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中考数学专题冲刺高分狙击【专题分析＋解题方法＋知识结构＋典例精选＋能力评估检测】：专题六 四边形与多边形
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这是一份中考数学专题冲刺高分狙击【专题分析＋解题方法＋知识结构＋典例精选＋能力评估检测】：专题六 四边形与多边形，共14页。
专题六 四边形与多边形
【专题分析】
四边形与多边形在中考中的常见考点有多边形的内角和与外角和；平行四边形的性质与判定，平行四边形中有关角及线段的相关计算；矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的性质与判定；四边形的综合考查等．中考中四边形与多边形的考查形式多样，对平行四边形、菱形等的判定的考查也常出现开放型题目；中考中四边形与多边形所占比重约为10%～15%.
【解题方法】
解决四边形问题常用的数学思想就是转化思想、方程思想；常用的数学方法有分类讨论法，逆向思维法等.
【知识结构】
【典例精选】：
如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2 340°的新多边形，则原多边形的边数为( )
A．13 B．14 C．15 D．16
【思路点拨】设出新多边形的边数，根据多边形内角和公式求出新的边数，新边数减1即原多边形的边数．
答案：B
规律方法：
解答此类问题，如果题目中没有给出图形及剪法要根据题意画出图形，按照截线位置的不同分情况讨论.
如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是BC，BA的中点，连结DE，F在DE的延长线上，且AF＝AE.
(1)求证：四边形ACEF是平行四边形；
(2)若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．
【思路点拨】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE＝AE＝BE，从而得到AF＝CE，再根据等腰三角形三线合一的性质和等边对等角可得∠F＝∠CED，再根据同位角相等，两直线平行求出CE∥AF，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；(2)根据菱形的四条边都相等可得AC＝CE，然后求出AC＝CE＝AE，从而得到△AEC是等边三角形，即得∠CAE＝60°，然后根据直角三角形两锐角互余可得∠B的度数．
【自主解答】
(1)证明：如图，∵∠ACB＝90°，E是BA的中点，∴CE＝AE＝BE.∵AF＝AE，∴AF＝CE.在△BEC中，∵BE＝CE且D是BC的中点，∴ED是等腰△BEC底边上的中线和顶角平分线，∴∠1＝∠2.
∵AF＝AE，∴∠F＝∠3.∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠F，∴CE∥AF.又∵CE＝AF，∴四边形ACEF是平行四边形．
(2)解：∵四边形ACEF是菱形，∴AC＝CE.由(1)知，AE＝CE，∴AC＝CE＝AE，∴△AEC是等边三角形，∴∠CAE＝60°，在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠CAE＝90°－60°＝30°.
如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连结AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
【思路点拨】(1)先证四边形AEBD是平行四边形，再由等腰三角形的性质得∠ADB＝90°，即可得出结论； (2)由等腰直角三角形的性质得AD＝BD＝CD，再结合(1)中结论可得出结论．
【自主解答】
(1)证明：∵点O为AB的中点，∴AO＝BO.又∵OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形．∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AEBD是矩形．
(2)解：当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．
理由如下：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD＝BD＝BC.
由(1)知四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
规律方法：
牢记平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系是解决此类问题的关键，一般证明步骤为先证四边形为平行四边形，再证四边形为矩形或菱形，最后证四边形为正方形.
如图①，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD＝60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．
(1)求证：△ADP≌△ECP；
(2)若BP＝n·PK，试求出n的值；
(3)作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO，NO，如图②所示．请证明△MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．
【思路点拨】(1)由四边形ABCD是菱形及点P是CD的中点，可证△ADP≌△ECP；(2)过点P作PH∥CE交DE于点H，可得＝＝，由(1)可得CE＝AD＝BC，所以＝＝，可得BP＝3PK，从而得出n＝3；(3)过点O作OG⊥AE于点G，又由BM⊥AE，KN⊥AE可得BM∥OG∥KN，进而可得＝＝1，
又点O是线段BK的中点，所以MG＝NG，进而可证△MON是等腰三角形；假设BC＝2，由已知条件可求得BP＝，AP＝，利用面积法可求BM＝，在Rt△BMP中，利用勾股定理可求PM＝，再由(2)可得PB＝3PO，则OG＝BM＝，MG＝MP＝，在Rt△MOG中，求出tan∠MOG的值，即得∠MOG的度数，∠MON的度数即可求．
【自主解答】
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，即AD∥BE，∴∠DAP＝∠CEP，∠ADP＝∠ECP.又∵点P是CD的中点，∴DP＝CP，∴△ADP≌△ECP(AAS)．
(2)解：如图，过点P作PH∥CE交DE于点H，∵点P是CD的中点，∴＝＝.又由(1)知△ADP≌△ECP，∴AD＝CE. ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC＝CE， ∴BE＝2CE.＝＝，即BK＝4PK，∴BP＝3PK，即 n＝3.
(3)解：如图，过点O作OG⊥AE于点G，
又∵BM⊥AE，KN⊥AE，∴BM∥OG∥KN.∵点O是线段BK的中点，∴＝＝1，∴MG＝NG，即OG是线段MN的中垂线．∴OM＝ON，即△MON是等腰三角形．
由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，设BC＝2，则CP＝1，由勾股定理，得BP＝，则AP＝，根据三角形面积公式，得BM＝，由(2)得PB＝3PO，∴OG＝BM＝，MG＝MP＝，tan∠MOG＝＝，∴∠MOG＝60°.∴∠MON＝120°.
规律方法：
菱形的四条边都相等，对角线互相垂直平分，且平分一组对角，利用菱形的性质可以解决有关线段的计算求值、推理证明等问题.
【能力评估检测】
一、选择题
1．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是( C )
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．七边形
2．已知四边形ABCD，下列说法正确的是( B )
A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形
C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是 矩形
D．当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正 方形
3．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系为( A )
A．S1＝S2
B．S1＞S2
C．S1＜S2
D．不能确定
4．如图，点O是矩形ABCD的中心，E
是AB上的点，折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为( A )
A．2 B. C. D．6
5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF，若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为( C )
A．4 B．4 C．4 D．28
6．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( C )
A．45° B．55° C．60° D．75°
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A，D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M，N；
第二步，连结MN，分别交AB，AC于点E，F；
第三步，连结DE，DF.
若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是( D )
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】由作图可知MN是AD的垂直平分线，∴AE＝ED，AF＝FD.又∵AD平分∠BAC，MN⊥AD，设AD与MN的交点为O，∴△AOE≌△AOF，∴AE＝AF，AE＝AF＝FD＝ED，∴四边形AFDE为菱形，∴ED∥AF，∴△BED∽△BAC，∴＝.∵BD＝6，CD＝3，AE＝AF＝4，∴＝，得BE＝8.故选D.
8．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连结EF，则△AEF的面积是( )
A．4 B．3 C．2 D.
【解析】如图，连结AC，BD，则△ABC与△ADC都是等边三角形．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴BE＝CE，CF＝DF.
∴S△ABE＝S△ACE＝S△ACF＝S△ADF＝S菱形ABCD.
∵EF∥BD，∴△CEF∽△CBD，∴＝2＝，
即S△CEF＝S菱形ABCD，则S△AEF＝S菱形ABCD.
∵sin 60°＝＝，AB＝4，∴AE＝2.
则S菱形ABCD＝BC·AE＝4×2＝8，
∴S△AEF＝S菱形ABCD＝3.故选B.
答案: B
9．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是( )
A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF
C．EF＝2 D．AF＝EF
【解析】如图，由折叠得∠1＝∠2.
∵AD∥BC，∴∠3＝∠1，
∴∠2＝∠3，∴AE＝AF，故选项A正确；
由折叠得CD＝AG，∠C＝∠G＝90°.∵AB＝CD， ∴AB＝AG.∵AE＝AF，∴Rt△ABE ≌Rt△AGF(HL)，故选项B正确；设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x，AG＝4.在Rt△AGF中，根据勾股定理，得(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3，∴AF＝8－x＝5，则AE＝AF＝5，∴BE＝＝＝3.过点F作FM⊥BC于点M，则EM＝5－3＝2.在Rt△EFM中，根据勾股定理，得EF＝＝＝＝2，故选项C正确．∵AF＝5，EF＝2，∴AF≠EF，故选项D错误．
答案: D
10．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连结BH并延长交CD于点F，连结DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤AB＝HF.
其中正确的有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
【解析】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝AB.
∵AD＝AB，∴AE＝AD.
在△ABE和△AHD中，
∴△ABE≌△AHD(AAS)，∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝(180°－45°)＝67.5°，
∴∠CED＝180°－45°－67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠CED，故①正确；
∵AB＝AH，∴∠AHB＝(180°－45°)＝67.5°，∠OHE＝∠AHB，∴∠OHE＝67.5°＝∠AED.∴OE＝OH.
∵∠DHO＝90°－67.5°＝22.5°，
∠ODH＝67.5°－45°＝22.5°，
∴∠DHO＝∠ODH，∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故②正确；
∵∠EBH＝90°－67.5°＝22.5°，∴∠EBH＝∠OHD.
在△BEH和△HDF中，
∴△BEH≌△HDF(ASA)，∴BH＝HF，故③正确；
∵HE＝AE－AH＝BC－CD，
∴BC－CF＝BC－(CD－DF)＝BC－(CD－HE)＝ (BC－CD)＋HE＝HE＋HE＝2HE.故④正确；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选C.
答案: C
二、填空题
11．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，请添加一个条件答案不唯一，如AF＝CE(或BE＝DF，AE∥CF，∠AEB＝∠FCB，∠CFD＝∠EAD等)，使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可)．
12．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝2，则图中阴影部分的面积为 .
【解析】由矩形的性质，易得△AEM≌△CFN，平行四边形BEMN与平行四边形DMNF全等，
∴S阴影＝S矩形ABCD＝×2×2＝2.
答案: 2
13．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连结EF，CF.则下列结论中一定成立的是 (把所有正确结论的序号都填在横线上)．
①∠DCF＝∠BCD； ②EF＝CF；
③S△BEC＝2S△CEF； ④∠DFE＝3∠AEF.
【解析】∵F是AD的中点，∴AF＝FD.∵在▱ABCD中，AD＝2AB，∴AF＝FD＝CD，∴∠DFC＝∠DCF. ∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠DCF＝∠BCD，故①正确；如图，延长EF交CD的延长线于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF.∵F为AD的中点，∴AF＝FD.在△AEF和△DMF中，∠A＝∠FDM，AF＝DF，∠AFE＝∠DFM，∴△AEF≌△DMF，∴FE＝MF.∵CE⊥ AB，∴∠AEC＝90°，∴∠ECD＝∠AEC＝90°.∵FM＝EF，∴CF＝EF，故②正确；
∵EF＝FM，∴S△EFC＝S△CFM＝S△ECM.∵MC＞BE，S△BEC
14．(2015·杭州春蕾中学模拟)如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°.连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE＝60°……按此规律所作的第n个菱形的边长是 .
【解析】如图，连结DB，交AC于点M.∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，AC⊥DB.∵∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴DB＝AD＝1，∴BM＝，∴AM＝，∴AC＝.同理可得AE＝AC＝()2，AG＝AE＝3＝()3，
按此规律所作的第n个菱形的边长为()n－1.
答案: ()n－1
三、解答题
15．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连结DE.
(1)求证：DE⊥BE;
(2)如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE.
证明：(1)∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.∴OD＝OE.
∴∠OED＝∠ODE.
在△BED中，∠OEB＋∠OBE＋∠ODE＋∠OED＝180°，
∴2(∠OEB＋∠OED)＝180°.
∴∠OEB＋∠OED＝90°，即∠BED＝90°.∴DE⊥BE.
(2)如图，设OE交CD于点H.
∵OE⊥CD于点H，∴∠CHE＝90°.
∴∠CEH＋∠HCE＝90°.
∵∠CED＝90°，∴∠CDE＋∠DCE＝90°.
∴∠CDE＝∠CEH.
∵∠OEB＝∠OBE，∴∠OBE＝∠CDE.
在△CED与△DEB中，
∴△CED∽△DEB.
∴＝，∴BD·CE＝CD·DE.
16．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
(1)如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连结AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的关系，并说明理由；
(2)如图②，当点E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连结AE和DF，(1)中的结论还成立吗？(请直接回答“是”或“否”，不需证明)
(3)如图③，当点E，F分别在CD，BC的延长线上移动时，连结AE和DF，(1)的结论还成立吗？请说明理由；
(4)如图④，当点E，F分别在DC，CB上移动时，连结AE和DF交于点P.由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最小值．
解：(1)AE＝DF，AE⊥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°.
∵DE＝CF，∴△ADE≌△DCF.
∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF.
由于∠CDF＋∠ADF＝90°，
∴∠DAE＋∠ADF＝90°.
∴AE⊥DF.
(2)是(证明过程与(1)中相同)．
(3)成立．理由如下：
由(1)同理可证，AE＝DF，
∠DAE＝∠CDF.
如图，延长FD交AE于点G，
则∠CDF＋∠ADG＝90°.
∴∠ADG＋∠DAE＝90°.∴AE⊥DF.
(4)如图，由于点P在运动中保持∠APD＝90°，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧．设AD的中点为O，连结OC交弧于点P，此时CP的长度最小．在Rt△ODC中，OC＝＝＝.∴CP＝OC－OP＝－1.
专题六 四边形与多边形
【专题分析】
四边形与多边形在中考中的常见考点有多边形的内角和与外角和；平行四边形的性质与判定，平行四边形中有关角及线段的相关计算；矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的性质与判定；四边形的综合考查等．中考中四边形与多边形的考查形式多样，对平行四边形、菱形等的判定的考查也常出现开放型题目；中考中四边形与多边形所占比重约为10%～15%.
【解题方法】
解决四边形问题常用的数学思想就是转化思想、方程思想；常用的数学方法有分类讨论法，逆向思维法等.
【知识结构】
【典例精选】：
如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2 340°的新多边形，则原多边形的边数为( )
A．13 B．14 C．15 D．16
【思路点拨】设出新多边形的边数，根据多边形内角和公式求出新的边数，新边数减1即原多边形的边数．
答案：B
规律方法：
解答此类问题，如果题目中没有给出图形及剪法要根据题意画出图形，按照截线位置的不同分情况讨论.
如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是BC，BA的中点，连结DE，F在DE的延长线上，且AF＝AE.
(1)求证：四边形ACEF是平行四边形；
(2)若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．
【思路点拨】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE＝AE＝BE，从而得到AF＝CE，再根据等腰三角形三线合一的性质和等边对等角可得∠F＝∠CED，再根据同位角相等，两直线平行求出CE∥AF，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；(2)根据菱形的四条边都相等可得AC＝CE，然后求出AC＝CE＝AE，从而得到△AEC是等边三角形，即得∠CAE＝60°，然后根据直角三角形两锐角互余可得∠B的度数．
【自主解答】
(1)证明：如图，∵∠ACB＝90°，E是BA的中点，∴CE＝AE＝BE.∵AF＝AE，∴AF＝CE.在△BEC中，∵BE＝CE且D是BC的中点，∴ED是等腰△BEC底边上的中线和顶角平分线，∴∠1＝∠2.
∵AF＝AE，∴∠F＝∠3.∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠F，∴CE∥AF.又∵CE＝AF，∴四边形ACEF是平行四边形．
(2)解：∵四边形ACEF是菱形，∴AC＝CE.由(1)知，AE＝CE，∴AC＝CE＝AE，∴△AEC是等边三角形，∴∠CAE＝60°，在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠CAE＝90°－60°＝30°.
如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连结AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
【思路点拨】(1)先证四边形AEBD是平行四边形，再由等腰三角形的性质得∠ADB＝90°，即可得出结论； (2)由等腰直角三角形的性质得AD＝BD＝CD，再结合(1)中结论可得出结论．
【自主解答】
(1)证明：∵点O为AB的中点，∴AO＝BO.又∵OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形．∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AEBD是矩形．
(2)解：当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．
理由如下：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD＝BD＝BC.
由(1)知四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
规律方法：
牢记平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系是解决此类问题的关键，一般证明步骤为先证四边形为平行四边形，再证四边形为矩形或菱形，最后证四边形为正方形.
如图①，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD＝60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．
(1)求证：△ADP≌△ECP；
(2)若BP＝n·PK，试求出n的值；
(3)作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO，NO，如图②所示．请证明△MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．
【思路点拨】(1)由四边形ABCD是菱形及点P是CD的中点，可证△ADP≌△ECP；(2)过点P作PH∥CE交DE于点H，可得＝＝，由(1)可得CE＝AD＝BC，所以＝＝，可得BP＝3PK，从而得出n＝3；(3)过点O作OG⊥AE于点G，又由BM⊥AE，KN⊥AE可得BM∥OG∥KN，进而可得＝＝1，
又点O是线段BK的中点，所以MG＝NG，进而可证△MON是等腰三角形；假设BC＝2，由已知条件可求得BP＝，AP＝，利用面积法可求BM＝，在Rt△BMP中，利用勾股定理可求PM＝，再由(2)可得PB＝3PO，则OG＝BM＝，MG＝MP＝，在Rt△MOG中，求出tan∠MOG的值，即得∠MOG的度数，∠MON的度数即可求．
【自主解答】
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，即AD∥BE，∴∠DAP＝∠CEP，∠ADP＝∠ECP.又∵点P是CD的中点，∴DP＝CP，∴△ADP≌△ECP(AAS)．
(2)解：如图，过点P作PH∥CE交DE于点H，∵点P是CD的中点，∴＝＝.又由(1)知△ADP≌△ECP，∴AD＝CE. ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC＝CE， ∴BE＝2CE.＝＝，即BK＝4PK，∴BP＝3PK，即 n＝3.
(3)解：如图，过点O作OG⊥AE于点G，
又∵BM⊥AE，KN⊥AE，∴BM∥OG∥KN.∵点O是线段BK的中点，∴＝＝1，∴MG＝NG，即OG是线段MN的中垂线．∴OM＝ON，即△MON是等腰三角形．
由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，设BC＝2，则CP＝1，由勾股定理，得BP＝，则AP＝，根据三角形面积公式，得BM＝，由(2)得PB＝3PO，∴OG＝BM＝，MG＝MP＝，tan∠MOG＝＝，∴∠MOG＝60°.∴∠MON＝120°.
规律方法：
菱形的四条边都相等，对角线互相垂直平分，且平分一组对角，利用菱形的性质可以解决有关线段的计算求值、推理证明等问题.
【能力评估检测】
一、选择题
1．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是( C )
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．七边形
2．已知四边形ABCD，下列说法正确的是( B )
A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形
C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是 矩形
D．当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正 方形
3．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系为( A )
A．S1＝S2
B．S1＞S2
C．S1＜S2
D．不能确定
4．如图，点O是矩形ABCD的中心，E
是AB上的点，折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为( A )
A．2 B. C. D．6
5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF，若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为( C )
A．4 B．4 C．4 D．28
6．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( C )
A．45° B．55° C．60° D．75°
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A，D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M，N；
第二步，连结MN，分别交AB，AC于点E，F；
第三步，连结DE，DF.
若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是( D )
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】由作图可知MN是AD的垂直平分线，∴AE＝ED，AF＝FD.又∵AD平分∠BAC，MN⊥AD，设AD与MN的交点为O，∴△AOE≌△AOF，∴AE＝AF，AE＝AF＝FD＝ED，∴四边形AFDE为菱形，∴ED∥AF，∴△BED∽△BAC，∴＝.∵BD＝6，CD＝3，AE＝AF＝4，∴＝，得BE＝8.故选D.
8．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连结EF，则△AEF的面积是( )
A．4 B．3 C．2 D.
【解析】如图，连结AC，BD，则△ABC与△ADC都是等边三角形．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴BE＝CE，CF＝DF.
∴S△ABE＝S△ACE＝S△ACF＝S△ADF＝S菱形ABCD.
∵EF∥BD，∴△CEF∽△CBD，∴＝2＝，
即S△CEF＝S菱形ABCD，则S△AEF＝S菱形ABCD.
∵sin 60°＝＝，AB＝4，∴AE＝2.
则S菱形ABCD＝BC·AE＝4×2＝8，
∴S△AEF＝S菱形ABCD＝3.故选B.
答案: B
9．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是( )
A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF
C．EF＝2 D．AF＝EF
【解析】如图，由折叠得∠1＝∠2.
∵AD∥BC，∴∠3＝∠1，
∴∠2＝∠3，∴AE＝AF，故选项A正确；
由折叠得CD＝AG，∠C＝∠G＝90°.∵AB＝CD， ∴AB＝AG.∵AE＝AF，∴Rt△ABE ≌Rt△AGF(HL)，故选项B正确；设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x，AG＝4.在Rt△AGF中，根据勾股定理，得(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3，∴AF＝8－x＝5，则AE＝AF＝5，∴BE＝＝＝3.过点F作FM⊥BC于点M，则EM＝5－3＝2.在Rt△EFM中，根据勾股定理，得EF＝＝＝＝2，故选项C正确．∵AF＝5，EF＝2，∴AF≠EF，故选项D错误．
答案: D
10．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连结BH并延长交CD于点F，连结DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤AB＝HF.
其中正确的有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
【解析】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝AB.
∵AD＝AB，∴AE＝AD.
在△ABE和△AHD中，
∴△ABE≌△AHD(AAS)，∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝(180°－45°)＝67.5°，
∴∠CED＝180°－45°－67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠CED，故①正确；
∵AB＝AH，∴∠AHB＝(180°－45°)＝67.5°，∠OHE＝∠AHB，∴∠OHE＝67.5°＝∠AED.∴OE＝OH.
∵∠DHO＝90°－67.5°＝22.5°，
∠ODH＝67.5°－45°＝22.5°，
∴∠DHO＝∠ODH，∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故②正确；
∵∠EBH＝90°－67.5°＝22.5°，∴∠EBH＝∠OHD.
在△BEH和△HDF中，
∴△BEH≌△HDF(ASA)，∴BH＝HF，故③正确；
∵HE＝AE－AH＝BC－CD，
∴BC－CF＝BC－(CD－DF)＝BC－(CD－HE)＝ (BC－CD)＋HE＝HE＋HE＝2HE.故④正确；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选C.
答案: C
二、填空题
11．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，请添加一个条件答案不唯一，如AF＝CE(或BE＝DF，AE∥CF，∠AEB＝∠FCB，∠CFD＝∠EAD等)，使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可)．
12．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝2，则图中阴影部分的面积为 .
【解析】由矩形的性质，易得△AEM≌△CFN，平行四边形BEMN与平行四边形DMNF全等，
∴S阴影＝S矩形ABCD＝×2×2＝2.
答案: 2
13．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连结EF，CF.则下列结论中一定成立的是 (把所有正确结论的序号都填在横线上)．
①∠DCF＝∠BCD； ②EF＝CF；
③S△BEC＝2S△CEF； ④∠DFE＝3∠AEF.
【解析】∵F是AD的中点，∴AF＝FD.∵在▱ABCD中，AD＝2AB，∴AF＝FD＝CD，∴∠DFC＝∠DCF. ∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠DCF＝∠BCD，故①正确；如图，延长EF交CD的延长线于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF.∵F为AD的中点，∴AF＝FD.在△AEF和△DMF中，∠A＝∠FDM，AF＝DF，∠AFE＝∠DFM，∴△AEF≌△DMF，∴FE＝MF.∵CE⊥ AB，∴∠AEC＝90°，∴∠ECD＝∠AEC＝90°.∵FM＝EF，∴CF＝EF，故②正确；
∵EF＝FM，∴S△EFC＝S△CFM＝S△ECM.∵MC＞BE，S△BEC
14．(2015·杭州春蕾中学模拟)如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°.连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE＝60°……按此规律所作的第n个菱形的边长是 .
【解析】如图，连结DB，交AC于点M.∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，AC⊥DB.∵∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴DB＝AD＝1，∴BM＝，∴AM＝，∴AC＝.同理可得AE＝AC＝()2，AG＝AE＝3＝()3，
按此规律所作的第n个菱形的边长为()n－1.
答案: ()n－1
三、解答题
15．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连结DE.
(1)求证：DE⊥BE;
(2)如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE.
证明：(1)∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.∴OD＝OE.
∴∠OED＝∠ODE.
在△BED中，∠OEB＋∠OBE＋∠ODE＋∠OED＝180°，
∴2(∠OEB＋∠OED)＝180°.
∴∠OEB＋∠OED＝90°，即∠BED＝90°.∴DE⊥BE.
(2)如图，设OE交CD于点H.
∵OE⊥CD于点H，∴∠CHE＝90°.
∴∠CEH＋∠HCE＝90°.
∵∠CED＝90°，∴∠CDE＋∠DCE＝90°.
∴∠CDE＝∠CEH.
∵∠OEB＝∠OBE，∴∠OBE＝∠CDE.
在△CED与△DEB中，
∴△CED∽△DEB.
∴＝，∴BD·CE＝CD·DE.
16．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
(1)如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连结AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的关系，并说明理由；
(2)如图②，当点E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连结AE和DF，(1)中的结论还成立吗？(请直接回答“是”或“否”，不需证明)
(3)如图③，当点E，F分别在CD，BC的延长线上移动时，连结AE和DF，(1)的结论还成立吗？请说明理由；
(4)如图④，当点E，F分别在DC，CB上移动时，连结AE和DF交于点P.由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最小值．
解：(1)AE＝DF，AE⊥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°.
∵DE＝CF，∴△ADE≌△DCF.
∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF.
由于∠CDF＋∠ADF＝90°，
∴∠DAE＋∠ADF＝90°.
∴AE⊥DF.
(2)是(证明过程与(1)中相同)．
(3)成立．理由如下：
由(1)同理可证，AE＝DF，
∠DAE＝∠CDF.
如图，延长FD交AE于点G，
则∠CDF＋∠ADG＝90°.
∴∠ADG＋∠DAE＝90°.∴AE⊥DF.
(4)如图，由于点P在运动中保持∠APD＝90°，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧．设AD的中点为O，连结OC交弧于点P，此时CP的长度最小．在Rt△ODC中，OC＝＝＝.∴CP＝OC－OP＝－1.
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