（暑假班）新高一数学(人教A版)暑假讲义5.3 指数函数（2份，原卷版+解析版）

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1 指数函数概念
一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.
注
（1）指数函数且中系数为，底数是不为的正实数的常数，指数是变量.注意与幂函数的区别，如是指数函数，是幂函数.
（2）指数函数中为什么要限制且呢？
① 若，则对于的某些值无意义，如，此时取等没意义；其函数图象没明显特点；
② 若或时，函数没研究价值.
2 指数函数的图像与性质
【例】画出函数和的图象，说下他们的函数性质.
解

：在上递增，非奇非偶函数，值域是;
：在上递减，非奇非偶函数，值域是.
与关于轴对称.
3 指数型函数模型
形如，且；，且)的函数称为指数型函数．
【题型1】 指数函数的概念
【典题1】 已知指数函数的图象经过点，试求和．
解析 设且，
函数的图象经过点，，解得．
又，则，，
，.
变式练习
1.下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
①；②；③；④；⑤；⑥．
答案 ③
解析 ① 的系数不是，不是指数函数;
② 的指数不是自变量，不是指数函数；
③ 是指数函数；
④ 的底数是不是常数，不是指数函数；
⑤ 的指数不是自变量，不是指数函数；
⑥ 是幂函数.
故答案：③
2. 函数是指数函数，则( )
A．或 B． C． D．且
答案
解析 由指数函数定义知，所以解得．故选.
【题型2】 指数函数的图象与性质
【典题1】 1.如图是指数函数① ②③ ④的图象，则与的大小关系是( )
A． B．
C． D．
答案
解析 当底数大于时指数函数是定义域内的增函数，
当底数大于小于时是定义域内的减函数，可知，大于，，大于小于．
又由图可知，即．，即．
与的大小关系是．
故选：．

变式练习
1.函数的图象的大致形状是( )
A．B．C． D．
答案
解析 是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，
，
时，图象与在第一象限的图象一样，
时，图象与的图象关于x轴对称，
故选：．
2.二次函数与指数函数的交点个数有( )
个 个 个 个
答案
解析 因为二次函数，
且时，，，
则在坐标系中画出与的图象：
由图可得，两个函数图象的交点个数是个，故选．
3.函数的单调递增区间是 ．
答案
解析 设，对称轴为，
则在单调递减，在单调递增，
而，
所以的单调性与的单调性相反，
即在单调递增，在单调递减，
故填：
4.方程有唯一实数解，则的取值范围是________．
答案 或
解析 作出的图象，要使直线与图象的交点只有一个，或.
5.已知函数=，则此函数的值域为 ．
答案 ．
解析 ，
又，，，，，
即．
此函数的值域为．
【题型3】 指数函数的应用
【典题1】 设，则( )
解析 利用幂的运算性质可得，
，，，
再由是增函数，知．
故选：．
【典题2】 已知集合，，则 .
解析 ， ，
集合，
又，.
【典题3】如果函数，且在区间上有最大值，试求的值．
解析 设，则，原函数可化为，其图象的对称轴为．
(1)若，，，
则函数在区间上单调递增，
当时，函数取得最大值，
即，解得或(舍去)．
(1)若，，，
则函数在区间上单调递增，
当时，函数取得最大值，
即，解得或 (舍去)．
综上可知，的值为或．
变式练习
1.已知，．，则这三个数的大小关系为( )

答案
解析 根据指数函数的性质可得：函数的底数小于，是减函数，
，，即．
又，，
，所以，故选：．
2.已知，则( )
答案
解析 是增函数，故，
而，故，故选：．
3.已知，若，则( )
A．B．C．D．
答案
解析 由，；
所以，
所以是定义域上的奇函数，且是增函数；
又，所以，
所以，所以．
故选：．
4.若，则有( )
答案
解析 构造函数，易得函数单调递增，
由，可得
，
故选：．
5.函数的定义域是 .
答案
解析 由得，，解得：，
故函数的定义域是.
6.函数且的值域是，则实数 .
答案 或
解析 当时，函数且是增函数，
值域是， ；
当时，函数且是减函数，
值域是， ．
综上所述，可得实数或.
7.已知函数．
(1)求的定义域； (2)讨论的奇偶性．
答案 （1） （2）
解析 (1)由，得，即，
因此函数的定义域为．
(2)由(1)知，函数的定义域为，关于坐标原点对称，
又，
所以为奇函数．
1.函数的大致图象是( )
A．B．C．D．
答案
解析 ，
当时，的图象是将图象先沿轴对称下来，再沿轴向上平移个单位，此时时的图象在轴上方，且为增函数，渐近线为，
只有项满足题意．故选.
2.如图是指数函数①，②，③，④的图象，则与的大小关系是( )
A． B．
C． D．
答案
解析 设与①②③④的图象分别交于点，如图，则其坐标依次为，，，，由图象观察可得．故选．
3.如果，那么函数的图象在( )
．第一、二、三象限．第一、三、四象限
．第二、三、四象限．第一、二、四象限
答案
解析 ，
的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过，
的图象可看成把 的图象向下平移个单位得到的，
故函数的图象，
经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，
故选：．
4.函数(是自然底数)的大致图象是( )
．．．．
答案
解析 ．根据指数函数的图象与性质可知：应选．
5.已知，=，=，则的大小关系为( )

答案
解析 ，，，则，故选：．
6.函数，，且，则与的大小关系是( )
答案
解析 ，
作出的图象如图所示，
由图可知，要使且成立，则有且，
故必有且，
又，即为，．
故选：．
7.若指数函数的图象经过点，则的解析式为 ．
答案
解析 设且，
因为函数的图象经过点，代入可得，解得或(舍去)．
故．
8.不等式恒成立，则的取值范围是 .
答案
解析 不等式恒成立，即，
亦即恒成立，
则，解得，
故的取值范围是．
9.函数图象过定点，点在直线上，则最小值为 ．
答案
解析 由，令，求得，可得它的图象过定点，
点在直线上，，即．
则．
当且仅当，即时等号成立．
10.已知函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)设函数，求函数的值域．
答案 (1) (2)
解析 (1)点，代入函数的解析式中，
得，两式相比得，
，
，
(2)由(1)可知，
，
设，则
，，则，
在为减函数，
，
函数的值域为．
11.已知函数，
(1)若，求的单调区间；
(2)若有最大值，求的值．
(3)若的值域是，求的取值范围．
答案 (1)递增区间是，递减区间是． (2) (3)
解析 (1)当时，，
令，
由于在上单调递增，在上单调递减，
而在上单调递减，
所以在上单调递减，在上 单调递增，
即函数的递增区间是，递减区间是．
(2)令，，由于有最大值，
所以应有最小值，
因此，解得．
即当有最大值时，的值等于．
(3)由指数函数的性质知，
要使的值域为．
应使的值域为，
因此只能有．
因为若，则为二次函数，其值域不可能为．
故的取值范围是．
高中要求
1了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理指数幂的必要性；
2理解有理指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算;
3理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点;
4在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.
函数名称
指数函数
定义
函数且叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
变化对图
象的影响
在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低．