甘肃省张掖市肃南裕固族自治县2024－2025学年下学期九年级开学摸底考试数学试题 （原卷版+解析版）

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1. －5的相反数是( )
A. B. C. 5D. -5
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【详解】-5的相反数是5．
故选C．
【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键．
2. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意，
故选：D；
【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形．
3. 成语是中国文化的瑰宝，下列成语描述的事件是不可能事件的是（ ）
A. 守株待兔B. 水中捞月C. 旭日东升D. 水涨船高
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，解题的关键是熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可判断．
【详解】解：A、守株待兔是随机事件；
B、水中捞月是不可能事件；
C、旭日东升是必然事件；
D、水涨船高是必然事件；
故选：B．
4. 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（ ）
A. 70°B. 80°C. 110°D. 120°
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似多边形的性质以及四边形内角和求解即可．
【详解】∵ 四边形 ABCD∽ 四边形 EFGH，∠A=80°，∠C=90°，∠F=70° ，
∴∠E=∠A=80°，∠G=∠C=90°
∴∠H=360°−∠E−∠F−∠G=360°−80°−70°−90°=120°
故选D
【点睛】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和，掌握相似多边形的性质是解题的关键．
5. 如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角函数的定义根据定义逐一判断，即可求解；掌握，，是解题的关键．
【详解】解：A.，结论错误，故不符合题意；
B.，结论正确；故符合题意；
C.，结论错误，故不符合题意；
D.，结论错误，故不符合题意；
故选：B．
6. 如图，在中，E是边上一点，与交于点F，若，则与的周长比为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质；由平行四边形的性质，，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解；平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
∴
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
7. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理，依次判断，即可求解，
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理．
【详解】解：A、∵，，
∴，不符合题意，
B、∵，，
∴，不符合题意，
C、根据无法得到，符合题意，
D、∵，
∴，
又∵，
∴，不符合题意，
故选：C．
8. 如图，在中，，高，正方形的一边在上，点分别在，上，交于点，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，四边形是矩形，即得，得到，设，则，由得，据此解答即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，，
∴四边形矩形，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴的长为，
故选：．
9. 如图，为直径，点C在圆上，I为内心，交于点D，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形内心的定义，等腰三角形的判定及性质，三角形中位线定理，圆的基本性质，勾股定理，三角函数，垂径定理等；连接，，与交于，由三角形内心的定义得，，由圆的基本性质及三角形外角的性质得，由等腰三角形的性质得，设，由垂径定理及三角形中位线定理得，由勾股定理得，由正切函数得，，，结合勾股定理求出，由正弦的定义，即可求解；掌握三角形内心的定义，等腰三角形的判定及性质，三角形中位线定理，圆的基本性质，垂径定理，能熟练利用勾股定理及三角函数进行求解是解题的关键．
【详解】解：连接，，与交于，
I为内心，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
是直径，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
故选：D．
10. 我国南宋著名数学家杨辉精研数学，著有《详解九章算法》，对数和式的运算进行了深入研究与总结，运用其中的思想方法，可以解决很多数与式的计算问题.已知，为实数，且，，计算可得:，，，……由此求得（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意求出，进而推出，由此代值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，正确推出是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若四条线段，，，成比例，其中，，，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用比例线段的定义得到a：b=c:d，即a：3=4：6，然后根据比例的性质可求出a的值．
【详解】解：根据题意得a：b=c：d，即a：3=4：6，
所以a==2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，即 a：b=c：d，我们就说这四条线段是成比例线段．
12. 如图，一山坡的坡度，则该坡角的度数______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坡度的定义，特殊角的三角函数值，由定义得，即可求解；掌握是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
13. 如图，在中，点A的坐标为，以原点O为位似中心，在第一象限内，把这个三角形扩大为原来的倍，得到，则点A的对应点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了位似变换的性质，理解在平面直角坐标系中，原点O为位似中心，同向位似变换中放大（或缩小）倍时，坐标变换的变化为是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，
；
故答案为：．
14. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为，看这栋高楼底部C的俯角为，热气球A与高楼的水平距离为120米，这栋高楼的高度为______米（，结果精确到1米）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过作交于，由正切函数得，，即可求解；能熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：过作交于，
，，，
，
，
（米）；
故答案：．
15. 已知在中，，D、E分别在，上，连，交于点F，若，，则的值为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】过作交过作的垂线于，连接，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形是性质得，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，可得，即可求解．
【详解】解：过作交，过点的垂线于，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
设，，
，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，余弦函数，勾股定理等；掌握相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，能构建相似三角形，利用三角函数及勾股定理进行求解是解题的关键．
16. 函数（为常数）有下列结论：①图象具有对称性，对称轴是直线；②当函数最小值为时，；③若时，随的增大而减少，则；④若关于的方程有四个实数根，则这四个根之和一定为，其中正确的结论是______．（填写序号）
【答案】①④
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，由函数解析式可画出二次函数大致图象，根据图象可判断①；由绝对值的性质可得，即得函数最小值为，可知当抛物线经过时，；当抛物线不经过时，，据此可判断②；根据函数图象可判断③；求出方程可判断④，综上即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：∵为常数，对一次函数的对称性不具有影响，
如图，函数的图象具有对称性，对称轴是直线，故①正确；
∵，
∴函数最小值为，此时，
当抛物线经过时，；当抛物线不经过时，，故②错误；
由图象可知，若时，随的增大而减少，则可以取任意实数，故③错误；
若关于的方程有四个实数根，
当时，解得，，
当时，解得，，
∴，故④正确；
∴正确的结论是①④，
故答案为：①④．
三、解答题（共8题，共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值混合运算，把特殊角的三角函数值代入计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：原式
．
18. 如图，在中，，，，求长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形的特征，三角函数，过作交于，由直角三角形的特征和余弦函数得，，由正切函数得，即可求解；掌握解直角三角形的解法是解题的关键．
【详解】解：过作交于，
，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
．
19. 如图，已知，．

（1）求证：：
（2）若，，请直接写出的值．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质；
（1）可得，由两角对应相等的三角形相似，即可得证；
（2）由相似三角形性质得，即可求解；
掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
解得：．
20. 如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用角平分线的性质和等边对等角，证明，即可解答；
（2）根据，可得，求出的长，再利用勾股定理得的长，即可得到的长，最后证明，即可解答．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

，
，
平分，
，
，
，
,
,
是的切线；
【小问2详解】
解：设，则，
，解得，
，
，
根据勾股定理可得，,
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线的定义，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正弦的概念，熟练运用上述性质是解题的关键．
21. 如图，在由单位正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，A、B、C是格点，仅用无刻度的直尺在所给网格中完成作图：
（1）在图1中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段；再在上找一点F，；
（2）在图2中，D为与横格线的交点，先在上取点M，使得；再在上取点N，使得．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查了网格作图，相似三角形的性质，三角形函数等；
（1）按要求旋转作图，取格点、，
作交网格线于，连接交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解；
（2）取格点、，连接交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，再证，由相似三角形的性质得；取格点、，连接交于，连接、， 由相似三角形的判定方法及性质，结合三角形面积得，，即可求解；
能利用相似三角形的性质及三角形函数所要求作的点是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，
线段、点为所求作；
取格点、，
，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：如图，
点、点为所求作．
取格点、，连接交于，
，
，
，
，
同理可证：，
，
，
，
，
；
取格点、，连接交于，连接、，
同理可证：，
，
，
，
，
，
，
．
22. 在2025年毕业季即将到来之际，学校准备开展“筑梦之旅，砥砺前行”活动，小泽同学对会场进行装饰如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．
（1）如图2，两墙、的高度是____________米，抛物线的顶点坐标为____________；
（2）为了使彩带的造型美观，小泽把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离；
（3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小泽现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点M距墙的距离为m米，抛物线的最低点到地面的距离为n米，当时，直接写出m的取值范围为____________．
【答案】（1），
（2）米
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法；
（1）可求出，根据题意得，代入求出解析式，化成顶点式，即可求解；
（2）的顶点为，待定系数法设，将代入，即可求解；
（3）待定系数法可设抛物线的解析式为，将代入，求出，当时，当时，即可求解；
理解横纵坐标的实际意义，能熟练利用待定系数法求解是解题的关键．
【小问1详解】
解：当时，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
顶点坐标为，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由题意得
的顶点为，
可设的解析式为，
在上，
解得：，
解析式为，
当时，
，
，
故点M到地面的距离米；
【小问3详解】
解：，
M到地面的距离提升为3米，
的顶点横坐标为，
抛物线的最低点到地面的距离为n米，
可设抛物线的解析式为，
，
解得：，
当时，
，
解得：，（舍去），
当时，
，
解得：，（舍去），
；
故答案为：．
23. （1）如图1，在中，，，垂足为D，证明：．
（2）如图2，在（1）的条件下，F为线段延长线上一点，连接并延长至点E，连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
（3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点D，满足，，连接并延长至点E，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长（直接写出答案）．
【答案】（1）见详解（2）是直角三角形，理由见详解（3）
【解析】
【分析】（1）由相似形的判定方法得，由相似三角形的性质，即可得证；
（2）同理可证，可得，由相似形的判定方法得，由相似三角形的性质，即可得证；
（3）过作交的延长线于，过作交于，过作交于，可得在直线上运动， 当时，取得最小值，此时与重合，由等腰三角形的判定及性质得，由相似形的判定方法得，由相似三角形的性质，同理可证，求出的长，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
；
（2）是直角三角形；
理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形；
（3）解：如图，过作交的延长线于，过作交于，过作交于,
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
解得：，
是定值，且是定值，
在直线上运动，且，
当时，取得最小值，
此时与重合，
，
，
故当线段的长度取得最小值时，求线段的长为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，垂线段最短，勾股定理等；掌握相似三角形的判定及性质，能找出动点的运动轨迹，能熟练利用相似三角形的判定及性质进行转换及勾股定理进行求解是解题的关键．
24. 如图，抛物线：经过，两点，且与y轴的正半轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，D在第二象限内抛物线上，交于点E，连接，若的面积是面积的2倍，求点D的坐标；
（3）如图2，将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，若，点H与点Q关于x轴对称，点F是对称轴左侧抛物线上一动点，连接交抛物线于点M，连接并延长交抛物线于点N，连接，若直线的解析式为，求k的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）将，两点代入解析式，即可求解；
（2）过作轴交的延长线于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由三角形的面积得，设，，待定系数法求出直线的解析式，将的坐标代入，即可求解；
（3）设，，，由待定系数法得直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，将、的坐标分别代入直线、的解析式，将两式相加整理得， 联立抛物线与直线解析式得，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式：；
【小问2详解】
解：过作轴交的延长线于，
，
，
，
，
，
，，
，
，
解得：，
设，
，
当时，，
，
设直线的解析式：，则有
，
解得：，
直线的解析式：，
，
解得：，，
当时，
，
当时，
，
点D的坐标为或；
【小问3详解】
解：由题意得
的解析式为：
，
设，
，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
同理可求：
直线的解析式为，
直线的解析式为，
是关于轴的对称点，
，
，
，
整理得：①，
②，
①②得：
，
整理得：
，
点F对称轴左侧抛物线上一动点，
，
，
，
联立得，
，
、在抛物线上，
，
，
解得：；
故得值为．
【点睛】本题考查了待定系数法，相似三角形的判定及性质，直线与抛物线交点中的一元二次方程根与系数关系，理解直线与线与抛物线交点中的一元二次方程根与系数关系，能熟练利用待定系数法求解一次函数和二次函数的解析式及相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键．