间断滴水的容器，从t＝0时刻开始随传送带沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。已知容器在t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时后一滴水开始下落。水滴下落过程空气阻力不计，重力加速度为g，求：
(1)第一滴水离开容器到落至圆盘所用时间t；
(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一条直线上，求圆盘转动的角速度ω。
训练1某射击游戏道具如图（a）所示，将圆形转筒十等分后间隔排列五片弧形薄板，其余位置留空，俯视图如图（b）所示。已知转筒直径d＝1m，角速度ω＝8πrad/s，小德用玩具手枪瞄准中轴线随机打出一枪，弹丸可认为做水平匀速直线运动且速度v1＝20m/s，弹丸穿过薄板后速度会减半，忽略空气阻力和弹丸穿过薄板所需时间，下列说法正确的是（ ）
A．薄板上各点线速度相同
B．薄板上一定会留下一个弹孔
C．若增大角速度，薄板上至少会留下一个弹孔
D．若减小角速度，薄板上至少会留下一个弹孔
训练2如图所示，直径的纸筒以转速绕轴O逆时针匀速转动，从玩具枪枪口发射的子弹（可视为质点）沿直径穿过圆筒。若子弹在圆筒上只留下一个弹孔，则圆桶转动的角速度为 rad/s；子弹穿过纸筒的最大平均速度为 m/s。（）
例7 如图所示，在同一竖直平面内有A、B两物体，A物体从a点起以角速度ω沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动，同时B物体从圆心O自由下落，要使A、B两物体在d点相遇，重力加速度为g，求角速度ω必须满足的条件。
解决圆周运动的周期性和多解性问题时应注意
(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。
(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动，匀速直线运动等)。
(3)运动关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量。
(4)分析技巧
①抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。
②先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。
训练1如图所示，夜晚时电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪光60次，风扇转轴O上装有3个相同的扇叶，它们互成120°角。当风扇匀速转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转动角速度最小值为（ ）
A．40πrad/sB．40rad/s
C．120πrad/sD．120rad/s
训练2如图所示在半径为的水平圆盘中心轴正上方点水平抛出一小球，圆盘以角速度匀速转动，当圆盘半径方向恰好转到与小球初速度方向相同的位置时，将小球抛出，要使小球与圆盘只碰一次，且落点为，重力加速度为，对于小球抛出点距圆盘的高度和小球的初速度的可能取值错误的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
基础练习
1.(描述圆周运动的物理量及其关系)(多选)火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°。在此10 s时间内，火车( )
A.运动路程为600 m B.加速度为零
C.角速度约为1 rad/s D.弯道半径约为3.4 km
2.(两类传动模型)(2024·山东潍坊高一期中)电脑硬盘内电机主轴的旋转速度以每分钟多少转表示，单位表示为rpm(转/每分钟)。若一硬盘转速为7 200 rpm，盘片半径为95 mm，在该硬盘正常工作时( )
A.盘片的周期为eq \f(1,3 600) s
B.盘片的角速度大小为7 200π rad/s
C.盘片上边缘某点的线速度大小为22.8π m/s
D.盘片上边缘某点的线速度大小为11.4π m/s
3.(圆周运动的周期性和多解性)(多选)(2024·江西省直属学校高一联考)为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，A、B平行相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min(从左往右看是逆时针转动)，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角是30°，如图所示。则该子弹的速度大小可能是( )
A.360 m/s B.57.6 m/s
C.1 440 m/s D.108 m/s
4.如图所示为某计算机上的硬磁盘的磁道和扇区。电动机使盘面匀速转动，盘面上有A、B两点，则A、B两点周期TA、TB的关系为（ ）
A．TA=TBB．TA>TBC．TA＜TBD．无法判断
5.（多选）打水漂是民间小朋友喜爱的一种娱乐项目。用扁型瓦片或石片，用力旋转飞出，石片擦水面飞行，利用物体的惯性和旋转时具有定轴性，触水面后受水作用而弹起，石片将不断在水面上向前弹跳直至沉水，来比较石头飞行的距离或点击水面的次数。假设一块圆饼形石头被扔出后，某段时间内平行水面绕其中心以ω匀速旋转的同时以v向前匀速运动，该段时间内说法正确的是（ ）
A．石头的边缘各点线速度大小相等
B．石头向前运动距离为s时，共旋转了圈
C．石头每旋转一圈将前进的距离为
D．石头的半径为
对点题组练
题组一 描述圆周运动的物理量及其关系
1.(多选)质点做匀速圆周运动，则( )
A.在任何相等的时间里，质点的位移都相同
B.在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C.在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D.在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
2.(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，下列说法正确的是( )
A.角速度为0.5 rad/s B.转速为0.5 r/s
C.运动轨迹的半径为eq \f(4,π) m D.频率为0.5 Hz
3.(多选)A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比为sA∶sB＝2∶3，转过的角度之比ΔθA∶ΔθB＝3∶2，则下列说法正确的是( )
A.它们的运动半径之比rA∶rB＝2∶3
B.它们的运动半径之比rA∶rB＝4∶9
C.它们的周期之比TA∶TB＝2∶3
D.它们的转速之比nA∶nB＝2∶3
题组二 两类传动模型
4.风能是一种绿色能源，如图所示，叶片在风力推动下转动，带动发电机发电，M、N为同一个叶片上的两点，下列判断正确的是( )
A.M点的线速度小于N点的线速度
B.M点的角速度小于N点的角速度
C.M点的转速大于N点的转速
D.M点的周期大于N点的周期
5.(2024·福建三明高一下期中)如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺上的三个点，当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )
A.a、b和c三点的线速度大小相等
B.c的线速度比a、b的线速度大
C.a、b的角速度比c的角速度大
D.a、b和c三点的角速度相等
6.某机器的齿轮系统如图所示，中间的轮叫做太阳轮，它是主动轮，从动轮称为行星轮。太阳轮、行星轮与最外面的大轮彼此密切啮合在一起，如果太阳轮一周的齿数为n1，行星轮一周的齿数为n2，当太阳轮转动的角速度为ω时，最外面的大轮转动的角速度为( )
A.eq \f(n1,n1＋2n2)ω B.eq \f(n2,n1＋2n2)ω
C.eq \f(n1,n1－n2)ω D.eq \f(n2,n1－n2)ω
7.如图，带车牌自动识别系统的直杆道闸，离地面高为1 m的细直杆可绕O在竖直面内匀速转动。汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为2.3 s，自动识别系统的反应时间为0.3 s；汽车可看成高1.6 m的长方体，其左侧面底边在aa′直线上，且O到汽车左侧面的距离为0.6 m，要使汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为( )
A.eq \f(π,6) rad/s B.eq \f(3π,8) rad/s
C.eq \f(π,8) rad/s D.eq \f(π,12) rad/s
题组三 圆周运动的周期性和多解性
8.(多选)如图所示，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪45次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角。当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是( )
A.600 r/min B.900 r/min
C.1 200 r/min D.1 800 r/min
综合提升练
9.(多选)在如图所示的皮带传动装置(传动皮带紧绷且运动中不打滑)中，主动轮O1的半径为r1，从动轮有大小不一的两个轮且固定在同一个轴心O2上，半径分别为r3、r2，已知r3＝2r1，r2＝1.5r1，A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则当整个传动装置正常工作时，下列选项正确的是( )
A.A、B、C三点的周期之比为1∶2∶2
B.A、B、C三点的线速度大小之比为4∶4∶5
C.A、B、C三点的角速度大小之比为2∶1∶2
D.A、B、C三点的角速度大小之比为2∶1∶1
10.如图所示，如果把钟表上的时针、分针、秒针的运动看成匀速圆周运动，那么，从分针与秒针第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为( )
A.eq \f(59,60) min B.1 min
C.eq \f(60,59) min D.eq \f(61,60) min
11.一汽车发动机的曲轴每分钟转2 400周，求：
(1)曲轴转动的周期与角速度；
(2)距转轴r＝0.2 m的点的线速度大小。
12.有一款手摇削笔器如图所示，手柄的BO段长为l，AB段长为d。一位同学转动手柄削铅笔，在时间t内匀速转动了n圈。
(1)写出手柄A处角速度和线速度大小的表达式；
(2)一款日常所用削笔器的手柄长BO约为5 cm，1 min大约转60圈，请计算手柄转动的角速度和线速度的大小。
13.如图所示，半径为R的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。子弹（可视为质点）以大小为的水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上，不计空气阻力及圆筒对子弹运动的影响，重力加速度大小为g，圆筒足够长，下列说法正确的是（ ）
A．子弹在圆筒中的运动时间为
B．若仅改变圆筒的转速，则子弹可能在圆筒上只打出一个弹孔
C．圆筒转动的周期可能为
D．两弹孔的高度差为
14.如图所示，某遥控玩具车从O点开始沿着竖直圆弧轨道做匀速圆周运动，运动至C点时沿切线抛出，恰能落在A点。已知B为圆弧轨道的圆心三点共线，。轨道半径为。忽略空气阻力，重力加速度为，玩具车的大小相对斜面长度忽略不计，则玩具车做匀速圆周运动的角速度大小为（ ）
A．B．C．D．
培优加强练
15.(多选)如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，设子弹射穿圆筒时速度大小不变，空气阻力不计，重力加速度为g，则( )
A.子弹在圆筒中的水平速度为v0＝deq \r(\f(g,2h))
B.子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2deq \r(\f(g,2h))
C.圆筒转动的角速度可能为ω＝2πeq \r(\f(g,2h))
D.圆筒转动的角速度可能为ω＝3πeq \r(\f(g,2h))
16.某同学以自行车的齿轮传动作为探究学习的课题，该同学通过观察发现，自行车在水平地面上直线行驶时（不打滑），自行车的大齿轮与小齿轮通过链条相连，后轮与小齿轮绕共同的轴转动，后轮半径为R。如图所示，测得大齿轮的半径为、小齿轮的半径为、自行车后轮的半径为R，若测得在时间t内大齿轮转动的圈数为N，求：
（1）大齿轮转动角速度的大小ω；
（2）假设后轮边缘夹了一块石头，当石头随后轮转到最高点时被水平抛出并落到地面，试求落地点与抛出点的水平距离。
17.如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P在同一竖直面内等高，且距P点的距离为L。在飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘绕经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，求：
（1）圆盘的半径；
（2）圆盘转动角速度的最小值；
（3）P点随圆盘转动的线速度。
项目
同轴转动模型
“皮带传动类”模型
皮带传动
齿轮传动
摩擦传动
装置
A、B两点在同轴的两个圆盘边缘上
两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘的点
两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
两轮靠摩擦传动，A、B两点分别是两轮边缘上的点，传动时两轮没有相对滑动
特点
相等时间内，A、B两点转过的角度相等，所以A、B两点的角速度、周期相等
相等的时间内，A、B两点转过的弧长相等，所以A、B两点的线速度大小相等
转动方向
相同
根据皮带连接方式判断
相反
相反
规律
eq \f(vA,vB)＝eq \f(r,R)
eq \f(ωA,ωB)＝eq \f(r,R)
eq \f(TA,TB)＝eq \f(R,r)
eq \f(ωA,ωB)＝eq \f(r,R)＝eq \f(N2,N1)，eq \f(TA,TB)＝eq \f(R,r)＝eq \f(N1,N2)。(N1、N2为大、小轮的齿数)
eq \f(ωA,ωB)＝eq \f(r,R)
eq \f(TA,TB)＝eq \f(R,r)