中考数学——几何图形的初步(练习)(含答案)

这是一份中考数学——几何图形的初步(练习)(含答案)，共138页。
TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc186534373"
\l "_Tc186534374" ?题型01 从不同方向看几何体
\l "_Tc186534375" ?题型02 由几何体展开图计算表面积、体积
\l "_Tc186534376" ?题型03 正方体的展开图
\l "_Tc186534377" ?题型04 平面图形旋转所得的立体图形
\l "_Tc186534378" ?题型05 指出现实问题后的数学依据
\l "_Tc186534379" ?题型06 与线段中点有关的计算
\l "_Tc186534380" ?题型07 方向角
\l "_Tc186534381" ?题型08 钟面角
\l "_Tc186534382" ?题型09 与角平分线有关的计算
\l "_Tc186534383" ?题型10 与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算
\l "_Tc186534384" ?题型11 三线八角的识别
\l "_Tc186534385" ?题型12 利用平行线的判定进行证明
\l "_Tc186534386" ?题型13 根据平行线的性质求解
\l "_Tc186534387" ?题型14 平行线的形状在生活中的应用
\l "_Tc186534388" ?题型15 根据平行线性质与判定求角度
\l "_Tc186534389" ?题型16 根据平行线性质与判定证明
\l "_Tc186534390"
\l "_Tc186534391"
?题型01 从不同方向看几何体
1．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）小明自己动手做了一个数学模型，从正面、左面、上面观察它，得到的三视图如图所示，则该模型的形状是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．三棱锥
2．（2022·安徽·模拟预测）如图，下列四个几何体，从上面、正面、左侧三个不同方向看到的形状中只有两个相同的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）小明同学从正面观察如图所示的几何体，得到的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
?题型02 由几何体展开图计算表面积、体积
4．（2024·云南昭通·二模）如图，这是一个圆柱形笔筒，量的笔筒的高是11cm，底面圆的直径是8cm，则这个笔筒的侧面积为 cm2（结果保留π）．
5．（2024·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形：
下列说法正确的是（ ）
A．方案 1中的 a=4B．方案2中的b=6
C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同
6．（2020·黑龙江大庆·中考真题）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ）
A．1：1B．1：3C．1：6D．1：9
7．（2024·河南驻马店·二模）延时课上，同学们利用面积为100dm2的正方形纸板，制作一个正方体礼品盒(如图所示裁剪)．则这个礼品盒的体积是 dm3．
?题型03 正方体的展开图
8．（2024·广东·模拟预测）如图所示，正方形盒子的外表面画有3条粗黑线，将这个正方形盒子表面展开（外表面朝上），其展开图可能是（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·湖南·模拟预测）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是( )
A．美B．丽C．中D．国
10．（2024·河北唐山·二模）如图，是一个正方体粉笔盒的表面展开图，将其折叠成正方体后，与顶点E重合的顶点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
11．（2024·河北张家口·三模）用硬卡纸做一个骰子，使骰子相对两面的点数之和为7，折叠前后如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．点数1的对面是B面B．点数2的对面是A面
C．A，C两个面的点数和为9D．B，C两个面的点数和为6
?题型04 平面图形旋转所得的立体图形
12．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在Rt△PQR中，∠PQR=90°，PQ=4，RQ=3，将Rt△PQR绕直线PQ旋转一周，会得到一个几何体，则这个几何体的侧面积等于 ．（结果保留π）
13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，将平面图形甲、乙分别绕轴l、m旋转一周，可以得到立体图形①、②，图形甲是直角边分别为a、3b的直角三角形，图形乙是长、宽分别为a、b的矩形，已知a>b，试猜想这两个立体图形哪个体积更大，并通过计算证明自己的猜想（V圆锥=13πr2ℎ，V圆柱=πr2ℎ）
14．（2024·陕西西安·二模）如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为1.8m、高为3m的玻璃隔板组成．
(1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是________，这能说明的事实是________（填字母）；
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体
(2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留π）
?题型05 指出现实问题后的数学依据
15．（2022·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·吉林白山·模拟预测）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．垂线段最短D．三角形两边之和大于第三边
17．（2023·河南洛阳·二模）请举生活中的实例说明“两点确定一条直线”这个基本事实 ．
18．（20-21七年级上·江苏镇江·期末）下列三个日常现象：
其中，可以用“垂线段最短”来解释的是 （填序号）．
?题型06 与线段中点有关的计算
19．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，C地在A，B两地的中点处，若A，C两地之间的距离为6×106m，则A，B两地之间的距离为（ ）
A．3×106mB．12×106mC．1.2×106mD．1.2×107m
20．（2023·广西桂林·三模）如图，C是线段AB上一点，若线段AC=10cm，且OC=2cm，O是AB的中点，则线段AB的长度为 cm．
21．（2023平乐县三模）如图，在一条笔直的大道上有A，B，C三个小区，O为A、C区的中点．已知某校学生住在A区有3人，B区有2人，C区有7人，且AC＝1000m，BC＝700m．若学校在O处做为校车的停靠点，则这些学生从住处到该停靠点的路程之和是（ ）．
A．4400mB．5400mC．5800mD．7600m
22．（2022·河北唐山·一模）A、B、C、D四个车站的位置如图所示．
（1）C、D两站的距离为 ；（2）若a＝3，C为AD的中点，b= ．
?题型07 方向角
1．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图是石家庄市地图的一部分，省二院在市二中北偏东30°方向上，则市二中在省二院的（ ）
A．南偏东30°方向B．南偏西30°方向
C．北偏东45°方向D．北偏西60°方向
2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，一艘船由A岛沿北偏东30°方向航行20km至B岛，然后再沿北偏西60°方向航行20km至C岛．
(1)求A，C两岛之间的距离；
(2)确定C岛在A岛的什么方向？
3．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛A相对于小岛C的方向是（ ）
A．北偏东70°B．北偏东75°C．南偏西70°D．南偏西20°
4．（2024·吉林松原·模拟预测）木栏头灯塔是矗立在海南岛文昌市的一座航标灯塔（如图①），被称为“亚洲第一灯塔”，如图②，虎威岛A位于木栏头灯塔O的南偏西50°方向上，一艘轮船在B处测得灯塔O位于它的北偏西45°方向上，轮船沿着正北方向航行3km后，到达位于灯塔O正东方向上的C处，该船继续向北航行至直线AO上的点D处．
(1)填空：∠BOC= ______度，∠D= ______度；
(2)求点D到灯塔O的距离（参考数据sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19，3≈1.73．结果精确到小数点后一位）．
?题型08 钟面角
1．（2024·河北·一模）如图1，小萍从地图上测得学校在她家的北偏东60°方向，她看到家里的钟表如图2，想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则她可以说学校在家的（ ）
A．1点钟方向B．2点钟方向C．7点钟方向D．8点钟方向
2．（2024·山西朔州·一模）如图是一面钟表，以指针的旋转中心O为坐标原点，以整9点时针和分针所在的直线分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处．若OA=10，则点A的坐标为（ ）
A．53,5B．5,53C．52,52D．53,52
3．（2024·辽宁抚顺·一模）如图，正常运行的钟表，分针从“9”第一次走到“12”，分针就（ ）
A．沿逆时针方向旋转了45°B．沿顺时针方向旋转了45°
C．沿逆时针方向旋转了90°D．沿顺时针方向旋转了90°
4．（2023·河北保定·二模）某款钟表的分针长度为5cm，则经过30分钟分针针尖走过的路线长为（ ）
A．5πcmB．5π4cmC．5π12cmD．5π3cm
?题型09 与角平分线有关的计算
31．（2023郑州市模拟）【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=12∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，如图1，∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，则∠AOC=12∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD=12∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．
(1)【知识运用】如图2，∠AOB=120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM=________°，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是________．（用含α的代数式表示）
(2)如图3若∠AOB=180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针转动，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针转动，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻t（秒）使得∠COD的度数是20°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②当t的值为多少时，射线OC，OD，OA中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？
32．（2024·山西大同·二模）阅读与思考
下面是小王同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
(1)以上证明过程中，依据是指______．
(2)请你将日记中第二种情况的求证和第三种情况的已知和求证补充完整，并选择其中一种情况进行证明．
33．（2024·江苏泰州·二模）图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这样的图形叫诺模图．
设有两只电阻，R1=6千欧，R2=4千欧，问并联后的总电阻值R是多少千欧？
我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着6和4的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的总电阻值R．

(1)①R1=6千欧，R2=4千欧，计算R= 千欧；
②如图1，已知∠AOB=120°，OC是∠AOB的角平分线，OA=R1，OB=R2，OC=R．用你所学的几何知识说明：1R=1R1+1R2；
(2)如图2，已知∠AOB=90°，OC是∠AOB的角平分线，OA=R1，OB=R2，OC=R．此时关系式可以写成m⋅1R=1R1+1R2，其中m≠0的常数，求m的值；
(3)如图3，若∠AOB=α，（2）中其余条件不变，请探索R1，R2，R之间的关系．（用含α的代数式表示）
34．（2024北京二中模拟）如图1，直线AB与直线l1，l2分别交于C，D两点，点M在直线k上，射线DE平分∠ADM交直线l1于点Q，∠ACQ=2∠CDQ．

(1)证明：l1∥l2；
(2)如图2，点P是CD上一点，射线QP交直线l2于点F，∠ACQ=70°．
①若∠QFD=15°，求出∠FQD的度数．
②点N在射线DE上，满足∠QCN=∠QFD，连接CN，请补全图形，探究∠CND与∠PQD的等量关系，并写出证明过程．
?题型10 与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算
35．（2024·广西柳州·三模）若一个角为55°，则它的补角的度数为（ ）
A．25°B．35°C．115°D．125°
36．（2024·广西·模拟预测）如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A=50°，则∠DCB的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
37．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，a∥b，把Rt△ABC如图所示放置，直角顶点A在直线b上，∠B=30° ，若∠1=18°，则∠2等于的度数为 ．
38．（2024·江苏镇江·二模）如图，直线a∥b将一个含有30°角的直角三角板（∠A=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=33°，则∠2的度数是 ．
?题型11 三线八角的识别
39．（2024·福建宁德·一模）如图，直线a，b被直线c所截，下列判断错误的是（ ）
A．∠1+∠2=180°°B．∠4=∠5
C．∠3与∠4是内错角D．∠1=∠4
40．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，∠1与∠2的位置关系是（ ）
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
41．（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
?题型12 利用平行线的判定进行证明
42．（2024·贵州黔东南·一模）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AB=DC，EC=FB，______．

求证：AE∥DF．
在①AE=DF；②EC∥FB这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在上面的横线上，并加以解答．
43．（2024·湖南长沙·模拟预测）下面是小华同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和直线l外一点P.求作：直线PM，使直线PM∥直线l．
作法：如图2，
①在直线l上任取一点A，作射线AP；
②以P为圆心，PA为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；
③以P为圆心，PB长为半径作弧，交射线AP于点C；分别以B，C为圆心，大于12BC长为半径作弧，在AC的右侧两弧交于点M；
④作直线PM；
所以直线PM就是所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
(1)根据上述作图过程可知：射线PM平分∠CPB，这种作角的角平分线的方法的依据是___________（填序号）．
①SSS ②SAS ③ASA ④AAS
(2)完成下面的证明：
证明：由作图可知PM平分∠CPB，
∴∠CPM=∠__________=12∠CPB.
又∵PA=PB，
∴∠PAB=∠___________.
∵∠CPB=∠PAB+∠PBA，
∴∠PAB=∠PBA=12∠CPB，
∴∠CPM=∠PAB，
∴直线PM∥直线l．（___________）（填写推理依据）
44．（2024·江苏·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC．以AB为直径的圆O分别交AC，BC于点D，E．过点B作圆O的切线交OE的延长线于点F．
(1)求证：OE∥AC；
(2)如果AB=10，AD=6，求EF的长．
45．（2024·江苏苏州·二模）在△ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，连接ED并延长使DF=DE．
(1)证明：AC∥BF；
(2)若BC=8，AB=5，DB平分∠ABF，求AD的长．
?题型13 根据平行线的性质求解
46．（2024·四川雅安·模拟预测）如图，已知AB∥CD，BC是∠ABD的平分线，若∠2=64°，则∠3的度数是（ ）
A．64°B．58°C．32°D．116°
47．（2024·山东济南·模拟预测）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线 ）的夹角等于入射光线与法线的夹角 ．如图一个平面镜斜着放在水平面上， 形成∠AOB形状，∠AOB=36°，在OB上有一点E， 从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线DC刚好与OB平行，则∠DEB的度数为（ ）
A．71°B．72°C．54°D．53°
48．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点，若∠2=40°，∠3=70°，则∠1的度数为（ ）
A．130°B．140°C．150°D．160°
49．（2024·山西大同·模拟预测）一副三角尺按如图摆放，若EF∥AC，DF交AB于点M，则∠DMB的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．90°
?题型14 平行线的形状在生活中的应用
50．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反射面），入射波AO经过三次反射后沿O'A'水平射出，且OA∥O'A'，已知入射波AO与法线的夹角∠1=35°，则∠A'O'F=（ ）
A．70°B．60°C．45°D．35°
51．（2024·广东·模拟预测）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，∠1=50°，∠AOB=153°，则∠2等于（ ）
A．93°B．103°C．130°D．153°
52．（2023·浙江嘉兴·一模）地球有多大？2000多年前，古希腊数学家埃拉托斯特尼（Eratstℎenes）利用太阳光线测量出了地球子午线的周长．下面让我们一起开启“探求地球周长”的数学项目化学习之旅．

?题型15 根据平行线性质与判定求角度
53．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，DE平分∠ADC，DE∥BC，∠ADC=∠B=96°，求∠A的度数．
54．（2024·山东青岛·一模）【探究1】
如图1， ∠BAD的平分线AE与 ∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD， ∠ABC=30°，∠ADC=36°，则 ∠AEC= ；
【探究2】
如图2， ∠BAD的三等分线AE与 ∠BCD的三等分线CE交于点E，∠EAD=13∠BAD,∠BCE=13∠BCD，AB∥CD，∠ABC=30°，∠ADC=36°，则 ∠AEC= ；
【探究3】
如图3，∠BAD 的n等分线AE与 ∠BCD的n等分线CE交于点E，∠EAD=1n∠BAD，∠BCE=1n∠BCD，AB∥CD，∠ABC=x°,∠ADC=y°，则 ∠AEC= (用含x，y，n的式子表示) ．

55．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，其中支杆AB=BC=22cm，可绕支点C,B调节角度，DE为手机的支撑面，DE=20cm，支点A为DE的中点，且DE⊥AB．
(1)若支杆BC与桌面的夹角∠BCM=72°，求支点B到桌面的距离．
(2)在（1）的条件下，若支杆BC与AB的夹角∠ABC=112°，求支撑面下端E到桌面的距离．
56．（2023·广东·模拟预测）【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2．
(1)【初步应用】如图2，有两块平面镜AB，BC1，入射光线DO1经过两次反射，得到反射光线O2E，若∠B=90°，证明：DO1∥O2E；
(2)【拓展探究】如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EO1经过三次反射，得到反射光线O3F，已知∠1=36°，∠B=120°，若要使EO1∥O3F，则∠C为多少度？
?题型16 根据平行线性质与判定证明
57．（2024武汉市二模）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，EF交CD于点F，∠2+∠3=180°，∠1=∠B．
(1)求证：DE∥BC；
(2)若DE平分∠ADC，∠3=3∠B，求∠2的度数，
58．（2024·浙江丽水·二模）课课堂上同学们独立完成了这样一道问题：“如图，已知AB∥CD，AD∥CB，求证：∠1=∠2．”
小莲同学解答如下：
∵AB∥CD，
∴∠1+∠BCD=180°，
∵AD∥BC，
∴∠2+∠BCD=180°，
∴∠1=∠2
小莲的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．
59．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D，E为BC上一点，AE，DC的延长线交于点F，∠DAE=∠BEA．
(1)求证：∠BAF=∠F；
(2)若CFAB=13，直接写出△CEF和△DAF的周长之比．
60．（2024·黑龙江·二模）已知直线AM∥BN，∠BAM的平分线与 ∠ABN的平分线交于点C，过点 C 作DE 交AM于点 D，交直线BN于点E．

(1)当直线 DE⊥AM时，如图①，求证：AB=BE+AD；
(2)当直线 DE 与AM不垂直时，如图②、图③，猜想线段AD，BE，AB之间有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
1．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块．
2．（2024·河北·中考真题）如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点．
（1）△AC1D1的面积为 ；
（2）△B1C4D3的面积为 ．
3．（2024·四川德阳·中考真题）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（ ）
A．吉 如 意B．意 吉 如C．吉 意 如D．意 如 吉
4．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α=15°．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β=45°，则EF与FG所成锐角的度数为（ ）
A．60°B．55°C．50°D．45°
5．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE=FB），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
图1 图2 图3
(1)直接写出ADAB的值；
(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
(3)
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．自B．立C．科D．技
2．（2024·江苏常州·中考真题）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ）
A．三棱锥B．圆锥C．三棱柱D．长方体
4．（2024·四川雅安·中考真题）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB于O，若∠1=35°，则∠2的度数是（ ）
A．55°B．45°C．35°D．30°
5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿AB折叠，量得∠1=∠2=59°；小铁把纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（ ）
A．纸带①、②的边线都平行
B．纸带①、②的边线都不平行
C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
6．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小明在地图上量得∠1=∠2，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行D．对顶角相等
7．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：
①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；
②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；
③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；
④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠AOM=∠BB．∠OMC+∠C=180∘
C．AM=CMD．OM=12AB
8．（2024·广东深圳·中考真题）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1=50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
9．（2024·山西·中考真题）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面AB与底座CD平行，等长的支架AD,BC交于它们的中点E，液压杆FG∥BC．若∠BAE=53°，则∠GFD的度数为（ ）
A．127°B．106°C．76°D．74°
10．（2023·吉林·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC=110°，则∠BAE的大小为 度．

11．（2023·湖南·中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣=12矩，1欘=112宣（其中，1矩=90°），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1欘，则∠C= 度．

13．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ．
14．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若S△ABDS△BCD=13，则S△AODS△BOC= ．
15．（2024·山东·中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB=25°，则∠CAB= ．
16．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，AB∥CD，直线MN与AB,CD分别交于点E，F，CD上有一点G且GE=GF，∠1=122°．求∠2的度数．

17．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．

(1)求证：∠E=∠ECD；
(2)若∠E=60°,CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状．
18．（2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】
如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=8，AB=12，AD=13．
折叠四边形纸片ABCD，使得点C的对应点C'始终落在AD上，点B的对应点为B'，折痕与AB，CD分别交于点M，N．
【解决问题】
(1)当点C'与点A重合时，求B'M的长；
(2)设直线B'C'与直线AB相交于点F，当∠AFC'=∠ADC时，求AC'的长．
19．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
20．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？
解：相等．理由如下：
设l1与l2之间的距离为ℎ，则S△ABC=12BC⋅ℎ，S△DBC=12BC⋅ℎ．
∴S△ABC=S△DBC．
【探究】
(1)如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为ℎ，ℎ'，则S△ABCS△DBC=ℎℎ'．
证明：∵S△ABC
(2)如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则S△ABCS△DBC=AMDM．
证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM=∠DFM=90°，
∴AE∥ ．∴△AEM∽ ．∴AEDF=AMDM．
由【探究】（1）可知S△ABCS△DBC= ，∴S△ABCS△DBC=AMDM．
(3)如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，S△ABCS△DBC的值为 ．
第四章 三角形
第15讲 几何图形的初步
x年x月x日 星期二
数学推理真有趣
今天数学课上学习了如果交换某命题的条件和结论，可以得到一个新命题，这个命题是原命题的逆命题．例如：原命题是两直线平行，同位角相等，交换该命题的条件和结论，就可以得到该命题的逆命题是同位角相等，两直线平行……
在数学中有很多类似的情况，例如：如图，E是AB上一点，①AB∥CD，②CE是∠ACD的平分线，③AC=AE，如果这三个条件中已知其中的任意两个，那么就能推导出第三个．
第一种情况：已知，如图，E是AB上一点；AB∥CD，CE是∠ACD的平分线．求证：AC=AE．
证明：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD．
∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE=∠ECD．∴∠ACE=∠AEC．∴AC=AE（依据）
第二种情况：已知，如图，E是AB上一点，AB∥CD，AC=AE．求证：______
证明：……
第三种情况……
项目任务
（一）
如图1，某日正午，小红在B地（与太阳直射点A在同一子午线上）测得太阳光与木棍的夹角为α，则∠AOB=______，若测得AB之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含α，l的代数式表示）
项目任务
（二）
如图2，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分别为α，β，则∠BOC=______，若测得BC之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含α，β，l的代数式表示）
项目任务
（三）
如图3，日落时，身高为h的小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时，小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了∠PQH=θ，请据此计算出地球的半径与周长．（用含h，θ的代数式表示）
卡纸型号
型号Ⅰ
型号Ⅱ
型号Ⅲ
规格（单位：cm）
30×40
20×80
80×80
单价（单位：元）
3
5
20
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，ΔABC,
求证：∠A+∠B+∠C=180∘.
方法一
证明：如图，过点A作DE//BC.

方法二
证明：如图，过点C作CD//AB.
TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u
\l "_Tc186534374" ?题型01 从不同方向看几何体
\l "_Tc186534375" ?题型02 由几何体展开图计算表面积、体积
\l "_Tc186534376" ?题型03 正方体的展开图
\l "_Tc186534377" ?题型04 平面图形旋转所得的立体图形
\l "_Tc186534378" ?题型05 指出现实问题后的数学依据
\l "_Tc186534379" ?题型06 与线段中点有关的计算
\l "_Tc186534380" ?题型07 方向角
\l "_Tc186534381" ?题型08 钟面角
\l "_Tc186534382" ?题型09 与角平分线有关的计算
\l "_Tc186534383" ?题型10 与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算
\l "_Tc186534384" ?题型11 三线八角的识别
\l "_Tc186534385" ?题型12 利用平行线的判定进行证明
\l "_Tc186534386" ?题型13 根据平行线的性质求解
\l "_Tc186534387" ?题型14 平行线的形状在生活中的应用
\l "_Tc186534388" ?题型15 根据平行线性质与判定求角度
\l "_Tc186534389" ?题型16 根据平行线性质与判定证明
?题型01 从不同方向看几何体
1．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）小明自己动手做了一个数学模型，从正面、左面、上面观察它，得到的三视图如图所示，则该模型的形状是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．三棱锥
【答案】A
【分析】本题考查从不同方向看．由从正面、左面看可得此几何体为锥体，根据从上面看是圆及圆心可判断出此几何体为圆锥．
【详解】解：∵从正面、左面看都是三角形，
∴此几何体为锥体，
∵从上面看是一个圆及圆心，
∴此几何体为圆锥，
故选A．
2．（2022·安徽·模拟预测）如图，下列四个几何体，从上面、正面、左侧三个不同方向看到的形状中只有两个相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别找出每个几何体从三个方向看到的图形即可得到答案．
【详解】解：A.正方体从上面、正面、左侧三个不同方向看到的形状都是正方形，故A选项不符合题意；
B.球从从上面、正面、左侧三个不同方向看到的形状都是圆，故B选项不符合题意；
C.直三棱柱从上面看是中间有一条横杠的矩形，从正面看是矩形，从左侧看是三角形，故C选项不符合题意；
D.圆柱从上面和正面看都是矩形，从左侧看是圆，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，培养空间想象能力，熟练掌握从不同方向看几何体是解决本题的关键．
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）小明同学从正面观察如图所示的几何体，得到的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是几何体的三视图，根据主视图是从物体的正面看得到的视图解答即可．
【详解】解：从正面看到的平面图形为等腰梯形.
故选：A．
?题型02 由几何体展开图计算表面积、体积
4．（2024·云南昭通·二模）如图，这是一个圆柱形笔筒，量的笔筒的高是11cm，底面圆的直径是8cm，则这个笔筒的侧面积为 cm2（结果保留π）．
【答案】88π
【分析】本题考查了圆柱的侧面积，熟练掌握圆柱的侧面积为πdℎ，其中d为底面圆直径，ℎ为圆柱的高是解题的关键．
根据笔筒的侧面积为π⋅8⋅11，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，笔筒的侧面积为 π⋅8⋅11=88π cm2，
故答案为：88π．
5．（2024·河北邯郸·模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形：
下列说法正确的是（ ）
A．方案 1中的 a=4B．方案2中的b=6
C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同
【答案】C
【分析】本题考查图形的展开与折叠，考查学生的运算能力、推理能力、空间观念．分别求出a和b的值，方案1和方案2的容积即可得到答案．
【详解】解：方案1：a=12÷4＝3，故A选项错误，
所折成的无盖长方体的底面积为3×3=9．
容积为5×9=45．
方案2：b=12−2×22=4，故B选项错误，
所折成的无盖长方体的底面积为4×2=8．
容积为6×8=48．
∴方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积，
故选：C．
6．（2020·黑龙江大庆·中考真题）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ）
A．1：1B．1：3C．1：6D．1：9
【答案】D
【分析】根据V圆锥=13S底面积ℎ高,V圆柱=S底面积ℎ高,结合已知条件可得答案．
【详解】解：设圆锥与圆柱的底面半径为r, 圆锥的高为ℎ，则圆柱的高为3ℎ，
∴V圆锥=13πr2ℎ,V圆柱=πr2×3ℎ=3πr2ℎ,
∴V圆锥V圆柱＝13πr2ℎ3πr2ℎ=19.
故选D．
【点睛】本题考查的是圆锥的体积与圆柱的体积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
7．（2024·河南驻马店·二模）延时课上，同学们利用面积为100dm2的正方形纸板，制作一个正方体礼品盒(如图所示裁剪)．则这个礼品盒的体积是 dm3．
【答案】162
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形．
设EF=x，判断出△AEF和△DEG为等腰直角三角形，证明△AEF∽△DEG，得到AEDE=EFEG，可求出AE，即可得到正方体礼品盒的棱长，从而计算体积．
【详解】解：如图，在正方形ABCD中，AD=10，
设EF=x，
由此裁剪可得：△AEF和△DEG为等腰直角三角形，
∴△AEF∽△DEG，
∴AEDE=EFEG，即AE10−AE=x4x，
解得：AE=2(分米)，
∴EF=2AE=22(分米)，
∴正方体礼品盒的棱长为22(分米)，
∴体积为223=162(立方分米)，
故答案为：162．
?题型03 正方体的展开图
8．（2024·广东·模拟预测）如图所示，正方形盒子的外表面画有3条粗黑线，将这个正方形盒子表面展开（外表面朝上），其展开图可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方体表面展开图，观察原正方体的3条粗黑线的特征，有两条交于一个顶角，第三条与前面两条粗黑线没相交，据此逐个选项分析，即可作答．
【详解】
解：观察，
∴其展开图可能是，
故选：D．
9．（2024·湖南·模拟预测）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是( )
A．美B．丽C．中D．国
【答案】B
【分析】本题考查了正方体展开图的相对面，根据正方体展开图的特点即可得出答案，解题的关键是掌握正方体展开图相对面的特征“隔一个或成Z字端”．
【详解】解：由图可知，与“我”字所在的面相对的面上的汉字是“丽”，
故选：B．
10．（2024·河北唐山·二模）如图，是一个正方体粉笔盒的表面展开图，将其折叠成正方体后，与顶点E重合的顶点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【答案】D
【分析】本题考查了立体图形的展开图，解题的关键是数形结合．结合图形即可求解．
【详解】解：观察发现，折叠成正方体后，与顶点E重合的顶点是点D．
故选：D．
11．（2024·河北张家口·三模）用硬卡纸做一个骰子，使骰子相对两面的点数之和为7，折叠前后如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．点数1的对面是B面B．点数2的对面是A面
C．A，C两个面的点数和为9D．B，C两个面的点数和为6
【答案】C
【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据同行隔一个，确定出相对面，再进行判断即可．
【详解】解：由图可知：点数1的对面是A面，故A的点数为7−1=6；
点数4的对面是C面，故C的点数为7−4=3；
点数2的对面是B面，故B的点数为7−2=5，
∴A，C两个面的点数和为9，B，C两个面的点数和为8；
故选C．
?题型04 平面图形旋转所得的立体图形
12．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在Rt△PQR中，∠PQR=90°，PQ=4，RQ=3，将Rt△PQR绕直线PQ旋转一周，会得到一个几何体，则这个几何体的侧面积等于 ．（结果保留π）
【答案】15π
【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，勾股定理，面动成体，先利用勾股定理得到PR=RQ2+PQ2=5，再根据题意可得将Rt△PQR绕直线PQ旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥，据此根据圆锥侧面积计算公式求解即可．
【详解】解：∵在Rt△PQR中，∠PQR=90°，PQ=4，RQ=3，
∴PR=RQ2+PQ2=5，
∵将Rt△PQR绕直线PQ旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥，
∴这个几何体的侧面积等于π×3×5=15π，
故答案为：15π．
13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，将平面图形甲、乙分别绕轴l、m旋转一周，可以得到立体图形①、②，图形甲是直角边分别为a、3b的直角三角形，图形乙是长、宽分别为a、b的矩形，已知a>b，试猜想这两个立体图形哪个体积更大，并通过计算证明自己的猜想（V圆锥=13πr2ℎ，V圆柱=πr2ℎ）
【答案】图形①的体积更大，见解析
【分析】本题考查了面动成体，圆锥的体积、圆柱的体积等知识点，掌握圆锥的相关知识成为解题的关键．设图形①、②的体积分别为V₁、V2，然后分别求得图形①、②的体积，然后作差即可解答．
【详解】解：图形①的体积更大．
设图形①、②的体积分别为V1、V2，
则V1=13πa2×3b=πa2b，V2=πb2a，
∴V1−V2=πa2b−πb2a=πaba−b，
∵a>b，
∴V1−V2>0
故图形①的体积更大．
14．（2024·陕西西安·二模）如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为1.8m、高为3m的玻璃隔板组成．
(1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是________，这能说明的事实是________（填字母）；
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体
(2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留π）
【答案】(1)圆柱；C
(2)9.72πm3
【分析】本题考查了圆柱的体积，平面图形旋转后形成的立方体，
（1）旋转门的形状是长方形；长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱；
（2）根据圆柱体的体积=底面积×高计算即可．
【详解】（1）解：∵旋转门的形状是长方形，
∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体．
故答案为：圆柱；C；
（2）解：该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱，
体积为：π×1.82×3=9.72πm3．
故形成的几何体的体积是9.72πm3．
?题型05 指出现实问题后的数学依据
15．（2022·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题．
【详解】解：由题意知，A中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；
B中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；
C中能用垂线段最短进行解释，符合题意；
D中能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意；
故选：C．
16．（2023·吉林白山·模拟预测）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．垂线段最短D．三角形两边之和大于第三边
【答案】A
【分析】本题考查了线段的性质，关键是掌握两点之间所有的连线中，线段最短．
【详解】解：用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分，则原来所减掉的线段的两个端点之间由曲线变为了线段，周长缩小了，则应用的原理是两点之间线段最短，
故选：A．
17．（2023·河南洛阳·二模）请举生活中的实例说明“两点确定一条直线”这个基本事实 ．
【答案】把一个木条固定在墙上需要两个钉子（答案不唯一）
【分析】根据两点确定一条直线的原理寻找实例解答即可．
【详解】举生活中的实例说明“两点确定一条直线”这个基本事实为：把一个木条固定在墙上需要两个钉子（答案不唯一）．
故答案为：把一个木条固定在墙上需要两个钉子（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了直线的性质，关键是正确理解两点确定一条直线．
18．（20-21七年级上·江苏镇江·期末）下列三个日常现象：
其中，可以用“垂线段最短”来解释的是 （填序号）．
【答案】①
【分析】根据垂线的性质：垂线段最短即可得到结论．
【详解】解：可以用“垂线段最短”来解释①，
可以“两点之间线段最短” 来解释②，
可以用“两点确定一条直线” 来解释③，
故答案为：①．
【点睛】本题考查了垂线段最短以及直线、线段的相关知识，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．
?题型06 与线段中点有关的计算
19．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，C地在A，B两地的中点处，若A，C两地之间的距离为6×106m，则A，B两地之间的距离为（ ）
A．3×106mB．12×106mC．1.2×106mD．1.2×107m
【答案】D
【分析】首先根据线段中点的定义求得AB=2AC，然后利用科学记数法表示该数即可；本题主要考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法形式a×10n，其中1≤a