初中数学北师大版（2024）八年级下册1 图形的平移单元测试随堂练习题

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册1 图形的平移单元测试随堂练习题，共26页。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若，将点向左平移2个单位，再向上平移2个单位，对应点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.“致中和,天地位焉,万物育焉”.对称美是我国古人和谐平衡思想的体现,常被运用于建筑,器物,绘画,标识等作品的设计上,使对称之美惊艳了千年.下面四个标志中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.
3.如图，点A的坐标为，点B在x轴上，把沿x轴向左平移得到，若四边形的面积为15，则点C的坐标为( )
A.B.C.D.
4.如图所示,边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上,将绕原点O逆时针旋转30°得到三角形,则点的坐标为( )
A.B.C.D.
5.如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的四条边与两条坐标轴平行，已知点，点点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为,则的坐标为是()
A.B.C.D.
6.如图,是等腰三角形的底边的中线,,,与关于点C成中心对称,连接,则的长是( )
A.4B.C.D.
7.如图，将等腰沿方向平移得到，，.下列结论：
①；
②；
③；
④阴影部分的面积为.
其中正确的是( )
A.①③B.①②③C.①③④D.①②③④
8.如图,在平面直角坐标系中的斜边BC在x轴上,点B坐标为,,,把先绕B点顺时针旋转180°,然后再向下平移2个单位,则A点的对应点的坐标为( )
A.B.C.D.
9.平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度.
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为( )
A.或B.或C.或D.或
10.等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝；④△BDE周长最小值是9.其中正确个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.如图,在中,,.将此三角形绕点C按顺时针方向旋转后得到,若点恰好落在线段上,、交于点O,则的度数为______.
12.如图,将沿直线BA向左平移后,到达的位置,若,,则的度数为______°.
13.如图,把放在平面直角坐标系内,其中,,点A,B的坐标分别为,,将沿x轴向右平移,当点C落在直线上时,线段平移的距离为______.
14.如图,在中,,,将绕点A逆时针方向旋转到的位置,则图中阴影部分的面积是______.
15.如图,在平面直角坐标系中,是等边三角形,点,直线绕x轴上一点M顺时针旋转120°,得到的直线恰好经过点B,则点M的坐标是______.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）如图,,,,将向右平移3个单位长度,然后再向上平移1个单位长度,可以得到.
(1)画出平移后的,并写出,,的坐标；
(2)画出绕点C顺时针旋转后得到的,并写出点的坐标：
(3)在x轴上存在点P,使得面积为,直接写出点P的坐标.
17.（8分）如图,等腰直角中,,点P在上,将绕顶点B沿顺时针方向旋转后得到.
(1)求的度数；
(2)若,,求的长.
18.（10分）如图1,在平面直角坐标系中,已知,.将线段先向上平移2个单位长度,再向右平移2个单位长度得到线段,使点A的对应点为点C,点B的对应点为点D,连接、,点P是射线上一动点.
(1)填空：点C的坐标是__________,点D的坐标是__________.
(2)当点P运动到如图1所示的位置时,连接,此时平分,点E是延长线上一点,已知,猜想和的位置关系并写出证明过程.
(3)点P是射线上一动点,连接、,直接写出,与的数量关系.
19.（10分）定义：平面直角坐标系中,点和点的距离为,例如：点和的距离为.
(1)在平面直角坐标系中,点和点的距离是,点和点的距离是；
(2)在平面直角坐标系中,已知点和,将线段平移到,点M的对应点是,点N的对应点是,若的坐标是,且,求点的坐标；
(3)已知在平面直角坐标系内两点坐标,,那么这两点之间距离公式为,求：的最小值.
20.（12分）综合与实践
问题情境：活动课上,同学们以三角形为背景探究图形变化中的数学问题,如图1,中,,,将从图1的位置开始绕点C顺时针旋转得到(点A,B的对应点分别为点,),旋转角为.
操作思考：
(1)如图2,“明辨”小组画出了恰好经过点B时的图形,求此时旋转角的度数；
(2)如图3,“善思”小组画出了点落在延长线上时的图形,此时点也恰好在的延长线上.过点B作的平行线交于点P,连接.猜想线段与的数量关系,并说明理由：
拓展探究：
(3)如图4,“博学”小组在图2的基础上,将沿直线平移,点B,C,的对应点分别为D,E,F.若,当是以为顶角的等腰三角形时,请直接写出平移的距离.
21.（12分）综合与实践
已知在中,,,点D为的中点,连接,E为边上任意一点；
(1)动手操作(如图1)
将线段绕着点D按顺时针方向旋转得到,连接.在图1补全图形,并填空：的形状为_________,线段和线段的数量关系为___________.
(2)以D为旋转中心,将按顺时针方向旋转到如图2的位置,连接,.
①证明：.
②延长与相交于点H,连接,猜想,与的数量关系,并加以证明.
(3)解决问题
如图3,若,,以D为旋转中心,将按顺时针方向旋转到如图3的位置,使点F在下方,连接,且点F、E、C在同一直线上,直接写出的面积.
答案以及解析
1.答案：B
解析：将点向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到，
∵，
∴，，
∴对应点在第二象限.
故选：B.
2.答案：D
解析：A、是轴对称图形,但不是中心对称图形,不符合题意；
B、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不符合题意；
C、是轴对称图形,但不是中心对称图形,不符合题意；
D、既是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意,
故选：D.
3.答案：C
解析：把沿x轴向左平移到，
，
四边形为平行四边形，
四边形的面积，
点A的坐标为，
，
，
沿x轴向左平移5个单位得到，点C为点A平移后的对应点，
，
即：；
故选：C.
4.答案：B
解析：设与x轴相交于C,
∵是等边三角形,旋转角为30°,
∴,
∴轴,
∵等边的边长为2,
∴,
,
∴点的坐标为.
故选B.
5.答案：D
解析：长方形ABCD的周长为,设经过t秒P,Q第一次相遇,则P点走的路程为Q点走的路程为
根据题意得,
解得,
当时,P、Q第一次相遇,此时相遇点坐标为,
当时,P、Q第二次相遇,此时相遇点坐标为,
当时,P、Q第三次相遇,此时相遇点坐标为,
当时,P、Q第四次相遇,此时相遇点坐标为,
当时,P、Q第五次相遇,此时相遇点坐标为,
当时,P、Q第六次相遇,此时相遇点坐标为,
五次相遇一循环,
,
的坐标为.
故选:D
6.答案：D
解析：∵是等腰三角形的底边的中线,,
∴,,
∵与关于点C中心对称,,
∴,,,
∴,
∴.
故选：D.
7.答案：D
解析：将沿方向平移得到，，，
，，，，则，
，①正确；
，
，②正确；
，
，故③正确；
阴影部分的面积的面积的面积
的面积的面积=四边形的面积
.故④正确.
综上，正确的有①②③④.
故选：D.
8.答案：D
解析：作,并作出把先绕B点顺时针旋转180°后所得,如图所示.∵,,∴,∴,∴,∴.∵点B坐标为,∴A点的坐标为.∵,∴,∴坐标为,∴坐标为.∵再向下平移2个单位,∴的坐标为.故选D.
9.答案：D
解析：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况：①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立；②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为，故选：D.
10.答案：B
解析：连接、，如图，
为等边三角形，
，
点是等边三边垂直平分线的交点，
，、分别平分和，
，
，即，
而，即，
，
在和中，
，
，
，，①正确；
，
四边形的面积，③错误；
作，如图，则，
，
，
，，
，
，
即随的变化而变化，
而四边形的面积为定值，
；②错误；
，
的周长，
当时，最小，的周长最小，此时，
周长的最小值，④正确.
故选：B.
11.答案：/10度
解析：∵旋转,
∴,
∴,
∴,
∴；
故答案为：.
12.答案：30
解析：由平移可知,
∴,
又∵,
∴
.
故答案为：30.
13.答案：4
解析：如图所示：
,
∵点A、B的坐标分别为,,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵点在直线上,
∴,解得.即,
∴,
∴线段平移的距离为4.
故答案为：4.
14.答案：
解析：如图,过点作于点D,
∵将绕点A逆时针方向旋转到的位置,
∴,,,
∴是等边三角形,,
∴,阴影部分的面积等于,
∵,,
∴,
∴,,
∴,
∴,
即阴影部分的面积是.
故答案为：.
15.答案：
解析：设点C是直线l上一点,且点C绕点M顺时针旋转120度得到点B,连接,,过点C作交x轴于F,
∵是等边三角形,点,
∴,,
∴,
由旋转的性质可得,,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴,；
如图所示,过点C作x轴的垂线,垂足分为E,设,
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴,
∴,
解得,
∴,
故答案为：.
16.答案：(1)图见解析,,,
(2)图见解析,
(3)或
解析：(1)如图所示,即为所求,
∴,,；
(2)如图所示,即为所求,
∴；
(3)∵面积为,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴或.
17.答案：(1)
(2)2
解析：(1)根据图形旋转的性质可知.
.
(2)根据图形旋转的性质可知,,.
∵,
∴.
又,
∴为等腰直角三角形.
∴.
在中,
.
∴.
18.答案：(1)；
(2),证明见解析
(3)或
解析：(1)由题意可知,将线段先向上平移2个单位长度,再向右平移2个单位长度得到线段,使点的对应点为点C,点的对应点为点D,
则点C的坐标是,点D的坐标是,
故答案为：；；
(2),证明如下：
由平移的性质可知,,,
,
,
平分,
,即,
,
；
(3)①如图,当点P在线段上时,过点P作交于点Q,
,
由平移的性质可知,
,
,
,
；
②如图,当点P在延长线上时,过点P作,
,
由平移的性质可知,
,
,
,
；
综上可知,,与的数量关系为或.
19.答案：(1)6；5
(2)或
(3)
解析：(1)点和点的距离是,
点和点的距离是；
故答案为：；5
(2)∵,的坐标是,,
∴,
解得：或12,
∴的坐标是或,
当的坐标是时,点M先向左平移6个单位,再向下平移8个单位到达点的位置,
∵,将线段平移到,
∴点的坐标为,即；
当的坐标是时,点M先向左平移6个单位,再向上平移8个单位到达点的位置,
∵,将线段平移到,
∴点的坐标为,即；
终上所述,点的坐标或；
(3)∵,
∴,
∴y可以看作是点到点和的距离之和,
∴当点在以点和为端点的线段上时,点到点和的距离之和最小,
即y的最小值为点和之间的距离,为.
20.答案：(1)
(2),见解析
(3)或
解析：(1)如图2,绕点C顺时针旋转得到,
,
,,
,
是等边三角形,
,即；
(2)猜想：,
理由：由旋转可得：,,
,
,
∴
,
,
；
(3)当沿射线平移时,
如图4,作交的延长线于G,连接,,
∵,,
∴,,
∵,且是等边三角形,
∴,
∴,,
∴,
在中,,
∵沿射线的方向平移得到,
∴,
设,交于点J,
∵,
∴,
∴,
∵以A,,D为顶点的三角形是以为顶角的等腰三角形,
∴,
在中,,
∴,
即平移的距离为；
当沿射线平移时,如图5,
同理可求出平移的距离为.
综上可知,平移的距离或.
21.答案：(1)等边三角形,
(2)①见解析；②,见解析
(3)
解析：(1)在中,,,
；
∵点D为的中点,
,
∴的形状为等边三角形,
如图即为所求,(点F在线段上)
由已知得：,,
则的形状为等边三角形,线段和线段的数量关系为；
(2)①证明：在中,,,
；
∵点D为的中点
是等边三角形,
,
,
为等边三角形,
,,
,
,
在和中,
,
；
②
证明：延长到G,使得,连接,和交于点O,
由
,
,
,
,
为等边三角形,
,,
,
在和中,
,
,
,
；
(3)过点D作,垂足为H,
在等边三角形中,,
在中,,,
,
,
,
在中,,,,
.
设,,
由勾股定理得：,
,(舍)
,,
,
在中,,,,
∴由勾股定理得：,
中,,
,
,
,
在中,.
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：