（暑假班）新高一数学(人教A版)暑假讲义6.4 函数的周期性（2份，原卷版+解析版）

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1 概念
对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么把函数叫做周期函数，常数叫做这个函数的周期.
Eg：
上图是三角函数的图像
① 函数图像可看成由红色那段图像玩“分身术”的向两边延申；
② 红色图像的水平长度为，它就是函数的最小正周期，即；
(思考：是周期么)
③ 整个函数，对于任何，都有.
(简单说来，两个自变量相差，它们对应的函数值均相等)
下面两个图像也是周期函数的图像！他们的周期是什么？最小正周期呢？

2 常见的结论
① 若 ，则的周期是.
② 若 ，则的周期是；
证明 ，所以的周期是.
③ 若，则的周期是.
证明 ，所以的周期是.
【题型1】 求值问题
【典题1】若函数的定义域为，且对一切实数，都有，且，试证明为周期函数．并求出它的一个周期．
证明：函数的定义域为，且对一切实数，都有，且，
，
即为周期函数．
即为函数的一个周期．
变式练习
1.已知函数满足且．证明是周期函数并求出它的一个周期．
证明，
，
是周期函数，
的一个周期是．
2.对函数，当时，，，证明：函数为周期函数．
证明：，，
又，；
故；
故；
故是函数的周期；
故函数为周期函数．
3.定义：对任意实数，表示不超过的最大整数，称为的整数部分，为其相应的小数部分，，函数．
(1)求方程的解；
(2)用周期函数定义证明是周期函数；
答案 (1) (2)略
解析 (1)解：①当时，，由，得，得；
②当时，，由，得，得；
③当时，，由，得；
以此类推，当时，由，得，无解；
当时，方程仍然无解．
综上；
(2)证明：，必存在，有，
则，从而可得，
故，
为周期函数，且；
【题型2】 应用
【典题1】已知奇函数对任意实数满足，当，，则( )
A．B．C．D．
解析 根据题意，函数对任意实数满足，
则函数是周期为的周期函数，
，
又由，则，
则；
故选：．

【典题2】定义在上的奇函数满足，且在上单调递减．若方程在上有实数根，则方程在区间上的所有实数根之和是( )
A．12B．C．D．
答案 A
由，所以，
由是上的奇函数知，
所以，
所以，，
所以是以为周期的周期函数．
考虑的一个周期，例如，
由在上是减函数知在上是增函数，
在上是减函数，在上是增函数．
对于奇函数有，，
故当)时，，当时，，
当时，，当时，，
方程在上有实数根，
则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，
则由于，故方程在上有唯一实数．
在和上，
则方程在和上没有实数根．
从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根．
当，方程的两实数根之和为，
当，方程的所有四个实数根之和为．
故选：．
变式练习
1.若函数是周期为的奇函数，且，则( )
答案 C
依题意，．故选：．
设函数对任意都有且，则( )
答案 B
由，可得，故函数的周期为．
则，
故选：．
3.已知定义在上的奇函数，满足，且在上单调递减，则( )
答案 B
为上的奇函数，且满足，
是以为周期的函数，
，，，
又在区间上单调递减，
，即．
故选：．
4.若定义在实数集上的满足：时，，对任意x∈R，都有成立．等于( )
答案 B
根据题意，对任意，都有成立，则有，
即函数是周期为的周期函数，
则，
时，，当时，有，
则，
故选：．
5.函数的定义域为，且，当时，；当时，，则( )
答案 D
函数的定义域为，且，得函数周期为，
所以
，，，带入上式，得
．
故选：．


1.设是周期为的奇函数，当时，，则( )
答案 A
是周期为的奇函数，当时，，
,
故选：．
2.已知函数满足，且对任意都满足，则的值为( )
答案 D
，，
的周期为，，
又，．
故选：．
3. 设偶函数对任意，都有，且当时，，则 ．
答案
，
函数是以为周期的函数．
当时，，
．
故答案为：．
4.已知定义在上的函数满足，且当时，，则的值为 ．
答案
定义在上的函数f(x)满足，
当时，，
，
．
故答案为：．
5.设函数是定义在上的奇函数，满足，若，，则实数的取值范围是 ．
答案
由，可得，
则，故函数的周期为，
则，
又函数是定义在上的奇函数，，
．
，解得．
实数的取值范围是．
6.定义在上的偶函数满足，且当时，．
(1)证明是周期函数，并求的值；
(2)求函数在区间上的解析式．
答案 (1)证明略， (2) ．
解析 (1)证明：因为定义在上的偶函数满足，
即，
所以，
所以，
即，
所以函数是周期函数，周期为，
又，
所以，
所以；
(2)解：因为当时，，
设，则，
所以，
所以，
由条件可知，，
所以；
当时，，
所以，
由(1)可知，
所以，
所以．
7.设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有，且．
(1)求及)； (2)证明是周期函数．
答案 (1) (2)略
(1)，
又

同理可得
(2)是偶函数，
又关于对称，
这表明是上的周期函数，且是它的一个周期.
高中要求
1 理解函数周期性的概念；
2 掌握求函数的周期性;
3 掌握函数的周期性的应用.