甘肃省陇南市徽县2024－2025学年下学期九年级开学摸底考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份甘肃省陇南市徽县2024－2025学年下学期九年级开学摸底考试数学试题（原卷版+解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题．，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 实数，，0，﹣2中，无理数是（ ）
A. B. C. 0D. ﹣2
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图所示，该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
6. 下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，是⊙O的内接四边形，且，那么等于（ ）
A. 125°B. 120°C. 110°D. 130°
8. 抛物线经过三点，则的大小关系是（ ）
A B. C. D.
9. 下列命题中是假命题的是( )
A. 两直线平行，同旁内角互补B. 同位角相等，两直线平行
C. 若a∥b，a⊥c，那么b⊥cD. 相等的角是对顶角
10. 如图，点A、B是反比例函数 图象上任意两点，且轴于点D，轴于点C，和 面积之和为6，则k的值为（ ）
A. B. C. 6D. 12
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是___．
12. 已知，则它的补角是_____．
13 计算：______．
14. 如图，无人机与亮亮的水平距离是15米，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为30°，若亮亮身高1.70米，则无人机距离地面的高度为____米．（结果带根号即可）
15. 如图，菱形的对角线的长分别为2和，是对角线上任一点（点不与点、重合），且交于点，交于点，则阴影部分的面积是______．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）．
16. 计算：
17. 如图，正方形中，点，分别为，边上的点，且，连接，求证：．
18. 如图，是直角三角形，．
（1）在上作一点D，使得（要求尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，求的长．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19. 某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢沟通方式”调查问卷（每人必选且只选种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的息解答下列问题：

（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角为 度；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有2000名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
20. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上豆沙月饼的进价比五仁月饼的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的五仁月饼和用6000元购进的豆沙月饼盒数相同．在销售中，该商家发现五仁月饼每盒售价50元时，每天可售出60盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求五仁月饼和豆沙月饼每盒的进价；
（2）设五仁月饼每盒售价x元，y表示该商家每天销售五仁月饼的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
21. 综合与实践
【问题情境】
在一块长，宽矩形荒地上，建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．方案一：如图1．花园四周小路的宽度相等；方案二：如图2．矩形中每个角上的扇形相同．

【数学思考】
（1）求方案一中小路的宽度，设小路的宽度为米，请列出方程，并解答；
（2）求方案二中扇形的半径；（其中，结果保留根号）
【知识迁移】
（3）你还有其他的设计方案吗？请在图3中画出你的设计草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22. 综合与实践：
问题情境：数学活动课上，老师让同学们拿出大小两副三角板，按照如图1所示的方式摆放．其中，，．
问题探究：将三角板绕点B按顺时针方向旋转．

（1）如图2，当点E落在边上时，延长交于点F，试判断与的数量关系，并说明理由；
（2）在图2中，连接，请求出的长度；
（3）如图3，G为的中点，则在旋转过程中，点G到直线的距离的最大值是______．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线ybx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q．
（1）求抛物线函数表达式；
（2）当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；
（3）把抛物线ybx+c沿射线AC方向平移个单位得新抛物线y'，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标．
2024-2025学年第二学期开学摸底考试九年级数学
（满分为120分，考试用时为120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 实数，，0，﹣2中，无理数是（ ）
A. B. C. 0D. ﹣2
【答案】A
【解析】
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【详解】解：A、是无理数，故本选项符合题意；
B、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、﹣2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方与幂的乘方、单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．根据合并同类项、积的乘方与幂的乘方、单项式的乘法法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项正确，符合题意；
故选：D．
3. 如图所示，该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了左视图“从左面观察物体所得到的视图是左视图”，熟练掌握左视图的定义是解题关键．根据左视图的定义即可得．
【详解】解：该几何体的左视图是，
故选：A．
4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集等知识点，熟练掌握如何在数轴上表示不等式的解集是解题的关键．
先求出不等式组的解集，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可得出答案．
【详解】解：，
由可得：，
由可得：，
因而，不等式组的解集为：，
故选：．
5. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可．
【详解】解：．
故选：B．
6. 下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可得．
【详解】解：A、方程根的判别式为，则此项有两个相等的实数根，符合题意；
B、方程根的判别式为，则此项有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、方程根的判别式为，则此项没有实数根，不符合题意；
D、方程根的判别式为，则此项有两个不相等的实数根，不符合题意；
故选：A．
7. 如图，是⊙O的内接四边形，且，那么等于（ ）
A. 125°B. 120°C. 110°D. 130°
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴
∵
∴∠D=180°-∠A=180°-125°=55°，
由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=110°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8. 抛物线经过三点，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的对称性和增减性，熟练掌握有关性质是解题关键．
把二次函数化简成顶点式，对称轴，在对称轴两侧时，三点的横坐标离对称轴越近，纵坐标越小，由此判断，的大小．
【详解】解：，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
，
故选：B．
9. 下列命题中是假命题的是( )
A. 两直线平行，同旁内角互补B. 同位角相等，两直线平行
C. 若a∥b，a⊥c，那么b⊥cD. 相等的角是对顶角
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的性质及判定、对顶角相等直接进行排除选项即可．
【详解】A、根据“两直线平行，同旁内角互补”，故是真命题；
B、根据“同位角相等，两直线平行”，故是真命题；
C、根据平行公理可直接判断是真命题；
D、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，如：“同角的余角相等”，故是假命题．
故选D．
【点睛】本题主要考查判断真假命题、平行线的性质，关键是熟记概念进行排除选项．
10. 如图，点A、B是反比例函数 图象上任意两点，且轴于点D，轴于点C，和 面积之和为6，则k的值为（ ）
A. B. C. 6D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，用含k的式子表示出和 面积之和，即可求解．
【详解】解：点A、B是反比例函数图象上任意两点，
设，，
轴于点D，轴于点C，
，，，，
和 面积之和为6，
，
，
故选A．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是___．
【答案】x≠﹣5
【解析】
【分析】根据使分式有意义的条件即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查使分式有意义的条件．掌握分式的分母不能为“0”是解答本题的关键.
12. 已知，则它的补角是_____．
【答案】108
【解析】
【分析】本题考查了求一个角的补角“和为的两个角互为补角”，熟记补角的定义是解题关键．根据补角的定义求解即可得．
【详解】解：∵，
∴它的补角是，
故答案为：108．
13. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的减法，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．根据分式的减法法则计算即可得．
【详解】解：，
故答案为：．
14. 如图，无人机与亮亮的水平距离是15米，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为30°，若亮亮身高1.70米，则无人机距离地面的高度为____米．（结果带根号即可）
【答案】##
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值求出AB的长，再由矩形的判定和性质，得出BE的长，进而求出AE.
【详解】解：如图所示，由题意得
∠ACB=30°，CD⊥DE，AE⊥DE，
CB=15m，CD=1.7m，
又∠ABC=90°，
∴四边形CDEB为矩形，
∴BE=CD=1.7m，
∵∠ABC=90°，CB=15m，
∴AB=BC×tan30°=5，
∴AE=5+1.7
故答案为：（5+1.7）
【点睛】本题考查了矩形判定和性质以及利用特殊三角函数值求边长，理解题意，作出相应辅助线，利用三角函数求解是解题关键.
15. 如图，菱形的对角线的长分别为2和，是对角线上任一点（点不与点、重合），且交于点，交于点，则阴影部分的面积是______．
【答案】3
【解析】
【分析】可推出，证明四边形AEPF是平行四边形，推出，进而得出阴影部分面积是菱形面积的一半．
【详解】解：设与交于点G，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，图形面积的转换，解决问题的关键是将阴影部分的面积转化为菱形的面积．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）．
16. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】利用零指数幂、负指数幂、45°特殊角的三角函数值计算即可得出结果．
【详解】解：原式
【点睛】本题主要考查了实数的运算，掌握运算法则是解题的关键．
17. 如图，正方形中，点，分别为，边上的点，且，连接，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据正方形的性质得出，，根据已知条件得出，证明，得出，根据等量代换得出，即可得证．
【详解】解：在正方形中，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
18. 如图，直角三角形，．
（1）在上作一点D，使得（要求尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，求的长．
【答案】（1）作图见解析 （2）8
【解析】
【分析】（1）以C为圆心，AC长为半径画弧与AB交于点E，分别以A，E为圆心，大于为半径画弧交点为M，连接CM与AE的交点D即为所求，如图；
（2）由题意得，根据即，计算求解即可．
【小问1详解】
解：以C为圆心，AC长为半径画弧与AB交于点E，分别以A，E为圆心，大于为半径画弧交点为M，连接CM与AE的交点D即为所求，如图；
【小问2详解】
解：∵，
∴
∵即
解得
∴的长为8．
【点睛】本题考查了作垂线，含30°的直角三角形，余弦．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19. 某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的息解答下列问题：

（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角为 度；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有2000名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
【答案】（1）100，108；（2）详见解析；（3）800；（4）．
【解析】
【分析】（1）用喜欢使用电话的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用360°乘以样本中QQ人数所占比例；
（2）先计算出喜欢使用短信和微信的人数，然后补全条形统计图；
（3）先求出喜欢用微信沟通所占百分比，再乘以该校的总人数即可；
（4）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解：（1）这次统计共抽查的学生数是：20÷20%＝100（名），
在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角为：360°×＝108°；
故答案为：100，108；
（2）短信的人数有：100×5%＝5（名），
微信的人数有：100﹣20﹣5﹣30﹣5＝40（人），补全统计图如下：

（3）喜欢用微信沟通所占百分比为：×100%＝40%，
则该校共有2000名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：2000×40%＝800人；
（4）根据题意画图如下：

共有9种等情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，
则甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图和用样本估计总体．
20. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上豆沙月饼的进价比五仁月饼的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的五仁月饼和用6000元购进的豆沙月饼盒数相同．在销售中，该商家发现五仁月饼每盒售价50元时，每天可售出60盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求五仁月饼和豆沙月饼每盒的进价；
（2）设五仁月饼每盒售价x元，y表示该商家每天销售五仁月饼的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【答案】（1）五仁月饼每盒进价40元，豆沙月饼每盒进价30元；（2）y关于x的函数解析式为，且最大利润为800元
【解析】
【分析】（1）设五仁月饼每盒进价x元，则豆沙月饼每盒进价元，然后根据题意可列出分式方程进行求解；
（2）当五仁月饼每盒售价x元时，每天可售盒，进而可得，然后根据二次函数的性质可求解．
【详解】解：（1）设五仁月饼每盒进价x元，则豆沙月饼每盒进价元，
则，
化简得，．解得：．
检验：当时，．
∴是方程解．
∴．
答：五仁月饼每盒进价40元，豆沙月饼每盒进价30元．
（2）当五仁月饼每盒售价x元时，每天可售盒，
∴．
∵，
∴当时，y取最大值800．
答：y关于x的函数解析式为，且最大利润为800元．
【点睛】本题主要考查分式方程及二次函数的应用，熟练掌握分式方程及二次函数的应用是解题的关键．
21 综合与实践
【问题情境】
在一块长，宽的矩形荒地上，建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．方案一：如图1．花园四周小路的宽度相等；方案二：如图2．矩形中每个角上的扇形相同．

【数学思考】
（1）求方案一中小路的宽度，设小路的宽度为米，请列出方程，并解答；
（2）求方案二中扇形的半径；（其中，结果保留根号）
【知识迁移】
（3）你还有其他的设计方案吗？请在图3中画出你的设计草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．
【答案】（1）小路的宽度为2m；（2）扇形的半径为；（3）设计方案说明见解析
【解析】
【分析】（1）利用矩形的面积公式列方程，解答即可；
（2）花园中每个角上的扇形相同，和在一起正好是一个圆，根据圆的面积公式列方程，进行解答，从而求出半径；
（3）答案不唯一，发挥想象，符合要求即可．
【详解】（1）设小路的宽度为，则，
解得或（舍去）.
答：小路的宽度为；
（2）四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为.
故有，
解得，
答：扇形的半径为；
（3）设计方案如图，在正方形的边上取点，

则，
证明：和正方形等底等高，的边上高等于的长，
，
故．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据面积得到相应的关系式是解决本题的关键．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22. 综合与实践：
问题情境：数学活动课上，老师让同学们拿出大小两副三角板，按照如图1所示的方式摆放．其中，，．
问题探究：将三角板绕点B按顺时针方向旋转．

（1）如图2，当点E落在边上时，延长交于点F，试判断与的数量关系，并说明理由；
（2）在图2中，连接，请求出的长度；
（3）如图3，G为的中点，则在旋转过程中，点G到直线的距离的最大值是______．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据锐角三角函数求解即可；
（2）连接，先利用锐角三角函数求得，进而得到，然后在中利用勾股定理求解即可；
（3）取的中点，连接，根据三角形的中位线性质得到，则点G在以点O为圆心，为半径的圆上，过O作于N，利用锐角三角函数求得，进而利用圆的基本知识可求解．
【小问1详解】
解：，理由：
如图2，由题意得，，
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：如图2，连接，

∵，，，
∴，
∴，
∴在中，；
【小问3详解】
解：如图3，取的中点，连接，则，

∵G为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴点G在以点O为圆心，为半径的圆上，
过O作于N，当点G在的延长线上时，点G到的距离最大，如图，

∵，
∴点G到直线的距离的最大值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形、三角形的中位线性质、圆的基本知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，得到点G在以点O为圆心，为半径的圆上是解答的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线ybx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；
（3）把抛物线ybx+c沿射线AC方向平移个单位得新抛物线y'，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标．
【答案】（1）
（2）取得最大值，此时，．
（3），，．
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）运用待定系数法求得直线的解析式为，如图1，过点作轴交于点，设，则，证明，得出：，运用求二次函数最值方法即可得出答案；
（3）设，，分三种情况：①当为的边时，②当为的边时，③当为的对角线时，运用平行四边形性质即可求得答案．
【小问1详解】
抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
抛物线与轴交于点，
，
，
设直线的解析式为，把，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
如图1，过点作轴交于点，
设，则，
，
，
，
，
当时，取得最大值，此时，．
【小问3详解】
如图2，沿射线方向平移个单位，即向右平移1个单位，向上平移2个单位，
新抛物线解析式为，对称轴为直线，
设，，
①当为的边时，
则，，
，
解得：，
；
②当为的边时，
则，，
，
解得：，
；
③当为的对角线时，
则，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为：，，．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．