（暑假班）新高一数学(人教A版)暑假讲义5.5 对数函数（2份，原卷版+解析版）

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1对数函数的概念
函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是.
解释
函数中系数为，底数是不为正实数的常数，真数为变量.
【例】判断下列函数是否为对数函数:
(1) (2) (3) (4)
解 (1)不是，对数式后加了；(2)不是，真数不是；(3)不是，系数不为；(4)是.
2 图像与性质
可与指数函数就函数的定义域、值域、单调性等函数性质进行比较学习.
【例1】画出函数和的图象，说下他们的函数性质.
解

：定义域是，值域是，在上递增，非奇非偶函数;
：定义域是，值域是，在上递减，非奇非偶函数.
与关于轴对称.
3 对数型函数模型
形如，且；，且)的函数称为对数型函数．

【题型1】 对数函数的概念
【典题1】 已知对数函数的图象经过点，试求的值．
解析 设且，
对数函数的图象经过点，．．
, ．
.
变式练习
1.已知对数函数，则函数解析式为 .
答案
解析 设且，
则，解得，
所以．
2.函数的定义域是 .
答案 或
解析 由,解得或，故答案是或。
【题型2】 对数函数的图象以及性质
【典题1】 如图所示的曲线是对数函数的图象．已知从中取值，则相应曲线，，，的值依次为( )
A． B． C． D．
解析 由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，的底数的底数的底数的底数．故相应于曲线，，，的底数依次是．

变式练习
1.函数与函数的图象的交点的个数为( )

答案
解析 分别画出函数(红色曲线)与函数(蓝色曲线)的图象，如图所示
由图象可知，函数与函数的图象的交点的个数有个，
故选：.
2.函数 ( )
A．是偶函数，在区间上单调递增 B．是偶函数，在区间上单调递减
C．是奇函数，在区间上单调递增 D．是奇函数，在区间上单调递减
答案
解析 函数定义域为，而，所以该函数为偶函数，
在上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增；故选.
3.函数的大致图象是( )
． ． ．．
答案
解析 函数，
当时，的图象是函数的图象向左平移个单位得到的；
当时，的图象与函数的图象关于直线对称，
函数的大致图象是．
4.已知函数，下列命题中所有正确的序号是 ．
(1)函数的定义域和值域均为；
(2)函数在单调递减，在单调递增；
(3)函数的图象关于轴对称；
(4)函数为偶函数；
(5)若，则或．
答案 (2)(4)(5)
解析 函数，故有，，
故定义域为，故(1)不正确．
由函数在单调递减，在单调递增，可得
函数在单调递减，在单调递增，故(2)正确．
由于函数的定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故(3)不正确．
由于函数，其图象关于轴对称，故是偶函数，故(4)正确．
由，则有，故，
或，
或，故(5)正确，
故答案为(2)(4)(5)．
【题型3】对数函数的应用
【典题1】 设，则的大小关系是( )

解析 ，
．故选：．
【典题2】 不等式的解集为 .
解析
，解得或.
【典题3】 已知，，求的最大值及相应的．
解析 ，，
且定义域为．
令．
在区间上是增函数，．
从而要求在区间上的最大值，
只需求在区间上的最大值即可．
在上是增函数，
当，即时，．
综上可知，当时，的最大值为．

变式练习
1.若，则( )
答案
解析 ，；
．故选：．
2.已知在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是( )
答案
解析 在上为单调递增函数；
；解得，；
实数的取值范围为．故选：．
3.设，，则下列叙述正确的是( )
．若，则 B．若，则
．若，则 D．若，则
答案
解析 与均为增函数，
故在上为增函数，
故，
即，
即，
故选：．
4.不等式的解集为 .
答案 或
解析
,解得或.
5.函数的值域是 .
答案
解析
内层函数的值域变, 而=在是减函数，故
函数=的值域是， 故应选．
6.已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)求使的的取值范围．
答案 (1) (2) 奇函数 (3) 当时，；当时，.
解析 (1)由，得，故函数的定义域为．
(2) ，
又由(1)知函数的定义域关于原点对称，
函数是奇函数．
(3)当时，由，得，解得；
当时，
由，得，解得．
故当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是.
7.已知函数，其中．
(1)求函数的值域；(2)求函数的单调区间．
答案
解析 (1)，
令，
则，
当时：，
当时：
函数的值域为：；
(2)由在为增函数，并由(1)知，
在为减函数，在为增函数，
即当时，此时，为减函数；
当时，此时，为增函数．
综上：单调减区间为：，单调增区间为：．

1.若函数的图象如图，其中为常数．则函数的大致图象是( )
． ．． ．
答案
解析 由函数的图象为减函数可知，
的图象由向左平移可知，
故函数的大致图象是，故选.
2.已知，函数与函数的图象可能是( )
A．B．C．D．
答案
解析 ，则
从而，
函数与函数的单调性是在定义域内同增同减
结合选项可知选.
3.设，则的大小关系为( )

答案
解析 ，
的大小关系为．
故选：．
4.函数的值域为，则实数的取值范围为( )
答案
解析 令，因为函数的值域为，
所以的值域包含．
①当时，，值域为，成立．
②当时，要使g(x)的值域包含(0，+∞)，则，解得，
综上，．
故选：．
5.若实数互不相等，且满足，则( )
．以上三个答案都不正确
答案
解析 设，则，，
由指数函数图象与对数函数图象的关系易得：，，
故选：．
6.已知，则 .
答案
解析 令，则，所以，即．所以．
7.函数的定义域是 .
答案 或
解析 由,解得或，故答案是或.
8.设函数，若函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
答案
解析 时，，时，，
函数的值域为，，
实数的取值范围是．
9.若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 .
答案
解析 当时，，
所以要使方程在区间上有解，只需即可，
解得或，所以实数的取值范围是．
10.关于函数有下列说法：
(1)函数的图象关于轴对称；
(2)函数的最小值是；
(3)当时，是增函数，当时，是减函数；
(4)在区间上是增函数；
(5)无最大值，也无最小值．
其中正确的命题序号是 ．
答案 (1)(2)(4)
解析 函数，，
故函数为偶函数，其图象关于轴对称；故(1)正确；
当时，函数取最小值，无最大值，故(2)正确，(5)错误；
当时，，在上为减函数，在上是增函数；
当时，，在上为减函数，在上是增函数；
故(3)错误，(4)正确；
故答案为：(1)(2)(4)．
11.已知函数，．
(1)求函数的定义域；
(2)当时，总有成立，求的取值范围．
答案 (1) (2)
解析 (1)由题意可知：，
且，即，
所以函数的定义域是；
(2)由题意可知，
设，则有 ；
当时有：，即，
则有，则，
故而，；
；
又由题意可得：，
.
高中要求
1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然（常用)对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；
2通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点;
3知道指数函数 和对数函数互为反函数.
图像
定义域
值域
过定点
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
变化对图像的影响
在第一象限内，越大图象越靠低；
在第四象限内，越大图象越靠高．