甘肃省武威市天祝藏族自治县2024-2025学年九年级上学期开学摸底考试数学试题（解析版）

这是一份甘肃省武威市天祝藏族自治县2024-2025学年九年级上学期开学摸底考试数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 一元二次方程的解是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
，
或，
所以，．
故选：C．
2. 二次函数的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】把函数的图象向右平移1个单位，所得函数表达式为，
故选：D．
3. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 任意两个等边三角形都相似B. 任意两个直角三角形都相似
C. 任意两个菱形都相似D. 任意两个矩形都相似
【答案】A
【解析】A、任意两个等边三角形的内角等于，所以任意两个等边三角形都相似，故选项符合题意；
B、任意两个直角三角形有一对直角相等，但直角的夹边不一定成比例，故都任意两个直角三角形不一定相似，故选项不符合题意；
C、任意两个菱形对应角不一定相等，故任意两个菱形不一定相似，故选项不符合题意；
D、任意两个矩形对应边不一定成比例，故任意两个矩形不一定相似，故选项不符合题意．
故选：A．
4. 如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】A
【解析】∵在Rt中，,
∴
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
故选项B,C,D错误，不符合题意；选项 A正确，符合题意；
故选：A
5. 如图，在正边形中，的度数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图，作正边形外接圆，
根据正多边形圆心角定义可知，
∴，
故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意；
故选：C．
6. 已知函数是常数，且图象经过，三点．下列结论：①；②如果，那么；③如果，那么．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】B
【解析】函数，，是常数，且图象经过，，
，
解得，故①正确；
如果为顶点时，抛物线开口向下，
那么时，，故②不正确；
，
，
，
，
，
，故③正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程）
7. 若，则的值为_____．
【答案】
【解析】，
，
．
故答案为：．
8. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.
【答案】4∶9
【解析】∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
9. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______
【答案】
【解析】∵圆锥的底面半径为，母线长为，
∴圆锥的侧面积，
故答案为：．
10. 设是方程的两个实数根．若，则_____．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
故答案为：
11. 一个不透明布袋里只装有n个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n的值为________．
【答案】6
【解析】有n个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），任意摸出一个球是红球的概率为，
∴，
解得，，
检验，当时，原分式方程有意义，
∴n的值为，
故答案为：6 ．
12. 已知点P是线段的黄金分割点（），若的长为4，则的长是________．
【答案】
【解析】由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段,
则．
故答案为：．
13. 如图，在中，，矩形的顶点分别在上，在上．若，则的长为______．

【答案】
【解析】在中，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
又，
，
，
在中，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
故答案为：．
14 如图，直线与直线分别相交于点和点．若，则______．
【答案】13
【解析】过点作，与，分别相交于点，，
，
四边形和四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案：13．
15. 二次函数（a，b，c是常数，且）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是________．
【答案】
【解析】二次函数的图象的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为，
设此二次函数解析式为，
即，
,
，
二次函数可表示为，
当时，，
解得，，
二次函数与轴的交点坐标为，，
，
抛物线开口向上，
当时，，
关于的不等式的解集为．
故答案为：．
16. 如图，经过的中点，点为上动点，过点作的垂线，垂足为．当点旋转一周时，点运动的路程为______．
【答案】
【解析】如图，当与相切时，连接、，则，
，
，
是的中点，
，
，
是等边三角形，
，
延长交于点，取的中点，连接，
于点，
，
，
，，
，
、分别为、的中点，
，
，
当点从点运动到与相切时，点的运动路径为以为圆心、半径为且圆心角等于的圆弧，
当点旋转一周时，点的运动路径为四段半径为且圆心角等于的圆弧，
点运动的路程为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
解：（1）
∴
解得，；
（2）
∴或
解得，．
18. 我国通过药品集中采购，大大减轻了百姓的医药负担．某种药品经过两次降价，药价从每盒200元下调至72元，平均每次降价的百分率是多少？
解：设平均每次降价的百分率是，
根据题意得：，
解得：（舍去）：
答：平均每次降价的百分率是．
19. 深秋建邺，醉人心扉．南京眼，绿博园，银杏里等地，都呈现出浓浓的秋色．小宁，小邺两人分别从这3个景点中选择景点游玩．
（1）若每人选择1个景点，求两人所选景点相同的概率；
（2）若每人选择2个景点，则两人所选景点恰好相同的概率为______．
（1）解：将这3个景点分别记为，，，
列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两人所选景点相同的结果有3种，
两人所选景点相同的概率为．
（2）解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两人所选景点恰好相同的结果有3种，
两人所选景点恰好相同的概率为．
故答案为：．
20. 射击比赛中，甲，乙两人在相同的条件下各射击10次，成绩统计如下：
甲，乙射击成绩统计表
根据以上信息，回答下列问题：
（1）________，__________，__________；
（2）你认为谁的射击成绩更好？为什么？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差将_________（填“变大”，“变小”或“不变”）．
（1）解：由题意知，
；
将乙的10次数据从小到大排列为：6，7，7，7，7，8，9，9，10，10，
中位数；
甲的方差：；
故答案为：8，，；
（2）解：甲的射击成绩更好，
理由：甲，乙两人的平均数相等，甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩更稳定；
（3）解：乙再射击1次，命中8环时，
平均数为：；
方差为：，
乙射击成绩的方差将变小，
故答案为：变小．
21. 已知二次函数与自变量的部分对应值如下表：
（1）______．
（2）求该二次函数的表达式；
（3）当时，的取值范围是______．
（1）解：时，；时，，
抛物线的对称轴为直线，
点和关于直线对称，
；
故答案为：0；
（2）解：设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线解析式为，
即；
（3）解：时，；时，，
而时，有最小值，
当时，的取值范围为．
故答案为：．
22. 如图，在中，弦相交于点，且．求证．
证明：如图，连接，
，
，
由圆周角定理得：，，
，
．
23. 如图，在中，点分别为边的中点，相交于点．求的值．
证明：连接，
点分别是边的中点，
，
．
．
24. 某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）房价定为200元时，则有_______个房间有游客居住；
（2）房价定为多少时，宾馆利润最大？
（1）解：依题意得：（个，故答案为：48；
（2）解：设每个房间定价增加元，
依题意得：所获利润，
当元时，利润最大，（元，
即房价定为350元时，宾馆利润取得最大值．
25. 如图，为的直径，点在上，且点为的中点，过点作于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
（1）证明：如图，连接．
点为的中点，
，
，
，
．
，
．
，
，
为的半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接交于，
，
，，
，
．
，
设的半径为，
，
，
，
解得（负值舍去），
，
，
为的直径，
，
，
四边形是矩形，
．
26. 已知二次函数（为常数，且）．
（1）该函数的图象必经过两个定点______， _____；
（2）若该函数图象与轴只有一个交点，求函数图象的顶点坐标；
（3）若点都在该函数图象上，且，直接写出的取值范围．
（1）解：二次函数（为常数，且），
抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为，
关于直线的对称点也在抛物线上，
该函数的图象必经过两个定点，．
故答案为：，；
（2）解：该函数图象与轴只有一个交点，对称轴为直线，
函数图象的顶点坐标为；
（3）解：点，，都在该函数图象上，且，
①当时，抛物线开口向下，点，在对称轴直线的左侧，在对称轴的右侧符合题意，
，
解得，
②当，抛物线开口向上，，都在对称轴的右侧，，不合题意；
点，，都在该函数图象上，且，
的取值范围是．
27. 在数学中，常常通过构造基本图形帮助我们解决问题．
【基本图形】
（1）如图①，已知，求证．
【灵活应用】
（2）如图②，和中，，，，，求．
【深度思考】
（3）尺规作图：如图③，线段与直线相交于点．在直线上作一点，使得最小（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
（1）证明：，
，，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：作，交于点．
，，
，
，
，，
．
，，
，
，，，
在 中，，即，
；
（3）解：理论依据：
过点作，当点在点左侧时，如图，连接、，
、组成，
是定值，且有特殊值，
构造，连接，如图，
，，
，
要求最小值，即求最小值，
为定值，
求出最大值即可，取中点，当、、共线时，最大，则此时最小，
如图，延长交圆于点，连接并延长交于点即为所求，
尺规作图：
如图，点即为所求，
作法提示：①作交于点；
②以为直径作圆，圆心为，连接并延长交于点；
③连接并延长交直线于点，点即为所求．
平均数
中位数
方差
甲
8
c
乙
8
1.8
0
1
5
0