中考数学——多边形与平行四边形(含6种解题技巧))(含答案)练习

这是一份中考数学——多边形与平行四边形(含6种解题技巧))(含答案)练习，共182页。
TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc188015232" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc188015233" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc188015234" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc188015235" 考点一 多边形
\l "_Tc188015236" 考点二 平行四边形
\l "_Tc188015237" 04题型精研·考向洞悉
\l "_Tc188015238" 命题点一 多边形有关的计算
\l "_Tc188015239" ►题型01 认识多边形
\l "_Tc188015240" ►题型02 多边形的对角线问题
\l "_Tc188015241" ►题型03 多边形内角和问题
\l "_Tc188015242" ►题型04 正多边形内角和问题
\l "_Tc188015243" ►题型05 多边形截角后的内角和问题
\l "_Tc188015244" ►题型06 多边形外角和问题
\l "_Tc188015245" ►题型07 多边形外角和的实际应用
\l "_Tc188015246" ►题型08 多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合应用
\l "_Tc188015247" ►题型09 平面镶嵌
\l "_Tc188015248" ►题型10 计算网格中的多边形面积
\l "_Tc188015249" 命题点二 平行四边形有关的证明与计算
\l "_Tc188015250" ►题型01 利用平行四边形的性质求解
\l "_Tc188015251" ►题型02 利用平行四边形的性质证明
\l "_Tc188015252" ►题型03 判断能否构成平行四边形
\l "_Tc188015253" ►题型04 添加一个条件使之成为平行四边形
\l "_Tc188015254" ►题型05 证明四边形是平行四边形
\l "_Tc188015255" ►题型06 利用平行四边形的性质与判定求解
\l "_Tc188015256" ►题型07 利用平行四边形的性质与判定证明
\l "_Tc188015257" ►题型08 平行四边形性质和判定的应用
\l "_Tc188015258" ►题型09 平行四边形与函数综合
\l "_Tc188015259" ►题型10 与平行四边形有关的新定义问题
\l "_Tc188015260" ►题型11 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线
\l "_Tc188015261" ►题型12 补全图形利用中位线定理求解
\l "_Tc188015262" ►题型13 平行四边形中各图形面积的等量关系
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 多边形
1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
2. 多边形的相关概念：
多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.
多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角.
多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角.
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
【补充】
1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等；
2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线；
3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线.
3. 正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.
【补充】1）正n边形有n条对称轴．
2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心.
4. 多边形内角和定理
多边形内角和定理：n边形的内角和为.
5. 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系.
易错易混
多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误：
①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）.
②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对角线计算了两次，因此n边形共有n(n−3)2 条对角线.
③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2.
④n边形的外角和是360°.
⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°.
⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一点O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形．
1．（2024·四川巴中·中考真题）五边形从某一个顶点出发可以引 条对角线．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）正十二边形的每一个外角等于 度．
3．（2024·山东日照·中考真题）一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是 边形．
4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是（ ）
A．5B．6C．8D．10
5．（2024·四川乐山·中考真题）下列多边形中，内角和最小的是（ ）
A．B．C．D．
考点二 平行四边形
1.平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
符号表示：平行四边形用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
2. 平行四边形的性质定理
3. 平行线间的距离
定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离
性质：1）两条平行线间的距离处处相等.
2）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
4. 平行四边形的判定定理
【解题技巧】
一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路：
1）已知一组对边平行, 首先要考虑证另一组对边平行，再考虑这组对边相等；
2）已知一组对边相等, 首先要考虑证另一组对边相等，再考虑这组对边平行；
3）已知条件与对角线有关，常考虑对角线互相平分；
4) 已知条件与角有关，常考虑两组对角分别相等.
5. 平行四边形边的对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
1．（2024·吉林·中考真题）如图，在▱ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E，求证：AE=BC．
2．（2024·贵州·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB=BCB．AD=BCC．OA=OBD．AC⊥BD
3．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A．∠1=∠3，AASB．∠1=∠3，ASA
C．∠2=∠3，AASD．∠2=∠3，ASA
4．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE=BF．求证：∠1=∠2．
5．（2024·四川乐山·中考真题）下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD,AD∥BCB．AB=CD,AD=BC
C．OA=OC,OB=ODD．AB∥CD,AD=BC
\l "_Tc187683389" 04题型精研·考向洞悉
命题点一 多边形有关的计算
►题型01 认识多边形
1．（2021·江苏南京·中考真题）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（ ）
A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，2
2．（2020·北京·中考真题）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）
3．（2020·山东枣庄·中考真题）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S=a+12b−1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S= ．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图是一片平坦的盐滩上布满了大小相近的六边形，人们惊叹于大自然的鬼斧神工，同时也尝试解开盐滩图案之谜，人们发现正六边形能够最大限度的利用空间，已知图中的正六边形与正方形的周长都等于12，则它们的面积之差为 ．
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型02 多边形的对角线问题
1．（2024·陕西咸阳·三模）如果过某多边形的一个顶点有6条对角线，这个多边形是 边形．
2．（2024·上海金山·三模）正n边形的一个外角为30°，则它的对角线条数为
3．（2023·重庆·模拟预测）过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，这个多边形的内角和等于 ．
4．（2022·广东深圳·模拟预测）多边形的对角线共有20条，则下列方程可以求出多边形边数的是（ ）
A．nn−2=20B．nn−2=40C．nn−3=20D．nn−3=40
►题型03 多边形内角和问题
利用多边形内角和、外角和定理求边数：
①n边形的内角和为(n－2)×180°，根据已知条件列出方程求边数；
②若由已知数据很容易求得一个外角的度数，根据正多边形的外角和始终等于360°,用360°除一个外角的度数，从而得到正多边形的边数.
1．（2023·重庆·中考真题）若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为 ．
2．（2022·山东临沂·中考真题）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（ ）
A．900°B．720°C．540°D．360°
3．（2021·江苏南京·中考真题）如图，FA,GB,HC,ID,JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ= °．
4．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=100°，则∠A+∠B+∠D+∠E=（ ）
A．220°B．240°C．260°D．280°
QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE ►题型04 正多边形内角和问题
1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形ABCDE的内部，以CD边为边作正方形CDFH，连接BH，则∠BHC= °．
2．（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（ ）
A．90°B．99°C．108°D．135°
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，以点E为圆心，EF长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的DF的长为 ．
4．（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为 ．

5．（2024·河北·中考真题）直线l与正六边形ABCDEF的边AB,EF分别相交于点M，N，如图所示，则a+β=（ ）
A．115°B．120°C．135°D．144°
6．（2023·河北·中考真题）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中
（1）∠α= 度．
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 （结果保留根号）．

QUOTE ►题型05 多边形截角后的内角和问题
多边形的边数为自然数，而内角和只与边数有关，无论多了一个角，还是少了一个角，都可以用逼近法去求解.
1．（2023·湖南娄底·模拟预测）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原来多边形的边数不可能为 （ ）
A．10B．9C．8D．7
2．（2021·广东佛山·三模）如图，在正六边形ABCDEF中，若去掉一个角得到一个七边形，则∠1+∠2= 度．
3．（2021·浙江丽水·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是 ．
►题型06 多边形外角和问题
1．（2023·北京·中考真题）正十二边形的外角和为（ ）
A．30°B．150°C．360°D．1800°
2．（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）
A．36°B．40°C．45°D．60°
3．（2024·山东·中考真题）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN=120°，则n的值为（ ）
A．12B．10C．8D．6
4．（2023·江苏连云港·中考真题）以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形A'B'CD'E'的顶点D'落在直线BC上，则正五边形ABCDE旋转的度数至少为 °．
►题型07 多边形外角和的实际应用
1．（2024·江苏无锡·二模）如图，小强站在五边形健身步道的起点P处，沿着P，B，C，D，E，A，P的方向行走，最终回到了P处．在这过程中，小强转过的角度说明了（ ）
A．五边形的内角和是540°B．五边形的外角和是360°
C．五边形的内角和是360°D．五边形的外角和是180°
2．（2024·湖北荆门·模拟预测）小聪利用所学的数学知识，给同桌出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走9米后向左转θ，接着沿直线前进9米后，再向左转θ，…，如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己一共走了72米，则θ的度数为（ ）
A．60°B．75°C．30°D．45°
3．（2024·湖北十堰·二模）参加创客兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点O出发，沿直线前进1米后左转18°，再沿直线前进1米，又向左转18°……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（ ）
A．10米B．18米C．20米D．36米
►题型08 多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合应用
1．（2021·江苏苏州·二模）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=210°，则∠P= ．
2．（2023·辽宁营口·二模）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AE,EG平分∠AED，交DC延长线于点G，则∠G为（ ）

A．15°B．20°C．25°D．30°
3．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=44°，则∠2的度数为（ ）

A．14°B．16°C．24°D．26°
4．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，∠DCE=150°.
(1)求∠BAD的度数：
(2)若∠F=40°，求∠E的度数.
►题型09 平面镶嵌
解决几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
【限制条件】1）边长相等；2）公共顶点；3）在一个顶点处各个正多边形的内角之和为360.
1．（2022·四川资阳·中考真题）小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是 ．（填一种即可）
2．（2021·贵州铜仁·中考真题）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
3．（2024·湖南·模拟预测）平面图形的镶嵌往往给人以美的享受，如图1是用边长相等的正六边形与正三角形进行的无缝隙、不重叠的平面镶嵌．我们选取其中一个正六边形和三个与之相邻（正上方、左下方和右下方）的正三角形组成的图形部分，将其放在平面直角坐标系中．如图2，点A，B，C均为正六边形和正三角形的顶点．已知点A的坐标为2,0，反比例函数y=kxx>0的图象恰好经过点B，C，连接OB，OC，则△BOC的面积是 ．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是用边长相等的等边三角形和正n边形两种地砖铺设的小路的局部示意图，则这种正n边形地砖的边数n= ．
►题型10 计算网格中的多边形面积
1．（2022·北京海淀·二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ．
2（2021·北京顺义·一模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则△ABC的面积与△DEF的面积比为 ．
3．（2021·山西临汾·三模）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
你知道“皮克定理”吗？
“皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即S=a+12b−1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”．
任务：
（1）如图2，是6×6的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是_______．
（2）已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数b是内部点数a的3倍，则a+b=______．
（3）请你在图3中设计一个格点多边形．要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图形．
命题点二 平行四边形有关的证明与计算
►题型01 利用平行四边形的性质求解
1．（2024·内蒙古·中考真题）如图是平行四边形纸片ABCD，BC=36cm，∠A=110°，∠BDC=50°，点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，则∠NMC= 度；将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 cm．
2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AC=4．若▱ABCD的周长为12，则△COE的周长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知点A−7,0，Bx,10，C−17,y，在平行四边形ABCO中，它的对角线OB与反比例函数y=kxk≠0的图象相交于点D，且OD:OB=1:4，则k= ．
4．（2024·浙江·中考真题）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2,BD=23．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．x+yB．x−yC．xyD．x2+y2
►题型02 利用平行四边形的性质证明
1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在▱ABCD中，点M,N在AD边上，AM=DN，连接CM并延长交BA的延长线于点E，连接BN并延长交CD的延长线于点F．求证：AE=DF．小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
2．（2024·山东日照·中考真题）如图，以▱ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心，大于12AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的延长线于点H．
(1)由以上作图可知，∠1与∠2的数量关系是_______
(2)求证：CB=CH
(3)若AB=4，AG=2GD，∠ABC=60°，求△BCH的面积．
3．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD的延长线上，且BE=DF，连接EF与AC交于点M，连接AF，CE．
(1)求证：△AEM≌△CFM；
(2)若AC⊥EF，AF=32，求四边形AECF的周长．
4．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，EF，DE=BF，BE=BC．

(1)如图①，求证△AED≌△EFB；
(2)如图②，若AB=AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等．
QUOTE ►题型03 判断能否构成平行四边形
1．（2021·河北·中考真题）如图1，▱ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
A．甲、乙、丙都是B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是D．只有乙、丙才是
2．（2024·河北石家庄·一模）如图，已知线段AB、AD和射线BP，且AD∥BP，在射线BP上找一点C，使得四边形ABCD是平行四边形，下列作法不一定可行的是（ ）
A．过点D作DC∥AB与BP交于点C
B．在AD下方作∠ADC与BP交于点C，使∠ADC=∠ABP
C．在BP上截取BC，使BC=AD，连接DC
D．以点D为圆心，AB长为半径画弧，与BP交于点C，连接DC
3．（2024·河北邢台·模拟预测）已知△ABC（如图1），求作：平行四边形ABCD．如图2、图3是嘉琪的作图方案，其依据是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
►题型04 添加一个条件使之成为平行四边形
1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，请补充一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形．
2（2023·湖南·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD=BCB．AB∥DCC．∠A=∠CD．AB=DC
3．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF=CE．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠BAD的平分线AG交BC于点G．
(1)求∠BGA的度数；
(2)在BC上取一点E，添加一个条件，使四边形ABED是平行四边形，直接写出这个条件．
►题型05 证明四边形是平行四边形

注意：在做题时，根据已知条件灵活运用判定方法求解.
1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE=DF．

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AB=BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时BCAB的值．
2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，∠ACB=∠AED=90°，AC=FE，AB平分∠CAE，AB∥DF．
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)过点B作BG⊥AE于点G，若CB=AF，请直接写出四边形BGED的形状．
3．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB>2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：(1)△AEH≌△CFG；
(2)四边形EGFH为平行四边形．
4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在△ABC中，D是AB中点．
(1)求作：AC的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若l交AC于点E，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接BE，CF．补全图形，并证明四边形BCFE是平行四边形．
►题型06 利用平行四边形的性质与判定求解
1．（2024·辽宁·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC=3，BD=5，则四边形OCED的周长为（ ）

A．4B．6C．8D．16
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点A0,−2，B1,0，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，则点D的坐标是 ．
3．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题：
如图1，点E是▱ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE．用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点．
小明：如图2．以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．
小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．
小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！
(1)证明AF∥CE；
(2)指出小丽作法中存在的问题．
4．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线y=12x2−4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD=3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 ．

►题型07 利用平行四边形的性质与判定证明
1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
(1)求证：△ODE≌△OBF；
(2)当EF⊥BD时，DE=15cm，分别连接BE，DF，求此时四边形BEDF的周长．
2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC，AD上．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若∠ADC=60°，DF=2AF=2，求△GDF的面积．
3．（2024·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF=FB，AF∥DC.

(1)求证：四边形AFCD为平行四边形；
(2)若∠EFB=90°，tan∠FEB=3，EF=1，求BC的长.
4．（2024·福建·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E,BE的延长线交AD于点F．
(1)求OEAE的值；
(2)求证：△AEB∽△BEC；
(3)求证：AD与EF互相平分．
►题型08 平行四边形性质和判定的应用
1．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在AC上，已知AB=AC，sin∠BAC≈45，点D、F、G、J在AB上，DE、FM、GH、JK均与BC所在直线平行，DE=FM=GH=JK=20cm，DF=FG=GJ=30cm．点N在AC上，AN、MN的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时AB、AC重合，点E、M、H、N、K、C在AB上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空：AN=MN+EM+AD−_________；
（2）如图4，sin∠MEN≈_________，由AN=EN+AE=EN+AD，且AN的长度不变，可得MN与EN之间的数量关系为_________；
【解决问题】
（3）求MN的长．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，点O是等边△ABC的内心，∠DOE的两边分别交AB、BC于点D、E，且∠DOE=120°，若等边△ABC的边长为6，求四边形ODBE周长的最小值．
（2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为▱ABCD，点O为其对称中心，且OB=20m，点E、F分别在边AB、BC上，四边形EBFO为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形EBFO区域种植两种不同的果蔬，即在△BEF、△EFO种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为60°，即∠EOF=60°，并修建OE、EF、OF三条小路．现要求规划的三条小路OE、EF、OF总长最小的同时，果蔬种植区域四边形EBFO的面积最大．求满足规划要求的三条小路OE、EF、OF总长的最小值，并计算同时满足四边形EBFO面积最大时学校应开辟的劳动实践基地▱ABCD的面积．

3．（2020·湖北武汉·模拟预测）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，过点O的直线EF分别交边AB，CD于E，F两点，在这个平行四边形上做随机投掷图钉试验，针头落在阴影区域内的概率是 ．
4．（2022·浙江金华·一模）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形．
(1)若遮阳蓬完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有______米（影子完全落在地面）
(2)长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是______．
►题型09 平行四边形与函数综合
1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数．y=ax+ba≠0的图象与反比例函数y=kxk≠0的图象交于点A1,4、Bn,−1．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式ax+b1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s−t=2，求m的值；
②连接AC，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作PD⊥x轴，垂足为D．作∠DPQ=∠ACO，射线PQ交y轴于点Q，连接DQ、PC．若DQ=PC，求点P的横坐标．
►题型10 与平行四边形有关的新定义问题
1．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
(1)如图1所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，AF=5，CE=2，则AE=________；AB=________；
(2)如图2，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且AB=BD，猜想AF与CD的关系，并说明理由；
(3)①如图3所示，在△ABC中，BE=5，CE=2AE=12，BE⊥AC交AC于点E，请画出以BC为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若△ABC关于直线AC对称得到△AB'C，连接CB'，作射线CB'交①中所画平行四边形的边于点P，连接PE，请直接写出PE的值．
2．（2023·浙江宁波·中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．

(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．
(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．
(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）【定义新知】
定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．
【概念理解】
（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AC⊥CD，AB=1，BC=5，判断四边形ABCD是否为和谐四边形，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=6，连接AC，在BC的延长线上取一点E，连接DE、AE，使得四边形ACED是和谐四边形，CD是和谐对角线，CE是和谐边，求BE的长；
【拓展应用】
（3）如图3，四边形ABED是某市规划中的居民户外活动广场，入口C设在DE上，AC、BC为两条笔直的小路，将广场分为三部分，三角形ABC部分为市民健身区，方便市民健身，三角形BCE部分为观赏区，用于种植各类鲜花，三角形ACD部分为娱乐区，供老年人排练合唱或广场舞使用，BD与AE是广场的两条主干道．已知四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC分别是和谐边．为了不影响周围居民，计划在娱乐区外围修建隔离带（宽度忽略不计），已知AB=1200m，求隔离带的长度（即△ACD的周长）．

4．（2024·山东青岛·二模）【图形定义】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．类似的，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．
例如：如图1，在四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N是CD的中点，MN是四边形ABCD的中位线．
【方法探究】
如图2，已知MN是△ABC的中位线，以点N为中心将△ABC旋转180°得到△CB'A，可证MN=12BC．
【方法应用】
(1)如图3，MN是梯形ABCD的中位线．若AD=3，BC=5，则MN=__________；若AD=a，BC=b，且b>a，则MN=__________．
(2)如图4，MN是四边形ABCD的中位线．若AD=3，BC=5，则MN的取值范围是__________；若AD=a，BC=b，且b>a，则MN的取值范围是__________．
►题型11 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线
类型一 已知两个中点
已知D，E分别是AB，AC的中点，连接DE（或BC）,得到DE∥BC,
类型二 已知一个中点
已知D分别是AB的中点，
1)取AC的中点E，连接DE, 得到DE∥BC,
2)倍长AC至点E，使AC=CE, 得到DC∥BE,
1．（2024·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE．
问题探究：如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD=2CF，EF与BD交于点G，求证：BG=FG．
问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD=CD，AG=FG，直接写出EGGF的值．

2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE=BC，CD=2，则BD= ．

3．（2023·山东东营·中考真题）（1）用数学的眼光观察．
如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点，求证：∠PMN=∠PNM．
（2）用数学的思维思考．
如图，延长图中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F，求证：∠AEM=∠F．
（3）用数学的语言表达．
如图，在△ABC中，AC0的图象恰好经过点B，C，连接OB，OC，则△BOC的面积是 ．
【答案】43
【分析】先根据正六边形和正三角形的性质和平面镶嵌特征得出BC=2AC=2OA=4，∠COA=∠OCA=30°，∠OAC=∠ACB=120°，求出△OBC为直角三角形，过点C作CE⊥OA交于点E，根据三角形内角和定理求出∠OCE=60°，∠ACE=30°，根据直角三角形的性质求出AE=12AC=1，根据勾股定理求出CE=3，根据直角三角形的性质求出OC=2CE=23，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：根据正六边形和正三角形的性质和平面镶嵌特征可知：BC=2AC=2OA=4，∠COA=∠OCA=30°，∠OAC=∠ACB=120°，
∴∠OCB=∠ACB−∠OCA=120°−30°=90°，
∴△OBC为直角三角形，
过点C作CE⊥OA交于点E，如图：
则∠OCE=60°，∠ACE=30°，
故AE=12AC=1，
则CE=AC2−AE2=22−12=3，
故OC=2CE=23，
∴S△BOC=12⋅BC⋅OC=12×4×23=43．
故答案为：43．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，平面镶嵌的特征，三角形内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理等．熟练掌握正六边形和正三角形性质是解题的关键．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是用边长相等的等边三角形和正n边形两种地砖铺设的小路的局部示意图，则这种正n边形地砖的边数n= ．
【答案】12
【分析】本题考查了平面镶嵌，正多边形的内角和公式，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平面镶嵌的条件，先求出正n边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出n的值．
【详解】根据题意可知，正n边形的一个内角为：(360°−60°)÷2=150°，
则150°=(n−2)⋅180°n，
解得：n=12．
故答案为：12．
►题型10 计算网格中的多边形面积
1．（2022·北京海淀·二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ．
【答案】92
【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可．
【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=12×3×2+12×1×3=92
故答案为：92
【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割．
2（2021·北京顺义·一模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则△ABC的面积与△DEF的面积比为 ．
【答案】1∶4
【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．
【详解】解：S△ABC=1×2−12×1×1−12×1×2=12，
S△DEF=2×4−12×2×2−12×2×4=2，
∴△ABC的面积与△DEF的面积比为1∶4．
故答案为1∶4．
【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解本题的关键．
3．（2021·山西临汾·三模）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
你知道“皮克定理”吗？
“皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即S=a+12b−1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”．
任务：
（1）如图2，是6×6的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是_______．
（2）已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数b是内部点数a的3倍，则a+b=______．
（3）请你在图3中设计一个格点多边形．要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图形．
【答案】（1）21；（2）32；（3）见解析
【分析】（1）观察图形，得到a=16，b=12，再代入计算即可得到答案；
（2）由题意b=3a，然后列出关于a的方程，求出a=8，再求出答案即可；
（3）由格点多边形的面积为8，然后根据轴对称的性质，即可画出图形．
【详解】解：（1）由题意，如图：
多边形内部的点数为：a=16，
多边形边界的点数为：b=12，
∴S=a+12b−1=16+12×12−1=21；
故答案为：21；
（2）设内部点数是a，则b=3a，
∴S=a+12b−1=a+12×3a−1=19，
∴a=8，
∴b=8×3=24，
∴a+b=8+24=32；
故答案为：32．
（3）答案不唯一，只要符合题意要求即可．
例如：
【点睛】本题考查了多边形，解一元一次方程，轴对称的性质等知识，理解正方形网格纸中多边形面积的公式S=a+12b−1是解决问题的关键．
命题点二 平行四边形有关的证明与计算
►题型01 利用平行四边形的性质求解
1．（2024·内蒙古·中考真题）如图是平行四边形纸片ABCD，BC=36cm，∠A=110°，∠BDC=50°，点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，则∠NMC= 度；将扇形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 cm．
【答案】 40 2
【分析】本题考查了平行四边形的性质、弧长公式、圆锥等知识，熟练掌握弧长公式是解题关键．先根据平行四边形的性质可得∠BCD=∠A=110°，再根据三角形的内角和定理可得∠CBD=20°，然后根据等腰三角形的性质可得∠BNM=∠CBD=20°，最后根据三角形的外角性质可得∠NMC的度数；先利用弧长公式求出扇形MCN的弧长，再根据圆锥的底面圆的周长等于扇形MCN的弧长求解即可得．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=110°，
∴∠BCD=∠A=110°，
∵∠BDC=50°，
∴∠CBD=180°−∠BCD−∠BDC=20°，
由圆的性质可知，MB=MN=MC=12BC=18cm，
∴∠BNM=∠CBD=20°，
∴∠NMC=∠BNM+∠CBD=40°，
∴扇形MCN的弧长为40×π×18180=4πcm，
∴圆锥的底面圆半径为4π÷2π=2cm，
故答案为：40；2．
2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AC=4．若▱ABCD的周长为12，则△COE的周长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线的性质．由平行四边形的性质和三角形的中位线的性质可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC中点，
又∵E是BC中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=12AB，CE=12BC，
∵▱ABCD的周长为12，AC=4，
∴AB+BC=12×12=6，
∴△COE的周长为OE+CE+OC=12AB+BC+AC=12×6+4=5．
故选：B.
3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知点A−7,0，Bx,10，C−17,y，在平行四边形ABCO中，它的对角线OB与反比例函数y=kxk≠0的图象相交于点D，且OD:OB=1:4，则k= ．
【答案】−15
【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形综合，相似三角形的性质与判定，分别过点B,D，作x轴的垂线，垂足分别为F,E，根据平行四边形的性质得出B−24，10，证明△ODE∽△OBF得出OE=6，DE=2.5，进而可得D−6,2.5，即可求解．
【详解】如图所示，分别过点B,D，作x轴的垂线，垂足分别为F,E，
∵四边形AOCB是平行四边形，点A−7,0，Bx,10，C−17,y，
∴OA=BC=7，
∴x=−24，即B−24，10，则OF=24，BF=10
∵DE⊥x轴，BF⊥x轴，
∴DE∥BF
∴△ODE∽△OBF
∴OEOF=ODOB=DEBF=14
∴OE=6，DE=2.5
∴D−6,2.5
∴k=−6×2.5=−15
故答案为：−15．
4．（2024·浙江·中考真题）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2,BD=23．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．x+yB．x−yC．xyD．x2+y2
【答案】C
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，证明△ABE≌△DCFAAS，得到AE=DF,BE=CF=x，由勾股定理可得，AE2=4−y−x2，DF2=12−y+x2，则4−y−x2=12−y+x2，整理后即可得到答案．
【详解】解：过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，
∵AE⊥BC的垂线交BC于点E，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC,AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCFAAS
∴AE=DF,BE=CF=x，
由勾股定理可得，AE2=AC2−CE2=AC2−BC−BE2=4−y−x2，
DF2=BD2−BF2=BD2−BC+CF2=BD2−BC+BE2=12−y+x2，
∴4−y−x2=12−y+x2，
∴y+x2−y−x2=8
∴x2+2xy+y2−y2+2xy−x2=8
即4xy=8，解得xy=2，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是xy，
故选：C
►题型02 利用平行四边形的性质证明
1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在▱ABCD中，点M,N在AD边上，AM=DN，连接CM并延长交BA的延长线于点E，连接BN并延长交CD的延长线于点F．求证：AE=DF．小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明△AEM∽△DCM，可得AEDC=AMDM，同理可得：DFAB=DNAN，再进一步证明AEDC=DFAB即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD，
∴△AEM∽△DCM
∴AEDC=AMDM，
同理可得，△FDN∽△ABN，
∴DFAB=DNAN
又∵AM=DN，
∴AM+MN=DN+MN
即AN=DM，
∴AEDC=DFAB
又∵AB=CD，
∴AE=DF．
2．（2024·山东日照·中考真题）如图，以▱ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心，大于12AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的延长线于点H．
(1)由以上作图可知，∠1与∠2的数量关系是_______
(2)求证：CB=CH
(3)若AB=4，AG=2GD，∠ABC=60°，求△BCH的面积．
【答案】(1)∠1=∠2
(2)证明见解析
(3)93
【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．
（1）根据作图可知，BF为∠ABC的角平分线，即可得到答案；
（2）根据平行四边形的性质可知∠1=∠H，结合∠1=∠2，从而推出∠2=∠H，即可证明；
（3）过点H作BC的垂线交BC的延长线于点M，根据平行四边形的性质AB=CD=4，∠HCM=∠ABC=60°，ABDH=AGGD，结合AG=2GD，推出DH=12AB，从而得到CH，BC，HM=CH⋅sin∠HCM，最后由S△BCH=12BC⋅HM计算即可．
【详解】（1）解：由作图可知，BF为∠ABC的角平分线
∴∠1=∠2
故答案为：∠1=∠2
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD
∴∠1=∠H
∵∠1=∠2
∴∠2=∠H
∴CB=CH
（3）解：如图，过点H作BC的垂线交BC的延长线于点M
∵四边形ABCD为平行四边形，AB=4
∴AB∥CD，AB=CD=4
∴∠HCM=∠ABC=60°，△ABG∽△DHG
∴ABDH=AGGD
又∵AG=2GD
∴AGGD=2
∴ABDH=AGGD=2
∴DH=12AB=12×4=2
∴CH=DH+CD=6
∴BC=CH=6
∴HM=CH⋅sin∠HCM=CH⋅sin60°=6×32=33
∴S△BCH=12BC⋅HM=12×6×33=93．
3．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD的延长线上，且BE=DF，连接EF与AC交于点M，连接AF，CE．
(1)求证：△AEM≌△CFM；
(2)若AC⊥EF，AF=32，求四边形AECF的周长．
【答案】(1)见解析
(2)122
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AB=DC，进而得出∠AEM=∠CFM，证明AE=CF，根据AAS证明△AEM≌△CFM，即可得证；
（2）证明▱AECF是菱形，根据菱形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥DC，AB=DC（平行四边形的对边平行且相等）
∴∠AEM=∠CFM（两直线平行，内错角相等）
∵BE=DF
∴AB+BE=CD+DF 即AE=CF
在△AEM和△CFM中
∠AME=∠CMF∠AEM=∠CFMAE=CF
∴△AEM≌△CFMAAS；
（2）解：∵AE=CF，AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
又∵AC⊥EF
∴▱AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
∴AE=EC=CF=AF（菱形的四条边都相等）
∴菱形AECF的周长=4AF=4×32=122.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，EF，DE=BF，BE=BC．

(1)如图①，求证△AED≌△EFB；
(2)如图②，若AB=AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等．
【答案】(1)见解析；
(2)∠BEA=∠EFC=∠DCH=∠DHC=∠BAE，理由见解析．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD=BC=BE，BC∥AD，进而有∠ADE=∠EBF，从而利用SAS即可证明结论成立；
（2）先证四边形ABCD是菱形，得AB=BC=BE=CD=AD，又证△ABE≌△CDHAAS，得∠BAE=∠DCH=∠BEA=∠DHC，由（1）得△AED≌△EFBSAS得∠AED=∠EFB，根据等角的补角相等即可证明．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，BE=BC
∴AD=BC=BE，BC∥AD，
∴∠ADE=∠EBF，
∵DE=BF， ∠ADE=∠EBF，AD=BE
∴△AED≌△EFBSAS；
（2）解：∠BEA=∠EFC=∠DCH=∠DHC=∠BAE，理由如下：
∵AB=AD，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形， BC∥AD，AB∥CD
∴AB=BC=BE=CD=AD，∠ADE=∠EBF，∠ABE=∠CDH，
∴∠BEA=∠BAE，
∵CH∥AE，
∴∠BEA=∠DHC，
∴△ABE≌△CDHAAS，
∴∠BAE=∠DCH=∠BEA=∠DHC，
由（1）得△AED≌△EFBSAS，
∴∠AED=∠EFB，
∵∠AED+∠BEA=∠EFB+∠EFC=180°，
∴∠BEA=∠EFC=∠DCH=∠DHC=∠BAE．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定及性质、等边对等角、全等三角形的判定及性质以及等角的补角相等．熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
QUOTE ►题型03 判断能否构成平行四边形
1．（2021·河北·中考真题）如图1，▱ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
A．甲、乙、丙都是B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是D．只有乙、丙才是
【答案】A
【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证；
乙方案：由△ABN≌△CDM，可得BN=DM,即可得ON=OM，
再利用对角线互相平分得证；
丙方案:方法同乙方案．
【详解】连接AC,BD交于点O
甲方案：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO,BO=DO
∵BN=NO,OM=MD
∴ON=OM
∴ 四边形ANCM为平行四边形．
乙方案：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB//CD，AO=CO,BO=DO
∴∠ABN=∠CDM
又∵AN⊥BD,CM⊥BD
∴∠ANB=∠CMD
∴△ABN≌△CDM(AAS)
∴BN=DM
∵BO=DO
∴ON=OM
∴ 四边形ANCM为平行四边形．
丙方案:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB//CD，AO=CO,BO=DO， ∠BAD=∠BCD
∴∠ABN=∠CDM
又∵ AN,CM分别平分∠BAD,∠BCD
∴12∠BAD=12∠BCD， 即∠BAN=∠DCN
∴△ABN≌△CDM（ASA）
∴BN=DM
∵BO=DO
∴ON=OM
∴ 四边形ANCM为平行四边形．
所以甲、乙、丙三种方案都可以．
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键．
2．（2024·河北石家庄·一模）如图，已知线段AB、AD和射线BP，且AD∥BP，在射线BP上找一点C，使得四边形ABCD是平行四边形，下列作法不一定可行的是（ ）
A．过点D作DC∥AB与BP交于点C
B．在AD下方作∠ADC与BP交于点C，使∠ADC=∠ABP
C．在BP上截取BC，使BC=AD，连接DC
D．以点D为圆心，AB长为半径画弧，与BP交于点C，连接DC
【答案】D
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的判定．
根据基本作图和平行四边形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：A．由作法得DC∥AB，而AD∥BP，则四边形ABCD是平行四边形，所以A选项不符合题意；
B．由作法得∠ADC=∠ABP，由AD∥BP得∠ADC=∠DCP，则∠DCP=∠ABP，所以DC∥AB，则四边形ABCD是平行四边形，所以B选项不符合题意；
C．由作法得BC=AD，而AD∥BP，则四边形ABCD是平行四边形，所以C选项不符合题意；
D．由作法得DC=AB，而AD∥BP，则四边形ABCD也可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以D选项符合题意．
故选：D．
3．（2024·河北邢台·模拟预测）已知△ABC（如图1），求作：平行四边形ABCD．如图2、图3是嘉琪的作图方案，其依据是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【命题意图】本题考查了复杂的尺规作图、平行四边形的判定，解题的关键是理解尺规作图的隐含条件和根据平行四边形的判定解答．根据作图过程分析进行判断即可．
【详解】由图可知先作AC的垂直平分线，则点O为AC的中点，然后以BO为半径作图．由作图可知BO=OD，
可得：AO=OC，BO=OD，（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
进而得出四边形ABCD是平行四边形，
故选：B．
►题型04 添加一个条件使之成为平行四边形
1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，请补充一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形．
【答案】AD∥BC（答案不唯一）
【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解．
【详解】解：添加条件：AD∥BC，
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO，
在△AOD和△COB中，
∠DAO=∠BCOAO=CO∠AOD=∠COB，
∴△DAO≌△BCOASA
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：AD∥BC（答案不唯一）
2（2023·湖南·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD=BCB．AB∥DCC．∠A=∠CD．AB=DC
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A．∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项不符合题意；
B．∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项不符合题意；
C．∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠ABC+∠C=180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项不符合题意；
D．∵AD∥BC，AB=DC，
∴四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意；
故选：D．
3．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF=CE．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）
【答案】(1)见解析
(2)添加AF=BE（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定；
（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，结合已知条件可得DF=BE，即可证明△ABE≌△CDF；
（2）添加AF=BE，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，
∵AF=CE，
∴AD−AF=BC−CE即DF=BE，
在△ABE与△CDF中，
AB=CD∠B=∠DBE=DF，
∴△ABE≌△CDFSAS；
（2）添加AF=BE（答案不唯一）
如图所示，连接EF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥BE，
当AF=BE时，四边形ABEF是平行四边形．
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠BAD的平分线AG交BC于点G．
(1)求∠BGA的度数；
(2)在BC上取一点E，添加一个条件，使四边形ABED是平行四边形，直接写出这个条件．
【答案】(1)65°
(2)BE=AD（答案不唯一）
【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，平行线的性质：
（1）利用平行线的性质，和角平分线的定义进行求解即可；
（2）根据平行四边形的判定方法，添加条件即可．
【详解】（1）解：∵AD∥BC，∠B=50°，
∴∠BGA=∠DAG,∠BAD=180°−∠B=130°，
∵∠BAD的平分线AG交BC于点G，
∴∠DAG=12∠BAD=65°，
∴∠BGA=∠DAG=65°；
（2）添加条件为：BE=AD（答案不唯一），理由如下：
∵AD∥BC，
∴AD∥BE，
又∵BE=AD，
∴四边形ABED是平行四边形．
►题型05 证明四边形是平行四边形

注意：在做题时，根据已知条件灵活运用判定方法求解.
1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE=DF．

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AB=BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时BCAB的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)当∠ABE=30°时，四边形ABCD是矩形，理由见解析，此时BCAB=3
【分析】（1）先证明AB∥CD得到∠EAB=∠FCD，再由垂线的定义得到∠AEB=∠CFD=90°，据此证明△AEB≌△CFDAAS，得到AB=CD，由此即可证明四边形ABCD是平行四边形；
（2）当∠ABE=30°时，四边形ABCD是矩形，利用三角形内角和定理得到∠BAO=60°，则可证明△AOB是等边三角形，得到OA=OB，进而可证明AC=BD，则四边形ABCD是矩形，在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAB=3．
【详解】（1）证明：∵∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，
∴∠EAB=∠FCD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
又∵BE=DF，
∴△AEB≌△CFDAAS，
∴AB=CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：当∠ABE=30°时，四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∵∠ABE=30°，
∴∠BAO=60°，
又∵AB=BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∴OB=OD=OA=OC，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
即当∠ABE=30°时，四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAB=3．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形和矩形的判定定理是解题的关键．
2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，∠ACB=∠AED=90°，AC=FE，AB平分∠CAE，AB∥DF．
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)过点B作BG⊥AE于点G，若CB=AF，请直接写出四边形BGED的形状．
【答案】(1)证明见详解
(2)四边形BGED为正方形
【分析】（1）由角平分线的定义可得出∠CAB=∠BAF，由平行线的性质可得出∠EFD=∠BAF，等量代换可得出∠CAB=∠EFD，利用ASA证明△ACB≌△FED ，由全等三角形的性质得出AB=FD，结合已知条件可得出四边形ABDF是平行四边形．
（2）由已知条件可得出∠BGE=∠DEG=90°，由平行四边形的性质可得出BD∥AE，BD=AF，根据平行线的性质可得出∠GBD=90°，∠EDB=90°，由全等三角形的性质可得出CB=ED，等量代换可得出BD=ED， 即可得出四边形BGED为正方形．
【详解】（1）证明：∵AB平分∠CAE，
∴∠CAB=∠BAF，
∵AB∥DF，
∴∠EFD=∠BAF，
∴∠CAB=∠EFD，
在△ACB和△FED中，
∠ACB=∠FEDAC=FE∠CAB=∠EFD，
∴△ACB≌△FEDASA，
∴AB=FD，
由∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
（2）四边形BGED是正方形．
过点B作BG⊥AE于点G，
∴∠BGE=∠DEG=90°，
∵四边形ABDF是平行四边形．
∴BD∥AE，BD=AF，
∴∠GBD+∠BGE=180°，∠DEG+∠EDB=180°，
∴∠GBD=90°，∠EDB=90°，
由（1）△ACB≌△FED，
∴CB=ED，
∵CB=AF，
∴ED=AF，
∴BD=ED，
∴四边形BGED是正方形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定，以及平行线的性质，掌握全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定定理是解题的关键．
3．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB>2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
(1)△AEH≌△CFG；
(2)四边形EGFH为平行四边形．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）由矩形的性质可得AD=BC，∠B=∠D=90°，AB∥CD，即得∠EAH=∠FCG，由折叠的性质可得AG=AD，CH=CB，∠CHE=∠B=90°，∠AGF=∠D=90°，即得CH=AG，∠AHE=∠CGF=90°，进而得AH=CG，即可由ASA证明△AEH≌△CFG；
（2）由（1）得∠AHE=∠CGF=90°，△AEH≌△CFG，即可得到EH∥FG，EH=FG，进而即可求证；
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠EAH=∠FCG，
由折叠可得，AG=AD，CH=CB，∠CHE=∠B=90°，∠AGF=∠D=90°，
∴CH=AG，∠AHE=∠CGF=90°，
∴AH=CG，
在△AEH和△CFG中，
∠EAH=∠FCGAH=CG∠AHE=∠CGF=90°，
∴△AEH≌△CFGASA；
（2）证明：由（1）知∠AHE=∠CGF=90°，△AEH≌△CFG，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EGFH为平行四边形．
4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在△ABC中，D是AB中点．
(1)求作：AC的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若l交AC于点E，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接BE，CF．补全图形，并证明四边形BCFE是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定．
（1）利用尺规作图作出线段AC的垂直平分线l即可；
（2）由D，E分别为AB，AC的中点，根据中位线的性质，得到DE∥BC，DE=12BC，结合EF=2DE，得到EF=BC，即可证明结论成立．
【详解】（1）解：直线l如图所示，
；
（2）证明：补全图形，如图，
由（1）作图知，E为AC的中点，
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∵EF=2DE，即：DE=12EF，
∴EF=BC，
∵EF∥BC，
∴ 四边形BCFE是平行四边形．
►题型06 利用平行四边形的性质与判定求解
1．（2024·辽宁·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC=3，BD=5，则四边形OCED的周长为（ ）

A．4B．6C．8D．16
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
由四边形ABCD是平行四边形得到DO=2.5，OC=1.5，再证明四边形OCED是平行四边形，则DE=OC=1.5,CE=OD=2.5，即可求解周长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=12DB=2.5，OC=12AC=1.5，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∴DE=OC=1.5,CE=OD=2.5，
∴周长为：2×1.5+2.5=8，
故选：C．
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点A0,−2，B1,0，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，则点D的坐标是 ．
【答案】4,−4
【分析】由平移性质可知AB=CD，AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形，又∠ABC=90°，则有四边形ABCD是矩形，根据同角的余角相等可得∠OBA=∠EAD，从而证明△OAB∽△EDA，由性质得2ED=5DA=1EA，设EA=a，则ED=2a，DA=5a，则5a=25，解得：a=2，故有EA=2，ED=4，得出OE=OA+EA=4即可求解．
【详解】如图，过D作DE⊥y轴于点E，则∠AED=90°，
由平移性质可知：AB=CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，BC=AD=2AB，
∴∠OAB+∠EAD=90°，
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠EAD，
∵∠AOB=∠DEA=90°，
∴△OAB∽△EDA，
∴OAED=ABDA=OBEA，
∵A0,−2，B1,0，
∴OA=2，OB=1，AB=5，
∴2ED=5DA=1EA，
设EA=a，则ED=2a，DA=5a，
∴5a=25，解得：a=2，
∴EA=2，ED=4，
∴OE=OA+EA=4，
∵点D在第四象限，
∴D4,−4，
故答案为：4,−4．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质、平移的性质，同角的余角相等等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
3．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题：
如图1，点E是▱ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE．用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点．
小明：如图2．以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．
小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．
小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！
(1)证明AF∥CE；
(2)指出小丽作法中存在的问题．
【答案】(1)见详解
(2)以点A为圆心，CE长为半径作弧，与BC可能有两个交点，故存在问题
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，
（1）根据小明的作图方法证明即可；
（2）以点A为圆心，CE长为半径作弧，与BC可能有两个交点，据此作答即可．
【详解】（1）∵▱ABCD，
∴AD∥BC，
又根据作图可知：AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥EC；
（2）原因：以点A为圆心，CE长为半径作弧，与BC可能有两个交点，
故无法确定F的位置，
故小丽的作法存在问题．
4．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线y=12x2−4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD=3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 ．

【答案】4,1
【分析】在y轴上取点E0,3，证明四边形AECD是平行四边形，得出AD=CE，利用抛物线的对称性得出BC=CF，则AD+BC=CE+CF≥EF，当E、C、F三点共线时，AD+BC最小，利用待定系数法求出直线EF解析式，然后把x=4代入，即可求出C的坐标．
【详解】解：y=12x2−4x+6=12x−42−2，
∴对称轴为x=4，
如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，

当x=0时，y=6，
∴A0,6，
当y=0时，0=12x2−4x+6，
解得x1=2，x2=6，
∴B2,0，F6,0，
在y轴上取点E0,3，连接CE，CF，EF，
∴AE=3=CD，
∵CD∥AE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD=CE，
∵抛物线对称轴为x=4，
∴BC=CF，
∴AD+BC=CE+CF≥EF，
当E、C、F三点共线时，AD+BC最小，
设直线EF解析式为y=kx+b，
∴6k+b=0b=3，
解得k=−12b=3，
∴y=−12x+3，
当x=4时，y=−12×4+3=1，
∴当AD+BC最小时，C的坐标为4,1，
故答案为：4,1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键．
►题型07 利用平行四边形的性质与判定证明
1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
(1)求证：△ODE≌△OBF；
(2)当EF⊥BD时，DE=15cm，分别连接BE，DF，求此时四边形BEDF的周长．
【答案】(1)见解析
(2)60cm
【分析】本题主要考查了平行四边形和菱形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
（1）由题目中的▱ABCD中，O为对角线的中点，可以得出OD=OB，∠OED=∠OFB，结合∠DOE=∠BOF，可以证得两个三角形全等，进而得出结论；
（2）由（1）中得到的结论可以得到DE=BF，结合DE∥BF得出四边形BEDF是平行四边形，进而利用EF⊥BD证明出四边形BEDF为菱形，根据DE=15cm即可求出菱形的周长．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠OED=∠OFB，
∵点O是▱ABCD对角线的交点，
∴OD=OB，
在△△ODE和△OBF中，∠OED=∠OFB∠DOE=∠BOFOD=OB，
∴△ODE≌△OBFAAS．
（2）由（1）知，△ODE≌△OBF，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴▱BEDF是菱形，
∴DF=BF=BE=DE=15cm，
∴DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60cm，
∴四边形BEDF的周长为60cm．
2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC，AD上．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若∠ADC=60°，DF=2AF=2，求△GDF的面积．
【答案】(1)见解析
(2)S△GDF=233．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到∠BAD=∠BCD，AD∥BC，结合角平分线的条件得到∠DAE=∠BCF，由AD∥BC得到∠DFC=∠BCF，∠DAE=∠DFC，根据平行线的判定得到AE∥FC，根据平行四边形的判定即可得到AECF是平行四边形；
（2）求得△DFC是等边三角形，得到DF=DC=CF=2，CE=AF=1，证明△DFG∽△ECG，求得FG=43，作GH⊥DF于点H，在Rt△FGH中，求得GH=233，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，AD∥BC，
∵AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠BCF=∠DCF=12∠BCD，
∴∠DAE=∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠BCF，
∴∠DAE=∠DFC，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：由（1）得∠DFC=∠BCF，∠BCF=∠DCF=12∠BCD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵∠ADC=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴∠DFC=60°，
∵DF=2AF=2，
∴DF=DC=CF=2，CE=AF=1，
∵AD∥BC，
∴△DFG∽△ECG，
∴FGCG=DFCE=21=2，
∴FG=23CF=43，
作GH⊥DF于点H，
在Rt△FGH中，∠GFH=60°，FG=43，
∴GH=FG⋅sin60°=233，
∴S△GDF=12DF×GH=12×2×233=233．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
3．（2024·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF=FB，AF∥DC.

(1)求证：四边形AFCD为平行四边形；
(2)若∠EFB=90°，tan∠FEB=3，EF=1，求BC的长.
【答案】(1)见详解
(2)13
【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到EF∥AD，而AF∥DC，即可求证；
（2）解Rt△EFB求得FB=3，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到CF=AD=2，最后对Rt△CFB运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵E是AB的中点，DF=FB，
∴EF∥AD，
∵AF∥DC，
∴四边形AFCD为平行四边形；
（2）解：∵∠EFB=90°，
∴∠CFB=180°−90°=90°，
在Rt△EFB中，tan∠FEB=FBFE=3，EF=1，
∴FB=3，
∵E是AB的中点，DF=FB
∴AD=2EF=2，
∵四边形AFCD为平行四边形，
∴CF=AD=2，
∴在Rt△CFB中，由勾股定理得CB=CF2+FB2=13．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
4．（2024·福建·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E,BE的延长线交AD于点F．
(1)求OEAE的值；
(2)求证：△AEB∽△BEC；
(3)求证：AD与EF互相平分．
【答案】(1)12
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先证得AC=2AO，再在Rt△AOC中，tan∠AOC=ACAO=2．在Rt△AOE中，tan∠AOC=AEOE，可得AEOE=2，再证得结果；
（2）过点B作BM∥AE，交EO延长线于点M，先证明△AOE≌△BOM，可得AE=BM,OE=OM，再证得∠BAE=∠CBE，再由相似三角形的判定可得结论；
（3）如图，连接DE,DF，由（2）△AEB∽△BEC，可得AEBE=ABBC=2AO2BD=AOBD,∠EAO=∠EBD，从而得出△AOE∽△BDE，得出∠BED=∠AEO=90°， 得出∠AFB=∠DEF，再由平行线判定得出AF∥DE，AE∥FD，从而得出四边形AEDF是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果．
【详解】（1）∵AB=AC，且AB是⊙O的直径，
∴AC=2AO．
∵∠BAC=90°，
∴在Rt△AOC中，tan∠AOC=ACAO=2．
∵AE⊥OC，
∴在Rt△AOE中，tan∠AOC=AEOE．
∴AEOE=2，
∴OEAE=12；
（2）过点B作BM∥AE，交EO延长线于点M．
∴∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90°．
∵AO=BO，
∴△AOE≌△BOM，
∴AE=BM,OE=OM．
∵OEAE=12，
∴BM=2OE=EM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，
∴∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°，∠BEC=180°−∠MEB=135°，
∴∠AEB=∠BEC．
∵AB=AC,∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABM=∠CBE，
∴∠BAE=∠CBE，
∴△AEB∽△BEC．
（3）如图，连接DE,DF．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AFB=90°,AB=2AO．
∵AB=AC,∠BAC=90°，
∴BC=2BD,∠DAB=45°．
由（2）知，△AEB∽△BEC，
∴AEBE=ABBC=2AO2BD=AOBD,∠EAO=∠EBD，
∴△AOE∽△BDE，
∴∠BED=∠AEO=90°．
∴∠DEF=90°．
∴∠AFB=∠DEF，
∴AF∥DE．
由（2）知，∠AEB=135°，
∴∠AEF=180°−∠AEB=45°．
∵∠DFB=∠DAB=45°，
∴∠DFB=∠AEF，
∴AE∥FD，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AD与EF互相平分．
【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识，考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，熟练掌握相关图形的性质定理是关键．
►题型08 平行四边形性质和判定的应用
1．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在AC上，已知AB=AC，sin∠BAC≈45，点D、F、G、J在AB上，DE、FM、GH、JK均与BC所在直线平行，DE=FM=GH=JK=20cm，DF=FG=GJ=30cm．点N在AC上，AN、MN的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时AB、AC重合，点E、M、H、N、K、C在AB上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空：AN=MN+EM+AD−_________；
（2）如图4，sin∠MEN≈_________，由AN=EN+AE=EN+AD，且AN的长度不变，可得MN与EN之间的数量关系为_________；
【解决问题】
（3）求MN的长．
【答案】（1）DE；（2）45，MN=EN−10；（3）MN=40cm
【分析】（1）AN=MN+EM+AE=MN+EM+(AD−DE)=MN+EM+AD−DE；
（2）可推出四边形DEMF是平行四边形，从而EM∥DF，从而∠MEN=∠BAC，进而得出sin∠MEN=sin∠BAC=45，根据AN=MN+EM+AD−DE，AN=EN+AD得出MN+EM+AD−DE=EN+AD，进一步得出结果；
（3）作MW⊥AC于W，解直角三角形EMN求得MW和EW，进而表示出WN，在直角三角形MNW中根据勾股定理列出方程，进而得出结果．
【详解】解：（1）∵AE=AD−DE，
∴AN=MN+EM+AE=MN+EM+(AD−DE)=MN+EM+AD−DE，
故答案为：DE；
（2）∵DE、FM、GH、JK均与BC所在直线平行，
∴DE∥FM，
∵DE=FM=20cm，
∴四边形DEMF是平行四边形，
∴EM∥DF，
∴∠MEN=∠BAC，
∴sin∠MEN=sin∠BAC=45，
∵AN=MN+EM+AD−DE，AN=EN+AD，
∴MN+EM+AD−DE=EN+AD，
∴MN+EM−DE=EN，
∴MN+30−20=EN，
∴MN+10=EN，
故答案为：45，MN=EN−10；
（3）如图，
作MW⊥AC于W，
∴∠MWN=∠MWE=90°，
∴MW2+WN2=MN2，MW=EM⋅sin∠MEN=30×45=24，
∴EW=EM2−MW2=302−242=18，
设MN=a，则EN=a+10，WN=EN−EW=a+10−18=a−8，
∴242+(a−8)2=a2，
∴a=40，
∴MN=40cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质，勾股定理，线段之间的数量关系，解决问题的关键是理解题意，熟练应用有关基础知识．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，点O是等边△ABC的内心，∠DOE的两边分别交AB、BC于点D、E，且∠DOE=120°，若等边△ABC的边长为6，求四边形ODBE周长的最小值．
（2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为▱ABCD，点O为其对称中心，且OB=20m，点E、F分别在边AB、BC上，四边形EBFO为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形EBFO区域种植两种不同的果蔬，即在△BEF、△EFO种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为60°，即∠EOF=60°，并修建OE、EF、OF三条小路．现要求规划的三条小路OE、EF、OF总长最小的同时，果蔬种植区域四边形EBFO的面积最大．求满足规划要求的三条小路OE、EF、OF总长的最小值，并计算同时满足四边形EBFO面积最大时学校应开辟的劳动实践基地▱ABCD的面积．

【答案】（1）6+23；（2）80033
【分析】（1）连接OB，OC．先证明△BOD≌△COEASA，得出BD=CE，OD=OE，则四边形ODBE的周长=BD+BE+EO+OD=BC+2OE，当OE最小时，四边形ODBE 周长最小，求出此时的OE即可解答；
（2）分别以AB、BC所在直线为对称轴，作点O关于AB的对称点为M，O关于BC的对称点为N，连接MN，交AB于点E1，交BC于点F1，连接BM、BN、EM、FN、OE1、OF1，得出ΔOEF周长的最小值是MN，再利用平行四边形的判定与性质求得▱ABCD的面积．
【详解】解：（1）连接OB，OC，如图，
∵点O是等边△ABC的内心，
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=∠ACO=30°，
∴OB=OC，∠BOC=120°
∵∠DOE=120°，
∴∠BOD=∠COE，
在△BOD与△COE中，
∠BOD=∠COEOB=OC∠OBD=∠OCE，
∴△BOD≌△COEASA，
∴BD=CE，OD=OE，
∴四边形ODBE的周长=BD+BE+EO+OD=BC+2OE，
∵BC=6，
∴当OE⊥BC时，OE最小，四边形ODBE周长最小，此时OE=CE·tan30°=3×33=3，
∴四边形ODBE的周长的最小值=6+23；
（2）分别以AB、BC所在直线为对称轴，作点O关于AB的对称点为M，O关于BC的对称点为N，连接MN，交AB于点E1，交BC于点F1，连接BM、BN、EM、FN、OE1、OF1，如图，

则ME=OE，OF=FN．
∵两点之间线段最短，
∴ME+EF+NF≥MN，
∵△OEF周长=OE+EF+OF=ME+EF+NF，
∴△OEF周长的最小值是MN，
∵O、M关于AB对称，O、N关于BC对称，
∴BM=BN=BO=20m，∠BMN=∠BOE1，∠BNM=∠BOF1，∠EME1=∠EOE1，∠FNF1=∠FOF1，
∴∠EOF=∠E1OF1=60°．
∴∠BMN+∠BNM=∠BOE1+∠BOF1=∠E1OF1=60°，
∴∠MBN=120°，
∴∠BMN=∠BNM=30°，
过点B作BH⊥MN，
∴BH=10，MH=NH=103，
∴ MN=203．
即OE、EF、FO和的最小值为203，
此时S四边形形EBFO=S△BEM+S△BFN=S△BMN−S△BEF，
∵S△BMN的面积为1003，
∴当△BEF的面积最小时，四边形EBFO的面积最大，
在△BEF中，∠ABC=60°，MN上的高ℎ=10（定角定高模型），
∴当BE=BF时，△BEF的面积最小，且最小值为10033，
∴四边形EBFO的面积最大值=1003−10033=20033，
∵当BE=BF，∠ABC=60°时，∠BEM=∠BFN=120°=∠BEO=∠BFO=120°，得四边形EBFO为平行四边形，
∴此时平行四边形ABCD的面积=4×四边形EBFO的面积=80033．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用轴对称的性质添加辅助线是解题的关键．
3．（2020·湖北武汉·模拟预测）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，过点O的直线EF分别交边AB，CD于E，F两点，在这个平行四边形上做随机投掷图钉试验，针头落在阴影区域内的概率是 ．
【答案】14
【分析】先根据平行四边形的性质得到对角线将平行四边形面积四等分，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，
阴影部分面积S=S△BEO+S△FCO，
由图知∠DOF=∠BOE，
∵AB//DC ,
∴∠OEB=∠OFD，
根据平行四边形性质DO=BO，
∴△DFO≌△BEO，
∴S△DFO=S△BEO，
∴S=S△EBO+S△FCO=S△FCO+S△FDO=14S▱ABCD，
∴点A落在阴影区域内的概率为14．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了几何概率、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质；关键在于掌握好平行四边形的性质、知道概率公式的基础知识．
4．（2022·浙江金华·一模）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形．
(1)若遮阳蓬完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有______米（影子完全落在地面）
(2)长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是______．
【答案】(1)2
(2)2:1
【分析】（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，ES∥CK，可得四边形CESK是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得KS的长即可；
（2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为OM的中点、B为OC的中点，然后说明AD的长度为长支杆的一半即可．
【详解】（1）解：过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，ES∥CK，
∴四边形CESK是平行四边形，
∴KS=CE=2，即CE在地面上影子的长为2米；
故答案为：2；
（2）解：由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为OM的中点、B为OC的中点，
当遮阳棚完全闭合后，每根杆的长度都一样，即AD的长度为长支杆的一半，
∵CE为长支杆的长度，AD为短支杆的长度．∴CE:AD=2:1．
故答案为：2:1．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
►题型09 平行四边形与函数综合
1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数．y=ax+ba≠0的图象与反比例函数y=kxk≠0的图象交于点A1,4、Bn,−1．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式ax+b8（不符合题意舍去），
∴CB=CD=10−32，
∴四边形EBCD的周长为10+8+210−32=38−62．
【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）【定义新知】
定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．
【概念理解】
（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AC⊥CD，AB=1，BC=5，判断四边形ABCD是否为和谐四边形，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=6，连接AC，在BC的延长线上取一点E，连接DE、AE，使得四边形ACED是和谐四边形，CD是和谐对角线，CE是和谐边，求BE的长；
【拓展应用】
（3）如图3，四边形ABED是某市规划中的居民户外活动广场，入口C设在DE上，AC、BC为两条笔直的小路，将广场分为三部分，三角形ABC部分为市民健身区，方便市民健身，三角形BCE部分为观赏区，用于种植各类鲜花，三角形ACD部分为娱乐区，供老年人排练合唱或广场舞使用，BD与AE是广场的两条主干道．已知四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC分别是和谐边．为了不影响周围居民，计划在娱乐区外围修建隔离带（宽度忽略不计），已知AB=1200m，求隔离带的长度（即△ACD的周长）．

【答案】（1）是，见解析；（2）6；（3）8006+1200m．
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质以及和谐四边形的应用：
（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明AC=2AB即可得出结论；
（2）根据四边形ACED是和谐四边形的性质进行求解即可；
（3）根据四边形ABCD是和谐四边形和四边形ABEC是和谐四边形得出∠DAG=∠AGD，∠ACF=∠AFC，AB=CE，再证明△ADB∽△CAE，由AB=CE得△ADB≌△CAE，得出AC=AD，过点D作DM⊥AC于M，设AM=x，则AG=2x，根据勾股定理求出x的值，求出AC=AD=4x=4006，再求出△ACD的周长即可
【详解】解：（1）四边形ABCD是和谐四边形.
理由：∵AC⊥AB，AC⊥CD，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=1，BC=5，
∴AC=2，
∴AC=2AB，
∴四边形ABCD是和谐四边形.
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6，BC=AD.
∵四边形ACED是和谐四边形，CD是和谐对角线，CE是和谐边，
∴CD=2CE，四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=BC=3，
∴BE=6.
（3）∵四边形ABCD是和谐四边形，BD为和谐对角线，AD为和谐边，
∴AD=DG，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAG=∠AGD，
∵四边形ABEC是和谐四边形，AE为和谐对角线，AC为和谐边，
∴AC=AF，四边形ABEC是平行四边形，
∴∠ACF=∠AFC，AB=CE，
∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠ACF，
∴∠DAG=∠AGD=∠ACF=∠AFC，
∴∠ADG=∠CAF，
∵ADBD=12，ACAE=12，
∴ADBD=ACAE，即ADAC=BDAE
∴△ADB∽△CAE.
∵AB=CE，
∴相似比为1，
∴△ADB≌△CAE，
∴AC=AD，
如图，过点D作DM⊥AC于M，

∵AD=DG，
∴AM=GM，
设AM=x，则AG=2x，
∴AC=2AG=AD=4x，
∴CM=3x，
在Rt△ADM中，DM2=AD2−AM2=16x2−x2=15x2，
在Rt△CDM中，DM2=CD2−CM2=12002−9x2，
∴15x2=12002−9x2，
∴x=1006（负值舍去），
∴AC=AD=4x=4006，
∴△ACD的周长=AD+CD+AC=2×4006+1200=8006+1200，
故隔离带的长度为8006+1200m.
4．（2024·山东青岛·二模）【图形定义】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．类似的，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．
例如：如图1，在四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N是CD的中点，MN是四边形ABCD的中位线．
【方法探究】
如图2，已知MN是△ABC的中位线，以点N为中心将△ABC旋转180°得到△CB'A，可证MN=12BC．
【方法应用】
(1)如图3，MN是梯形ABCD的中位线．若AD=3，BC=5，则MN=__________；若AD=a，BC=b，且b>a，则MN=__________．
(2)如图4，MN是四边形ABCD的中位线．若AD=3，BC=5，则MN的取值范围是__________；若AD=a，BC=b，且b>a，则MN的取值范围是__________．
【答案】(1)4；a+b2
(2)1≤MN≤4；b−a2≤MN≤b+a2
【分析】本题考查三角形中位线定理的应用，旋转的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定与性质．
（1）以N为中心，将梯形ABCD旋转180°得到梯形A'B'DC，则MN=M'N，AD=A'C,BC=B'D，且四边形ABA'B',AMM'B',MM'A'B都是平行四边形，易得MN=12MM'=12AB'=12(AD+BC)即可；
（2）以N为中心，将四边形ABCD旋转180°得到四边形A'B'DC,连接AB',BA',DB',A'C,NM'，则四边形ABA'B',AMM'B',MM'A'B都是平行四边形，则MN=12MM',MM'=AB',AD=A'C,BC=B'D，在△ADB'中得B'D−AD≤AB'≤B'D+AD（A,D,B'在同一直线上时，等号成立），故BC−AD2≤MN≤BC+AD2即可．
【详解】（1）解：如图，以N为中心，将梯形ABCD旋转180°得到梯形A'B'DC，
则MN=M'N，AD=A'C,BC=B'D，且四边形ABA'B',AMM'B',MM'A'B都是平行四边形
∴MN=12MM',MM'=AB'
∵AB'=AD+B'D=AD+BC
∴MN=12MM'=12AB'=12(AD+BC)
若AD=3，BC=5，则MN=12×(3+5)=4，
若AD=a，BC=b，则MN=12(a+b)=a+b2，
故答案为：4，a+b2；
（2）如图，以N为中心，将四边形ABCD旋转180°得到四边形A'B'DC,连接AB',BA',DB',A'C,NM'，则四边形ABA'B',AMM'B',MM'A'B都是平行四边形，
∴MN=12MM',MM'=AB',AD=A'C,BC=B'D
在△ADB'中得B'D−AD≤AB'≤B'D+AD（A,D,B'在同一直线上时，等号成立）
∴ BC−AD≤2MN≤BC+AD
即BC−AD2≤MN≤BC+AD2
若AD=3，BC=5，则5−32≤MN≤5+32，即1≤MN≤4，
若AD=a，BC=b，且b>a，则b−a2≤MN≤b+a2．
故答案为：1≤MN≤4，b−a2≤MN≤b+a2．
►题型11 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线
类型一 已知两个中点
已知D，E分别是AB，AC的中点，连接DE（或BC）,得到DE∥BC,
类型二 已知一个中点
已知D分别是AB的中点，
1)取AC的中点E，连接DE, 得到DE∥BC,
2)倍长AC至点E，使AC=CE, 得到DC∥BE,
1．（2024·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE．
问题探究：如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD=2CF，EF与BD交于点G，求证：BG=FG．
问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD=CD，AG=FG，直接写出EGGF的值．

【答案】问题背景：见解析；问题探究：见解析；问题拓展：55
【分析】问题背景：根据矩形的性质可得AB=CD，∠EBF=∠C=90°，根据点E，F分别是AB，BC的中点，可得BEAB=BFBC=12，即可得证；
问题探究：取BD的中点H，连接EH,HC，得EH是△ABD的中位线，根据已知条件可得EH平行且等于FC，进而可得EFCH是平行四边形，得EF∥HC，则∠GFB=∠HCB，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出HB=HC，进而可得∠HBC=∠HCB，等量代换可得∠GBF=∠GFB，等角对等边，即可得证；
问题拓展：过点F作FM⊥AD，则四边形MFCD是矩形，连接AF，根据已知以及勾股定理得出AMAF=55；根据（2）的结论结合已知可得GA=GF=GB，证明EF垂直平分AB，进而得出FA=FB，证明△AFG≌△BFG，进而证明△BEG∽△FMA， 进而根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】问题背景：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠EBF=∠C=90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点
∴BEAB=BFBC=12，
即BECD=BFBC=12，
∴△BCD∽△FBE；
问题探究：如图所示，取BD的中点H，连接EH,HC，

∵E是AB的中点，H是BD的中点，
∴EH=12AD，EH∥AD
又∵AD=2CF，
∴EH=CF，
∵AD∥BC，
∴EH∥FC
∴四边形EHCF是平行四边形，
∴EF∥CH
∴∠GFB=∠HCB
又∵∠BCD=90°，H是BD的中点，
∴HC=12BD=BH
∴∠HBC=∠HCB
∴∠GBF=∠GFB，
∴GB=GF；
问题拓展：如图所示，过点F作FM⊥AD，则四边形MFCD是矩形，连接AF，

∵AD=2CF=CD，
∴AM=MD=FC=12AD，
设AD=2a，则MF=CD=2a，AM=a
在Rt△AMF中，AF=a2+2a2=5a，
∵AG=FG，由（2）BG=FG
∴AG=BG，
又∵E是AB的中点，
∴EF垂直平分AB
∴AF=BF，∠BEG=90°，
在△AFG,△BFG中，
AG=BGGF=GFFA=FB
∴△AFG≌△BFGSSS
设∠GBF=∠GFB=α，则∠GAF=∠GFA=α
∴∠BGE=∠GBF+∠GFB=2α，
又∵AD∥BC
∴∠MAF=∠AFB=∠GFA+∠GFB=2α
∴∠MAF=∠EGB
又∵∠BEG=∠AFM=90°
∴△BEG∽△FMA
∴EGGF=EGBG=AMAF=a5a=55．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE=BC，CD=2，则BD= ．

【答案】17+12
【分析】连接CE，过E作EF⊥CD于F，设BD=x，EF=m，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得CF=DF=12CD=1，∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC=∠BEC，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到∠CED=2∠CAE，AC=2EF=2m，证明△CBE∽△CED，利用相似三角形的性质和勾股定理得到m2=3+2x；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明△CAB∽△FBE得到2m2=x+1x+2，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可．
【详解】解：连接CE，过E作EF⊥CD于F，设BD=x，EF=m，

∵∠ACB=90°，E为AD中点，
∴CE=AE=DE，又CD=2，
∴CF=DF=12CD=1，∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC，
∴∠CED=2∠CAE，AC=2EF=2m，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠ECB，则∠BEC=∠EDC，又∠BCE=∠ECD，
∴△CBE∽△CED，
∴CECD=CBCE，∠CBE=∠CED=2∠CAE，
∴CE2=CD⋅CB=22+x=4+2x，
则m2=EF2=CE2−CF2=3+2x；
∵AD是△ABC的一条角平分线，
∴∠CAB=2∠CAE=∠CBE，又∠ACB=∠BFE=90°，
∴△CAB∽△FBE，
∴ACBF=BCEF
∴2mx+1=x+2m，则2m2=x+1x+2，
∴23+2x=x+1x+2，即x2−x−4=0，
解得x=17+12（负值已舍去），
故答案为：17+12．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键．
3．（2023·山东东营·中考真题）（1）用数学的眼光观察．
如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点，求证：∠PMN=∠PNM．
（2）用数学的思维思考．
如图，延长图中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F，求证：∠AEM=∠F．
（3）用数学的语言表达．
如图，在△ABC中，AC